第四章平差模型与最小二乘准则

1、 第四章 最小二乘准则4.1 测量平差的数学模型模型：对客观事物的高度概括。分类：1)形象模型：航模、建筑模型等；2)抽象模型：地图、等式、不等式、数学模型等。平差中的数学模型：函数模型：观测值与观测值之间，或者观测值与未知参数之间的一种数学表达式；随机模型：观测值之间可能有的随机相关性。是随机性的，即经验上的一种近似关系。 一、函数模型同一个平差问题，建立不同的函数模型，就有不同的平差方式。经典平差中的四种函数模型：二、随机模型： 带约束的间接平差带参数的条件平差、条件平差间接平差000XXFLXLFLFXFL12020PDL三、高斯马尔柯夫（G-M）平差模型 以上简称G-M模型，是经典平差

2、所依据的数学模型。Gauss用上述模型证明了最小二乘法将得到参数的最佳估值；Markov用上述模型证明了最小二乘估值的方差最小性。 120200PQDLDEXALL随机模型：函数模型：4.2 参数估计与测量平差一、数理统计问题总体（母体X：所研究的随机变量可能取值的全体。个体：组成总体的每一个基本单位。样本x：从母体中随机取出的n个个体构成一个样本。子样容量（子样大小）：构成子样的个体数目n。抽样：获得子样的过程。统计量：由子样构成的函数，不含未知数。niixnx11无限推断母体量构成统计有限获得子样限个抽样通过有nnxxxn,21212)(1xxnSnii212)(11xxnnii1、常用统

3、计量：子样均值：子样方差：子样无偏方差：数理统计问题：2、常用数理统计方法 （1）参数估计）参数估计 （2）统计假设检验）统计假设检验 （3）回归分析）回归分析 （4）方差分析）方差分析3、对抽样的要求a、代表性：要求子样的各个分量 与母体同分布。即b、独立性：要求 互独立。二、参数估计问题参数估计包括：a、点估计（定值估计）：按某种准则，求出参数的一个具体估值。b、区间估计：以一定的概率，求出参数的某一取值范围。 XDxDXExEiiixix三、测量平差的实质是参数估计（1）求最或是值即是求E(X)的估值。（2）精度评定即是求D(X)的估值。 XXEn，时 每一次观测，就是一次在已知或未知母

4、体内的随机抽样。观测误差i所具有的随机性，决定了观测值的随机性；观测误差i服从正态分布，决定了观测值也服从正态分布。4.3 估计值的最优性质点估计的几种方法：矩法、最大似然法、最小二乘法、中位数法、截尾法用不同的点估计方法对同样的母体进行参数估计，会产生用不同的点估计方法对同样的母体进行参数估计，会产生不同的估值。不同的估值。最优估值标准：（1）无偏无偏 性性 ； （2）一致性一致性 ；（3）有效性有效性。最优估计应具有性质： 估计量 能在参数真值 附近摆动，随着子样容量的增大，摆幅越来越小，n为 时， 依概率收敛于 。 一、无偏性 的无偏估计。是则称的估值，若满足：是参数真值设E 的无偏估计

5、？否是母体方差是估计？子样方差是否是母体均值的无偏问：22xDsx结论 数理统计中 平差中 性质2122121)(11)(11xxnxxnsxnxniiniinii 122nVVnVVsnLx （使用）无偏（不使用）有偏无偏2222EsEaxE二、一致性 n无限增大时估计量 依概率收敛于 。为子样容量。为概率，或或，有即对任意小的正数nPPPPnnn1lim0lim1lim补充：严格一致性满足严格一致性的估值一定满足一致性。例：证明子样均值是母体期望的一致性估值。 的严格一致性估计。为真值则称满足：若估值0limlim2EEDEnn 三、有效性有效。较则认为估值的无偏估计若均为及设212121

6、DD 求还应有“有效性”要故仅满足无偏不够均无偏，不唯一如：中axEaxEaxEi 的方差最小，最有效。可见或而：中xxDnxDxDi22222最小方差性： 性。满足有效性又满足一致方差），则该估计量即有无偏估值中拥有最小（在所，使若有一无偏估计量2minD 是最优无偏估值。4.最小二乘准则一、最小二乘法 设有误差方程：在满足约束： 下，对参数进行估计。二、最大似然法lxAVmin2222112nniivvvv ，即间的协方差为，观测值之个观测值：设有jiLENLnijiii2,以下为似然函数（n个子样联合分布的密度函数）： 221222121122111nnnnnLLnnDLELELELLL PVVDLELDLELDGTLLnLLTLLn2exp2121exp21202121212最大似然法基本思想：最大似然法与最小二乘法的异同点： 最大似然法：必须知道母体的分布； 最小二乘法：可不知母体的分布。当观测值服从正态分布时，二者等价。为最或然值。，即此时最接近其真值达到最大时，参数估值数最大，所以，当似然函误差联合出现的概率由偶然误差特性知，小xxxG minminminmax11PVVVDVLELDLELGTLLTLLT或即要求 例：不一定是无偏的。并。所以，最大似然估值可近似看成很大时