数学归纳法典型例题

1、v1.0可编辑可修改数学归纳法典型例题1 .教学内容：高三复习专题：数学归纳法2 .教学目的掌握数学归纳法的原理及应用3 .教学重点、难点数学归纳法的原理及应用4 .知识分析【知识梳理】数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察-归纳一-猜想证明”的思维模式，就显得特别重要。一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n=n0时命题

2、成立；He（2）（归纳递推）假设n=k（N%MwN）时命题成立，证明当期时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从附开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。【

3、要点解析】1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n=k+l时为什么成立，n=k+1时成立是利用假设n=k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立，而不是直接代入，否则n=k+1时也成假设了，命题并没有得到证明。用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。2、运用数学归纳法时易犯的错误(1)对项数估算的错误，特别是寻找口=卜与口=卜+1的关系时，项数发生什么变化被弄错。(2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。(3)关键步骤含糊不清，“假设n=k

4、时结论成立，利用此假设证明n=k+1时结论也成立，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。【典型例题】111n例1.用数学归纳法证明：强N*时，1x33x5(2口-112n+1)七十1_1_1_1_1解析：当口=1时，左边一T7J耳，右边一上工1+1一1,左边二右边，所以等式成立。111k假设n=kk）时等式成立，即有市+771廿一+即1）即1）.+,则当n=k+1时，111k7x3+说,+（2k-1）（2k+1广2k+2k+3）=2k+l+（2k+l）（2k+3）k（2k+3）+l2一斗法仁1一仅k+1版+3）二励+L司k-

5、nlk十】=环=2（k+l）+l,所以当n=k+l时，等式也成立。由，可知，对一切nN卡等式都成立。点评：（1）用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由11=卜到口=卜+1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。（2）在本例证明过程中，（I）考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值代入通项，考察命题的真假，（II）步骤在由n=k至g=k+l的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。本题证明打=k+l时若利用数列求和中的拆项相消法，即175而廿+(

6、2kT)(2k+l)+(2k+2k+3).112k+3/2kM,则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。(3)在步骤的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n=k+l时证明的目标，充分考虑由到n=k+l时，命题形式之间的区别和联系。111111111+4-+-=*4-11-例2.2342n72口打+1口+22n0=解析：(1)当口=1时，左边=,右边,命题成立。(2)假设当n=k时命题成立，即1I1112342k-12k111+k+1k+22k.那么当n=k+1时,左边一r二二.，十.J.一11111I 111+k+1k+22k2k+12k+2.4-4-+4

7、k+2k-hj2k-12k+2上式表明当口=卜十1时命题也成立由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立例3.用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n,不等式*1475I_|_解析：当口=2时，左二孑0，右一彳，左右，.不等式成立。假设小卜仇占俎kwN*）时，不等式成立，即那么当n = k+1时,口十1 2k-L2k-11 1 r1 4- - 一 142依+ )-2 2k $1 2 虎F”15，4k*4就+4J4k*+k+3J4k.-J2k+12 32k 十 12j2k + 1一.=,.n=k+1时，不等式也成立。由，知，对一切大于1的自然数n,不等式都成立。点评：（1）本题证明n=k十1命题成

8、立时，利用归纳假设，并对照目标式进行了恰当的缩小来实现，也可以用上归纳假设后，证明不等式k+1Jg（k+匚1（2）应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤缺一不可，第步式小）成立是推理的基础，第步P（k）np（k+1）是推理的依据（即而成立，则门口+1成立，成立，,从而断定命题对所有的自然数均成立）。另一方面，第步中，验证门二中的忆未必是1,根据题目要求，有时可为2,3等；第步中，证明n=k十1时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上归纳假设。11】1a4-l-I-4。例4.若不等式n+1口.2n+3加+124对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值，并证明你的结论。11

9、1_26解析：取口=,+广药。”_L令24：24,得aC就，而过巨W+,所以取H25,下面用数学归纳法证明，I1125+31口+23力+124,(1) 口=1时，已证结论正确(2)假设n*k(kENj时，1 1125+-+Ak-lk+23k+l24则当n=k+l时，有1(k+l)+/(k+l)+3+.一3k+1+3k+2-3k+3-3(k+l)+l(111W11111=十十，+U：+Lk+2Jk-Fljl3k+z3k+33k+4k+1JWr11-2ii4k+i)m因为3k+2.3k+49k2+18k+83pc+1)1-u所以3k+23k+43(k+l),25所以一，-”一1二即n=k+l时，结

