平方根教材详解

1、教材详解 第十三章 实数第一节 平方根【教学目标】1.了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质2. 会求一个非负数的平方根、算术平方根3.会用科学计算器求一个非负数的算术平方根【教学重难点】重点 1. 算术平方根的概念及表示方法 2. 平方根的概念及其性质 难点：平方根的概念及其性质【教学导入】 教学导入一问题1解 设正方形纸片的边长为xcm，依题意有：25，求出满足25的x值，就可得正方形纸片的边长 问题2解 设圆的半径为R cm，依题意有：=16，即=16，求出满足 16的R的值即可求出圆的半径 教学导入二情境导入请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品

2、比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？如果这块画布的面积是？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题？这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容这节课我们先学习有关算术平方根的概念教学导入三情境导入：问题：要剪出一块面积为25cm的正方形纸片，纸片的边长应是多少？你能用方程表示这个问题吗？试试看2.课前热身根据上述提出的间题，请同学们作如下讨论：（1）这种运算（=25）是已知什么？求什么？（2）这种运算与平方运算之间存在怎样的关系？教学导入四创设情景，导入新课复习提问：1、什么数的平方是49？ 2、平方

3、得81的数有几个？分别是什么？ 3、一对互为相反数的平方有什么关系？交流总结：由问题出发，认识到平方得一个正数的数有2个，并且互为相反数【知识点】 知识点1：平方根的概念及其性质 概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根这就是说，如果a，那么x叫做a的平方根例：3 和一3是9的平方根，简记为土3是9的平方根 表示：正数 a 的平方根可表示为士，读作“正负根号a”，其中“ 2 '是根指数，当根指数是 2时可省略不写，“”读作“根号” , “a”是被开方数例如： 2 的平方根可表示为士 性质：( 1 ）一个正数a有两个平方根，其中一个是“”，另一个为“一”，

4、它们互为相反数； ( 2 ) 0 的平方根是。； ( 3 ）负数没有平方根 温馨提示：1.被开方数 a 是非负数（非负数即指正数和零），2. 平方与开方是互逆运算关系例1：求下列各数的平方根( 1 ) ; ( 2 )； (3） 0 ， （4） 1 分析：根据平方根的意义及性质解答，带分数首先化成假分数 （1）9，9，所以的平方根是±3； （2）因为，所以的平方根是± （3）因为=0，所以0的平方根是0 （4）因为=1，所以1的平方根是±1. 求一个正数的平方根，就是根据平方根的定义，看这个正数是哪两个互为相反数的数的平方。知识点2：算术平方根的概念及表示方法。 概

5、念： 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 a ，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根a的算术平方根记为，读作“根号 a ”, a 叫做被开方数 表示方法：非负数a的算术平方根表示为，读作“根号a”例如： 16 , 16 的算术平方根是 4 ，表示为了丽4 . 性质：( l ）正数 a 的算术平方根为； ( 2 ) 0 的算术平方根是 o ，即0； ( 3 ）负数没有算术平方根。 例2：求下列个数的算数平方根 （1）256 （2） （3） 分析：根据算术平方根的意义解答即可 解答：（1）因为 所以256的算术平方根是16，即=16 （2）因为25，又因为25，所以的算术平方根是5

6、. （3）因为9，又因为9，所以的算术平方根是3 知识点3 ：平方根与算术平方根的区别与联系 1. 区别( l ）定义不同； ( 2 ）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个； ( 3 ）表示方法不同，正数a的平方根表示为士，正数a的算术平方根表示为； ( 4 ）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根一正、一负 2. 联系：( 1）具有包含关系，平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的那一个； (2）存在条件相同，平方根和算术平方根只有非负数才有； ( 3 ) 0 的平方根与算术平方根都是 0 .【易错易误点】 1、对平方根的定义

7、理解不准确，导致偏差例1.下列说法中：9的平方根是3; 是2的平方根;2是的平方根.±是9的平方根；0的平方根是0其中正确的是：（ ）A. B. C. D. 错解：选择D。分析：由于对平方根的定义理解不准确，导致上述的错误。怎样才能准确理解平方根的定义？可以这样去理解：如果x2=a，那么，x叫做a的平方根，记作±。由此，我们可以断定如下说法都是正确的： a的平方根是±；是a的平方根；-是a的平方根；±是a的平方根；其中a是非负数。此外，0的平方根是0这个特例要记清楚。根据上面的理解，所以，说法是错误的。其余说法都是正确的。正解：选择C。2、对平方根的表示

8、法中的“±”理解不准确，导致偏差例2、“的平方根是±”, 下列各式正确的是（ ） =± ±=± = -=-A. B. C. D. 错解：选择D。分析：对于非负数的平方根，在用数学表达式表示时，有三种方式是正确的：“±，±型”,即在等号的两边要同时出现“±”这个符号。如±=±3；“+，+型”，即在等号的两边要同时出现 “+”这个符号。如+=+3，或者=3，“-，-型”，记在等号的两边要同时出现“-”这个符号，如-=-3.也就是说，在用数学表达式表达时，等号两边数的性质符号是一致的，否则，就不正确。

9、根据这一标准，去判断， 是错误的。其余都是正确的。正解：选择B。3、忽视被开方数的意义，导致错误例3、下列运算过程，-8是-64的平方根;-=-(-8)=8；±=±(-8)= ±8正确的个数：（ ）(A) 0个 ( B) 2个 (C) 3个 (D) 4个错解：选择B 或选择C 或选择D分析：要求一个数的平方根或进行有关平方根的运算时，必须保证被开方数是非负数，否则，就没有什么意义。的被开方数都是-64，是负数，所以，根本就没有意义，因此，也就无法进行运算；的被开方数是-22=-4，是负数，所以，根本就没有意义，因此，也就无法进行运算；所以，上面的说法都是错误，即正

10、确的个数为0.正解：选择A。4、乱用运算律或者公式，导致偏差例4、下列运算中，=10-8=2 ； = + =+= ；-=-=-错误的有 （ ）(A) ( B) (C) (D) 错选：选择A 或选择B 或选择D分析：在进行数的开平方运算时，不论被开方数是和的形式、差的形式，还是符合公式，还是带分数的形式，在运算时，必须把被开方数的结果化成一个数的形式，要么是一个整数，要么是一个真分数，要么是一个假分数，同时，还要注意性质符号的一致性。的计算，乱用平方差公式，导致结果的错误；的计算，乱用求两数的和的运算律，导致错误；的计算，也是自己杜撰运算的方法，所以，运算的结果，当然是错误的；只有严格按照运算的

11、要求进行的，并且等号两边的数的性质符号也是一致的。因此，都是错误的。正解：选C。5、对的化简把握不准，导致偏差例5、下列等式正确的是（ ）；A. =±8； B. =5； C.=8 D. 错解：选择A或B或D。分析：对于型的计算，必须清楚a的正负性，当a是正数时，其结果a，即当a0时，=a；当a0时，=-a；当a=0时，=0；这里也要注意等号两边数的性质符号的一致性。根据上面的要求，所以，只有选项C是正确的。当然，同学们也可以先把被开方数进行化简计算，化成最简形式，后开平方。正解：选择C。6、对算术平方根的定义理解不准，导致错误例6、计算下列各式并观察： ， ， ， ， 通过上述各式，你能发现什么样的规律，用自己的语言叙述出来。 错解：902，92， 0. 92， 0. 092， 被开方数每缩小100倍，其算术平方根的底数就缩小10倍。分析：出现这种错误，是对算术平方根的数学符号表示法的意义理解不准，导致的。式子的意义是，求数a的算术平方根，再细致的说法就是，求一个数，并且这个数的平方等于a。所以，算术平方根是平方幂中的底数。明白了这一点，上面的错误就自然克服了。正解：90，9， 0. 9， 0. 09 规律：被开方数每缩小100倍，其算术平方根就缩小10倍。7、不会处理系数与底数的关系，导致偏差例7、求下列的值：4 错解：4（x-1）=±