10、论也成立,由（1）（2）可知，对一切口】（，11125+-+-4-都有n+1的+124,故a的最大值为25。例5.用数学归纳法证明：付7-小：N*能被9整除。解析：方法一：令=0ti41）T-l（nN*）,（1）巾上（3乂1+1）%71-127能被9整除。（2）假设山）低三山）能被9整除，则=（3k+4）.7t*1-lh（3k+l）-7k-19（2k+3）7氐.f（k+l雎）+式2k+3）.能被9整除。由（1）（2）知，对一切命题均成立。方法二：（1）口=1,原式=4x7T=能被9整除，（2）若3由九*N*）,-41”-1能被9整除,则n=k十1时3（k41）4I.7t+1-1=t3k+l）+

11、3（l+.黄一1=（3k+l）-7k-l+（3k+l）67V+21-71=（3k+L）-71-IJ+lSk.71*C；n=k+1时也能被9整除。由（1）,（2）可知，对任何mN*,（3-1卜尸一1能被9整除。点评：证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出n=k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证。例6.求证：产，(341产能被8?”+1整除，口三N一解析：(1)当口=1时，+命题显然成立。(2)设hk时,aE+G+l产t能被M整除,则当n=k+l时，产%(a+l严4gd+1)山=乱声i+a+1产4(a+iy(a+严_侬+产9的产+丘严。由归纳假设，上式中的两项

12、均能被a%a+l整除，故n=k+1时命题成立。由(1)(2)可知，对口CL,命题成立。例7.平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成Mn-2个部分。解析：口=1时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立。假设n=k时，k个圆将平面分成/-k-2个部分，当n=k+1时，第k+1个圆J+i交前面k个圆于2k个点，这2k个点将圆J+i分成2k段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k+1个圆将平面分成k*2+2k个部分，即化+1卜伏+1)+2个部分故n=k十1时，命题成立。由，可知，对nwN”命题成立。点评：用数学归纳法证明几何问题的关键

13、是“找项”，即几何元素从k个变成k+1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n=k+1和n=k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧。E（I1J=1+-I-一”4,例8.设.23口，是否存在关于自然数n的函数虱口），使等式+f+*池-1）=蛆,昨卜1对于口之2的一切自然数都成立并证明你的结论。解析：当口=2时，由,当口=3时,由皿+f-呻）-1,猜想-）一-二-卜面用数学归纳法证明:当心2时，等式眠+f+临-1）=皿小）-1恒成立。当口=2时，由上面计算知，等式成立

14、。假设。-附-1）=14明-1化）成立,那么当n=k+1时，+-+f(k-l)+f(k)=kf(k)-1+fk)-(k+l)f(k)-k二(以力业mA占l-k=(k+llf(k+l)-l.当n=k+1时，等式也成立。由知，对一切口之2的自然数n,等式都成立。故存在函数虱,使等式成立。点评：（1）归纳、猜想时，关键是寻找满足条件的且向与n的关系式，猜想的关系未必对任意的口值专m*）都满足条件，故需用数学归纳法证明。（2）通过解答归纳的过程提供了一种思路：可直接解出虱目），即if(l)4f44fgT)n -I卜-1)+(口r2).%。-3).卜+n-(n-巾.W（口”【模拟试题】1.用数学归纳法证

15、明“当n为正奇数时，P+T能被三+y整除”时，第步归纳假设应写成A.假设口=.*1只*）时，命题成立B.假设时，命题成立C.假设口=明强心）时,命题成立D.假设口=小巨山）时，命题成立1111n2+41-I（neN*J2 .证明2342刘12，假设i】=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是A.1项B.卜-1项C.k项D.2k项3 .记凸k边形的内角和为唯），则凸k十1边形的内角和唯十*f（kR（）x3jiA.-B.C.-D.:二4.某个命题与自然数n有关，若n=k（kwbP）时命题成立，那么可推得当门=k+l时该命题也成立，现已知当=5时，该命题不成立，那么可推得A.当n=6时，该命题不成立B.当口=后时，该命题成立C.当n=4时，该命题不成立D.当n=4时，该命题成立5.用数学归纳法证明n+1 n+ 2 n+ 3 n+ n 24到口=k+l时，不等式左边应添加的项是11A.一B.士一-C.1 1_12k+l2k+2kZT1 L_1_1D.二丁:-一6.（5分）在数列%）中，的=且工，】，24成等差数列（工表示数列（）的前n项和），则,感,十分别为7. （5分）已知 都成立，那么a=1*2乂34支32444.4口.33-】，3（皿-。工对一切门亡n*c=f4 4 4-+2 3 4 5 672,2 315,8.（14分）由下列各式:你能得出怎样的结论并进行证明。