数学模型数学建模A试卷及参考答案

1、数学建模A试卷参考答案一.概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）1、什么是数学模型？（5分）2、数学建模有哪几个过程？ 答：数学建模有如下几个过程: 检验，模型应用。3、试写出神经元的数学模型。答：数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。（5分）模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型答：神经元的数学模型是其中x=（Xi,xm）T输入向量，y为输出，Wi是权系数；输入与输出具有如下关系:myf(WiXi)i1(5分)。为阈值，f（X）是激发函数；它可以是线性函数，

2、也可以是非线性函数.二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）1、（I）以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图。解释曲线为什么是你画的那种形状。（5分）（2）如果雇主付计时工资，对不同的工资率（单位时间的工资）画出计时工资线族。根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。（5分）答：（I）雇员的无差别曲线族f（w,t）=C是下凸的，如图1,因为工资低时，他愿以较多的工作时间换取较少的工资；而当工资高时，就要求以较多的工资来增加一点工作时间.（2）雇主的计时工资族是w=at,a是工资率.这族直线与f（w

3、,t）=c的切点P1，P2,P3,的连线PQ为雇员与雇主的协议线.通常PQ是上升的（至少有一段应该是上升的），见图1.国2、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张椅子放稳。凳是否成立，为什么？（3分）答：（一）假设：电影场地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方,形。|如图建立坐标系：其中A,B,C,D代表方凳的四个脚，以正方）1（7分）又问命题对长记H为脚A,C与地面距离之和，G为脚B,D与地面距离之和，0为AC连线与X轴的夹角，不妨设H（0）0 , G（0）=0,（为什么?） 令f（ 0 ） = H（ 0 ） - G（ 0 ）则f是。的连续函数，且f（0）=H（0）0将方凳

4、旋转 90° ,则由对称性知 H（兀/2）=0, G（兀/2）=H（0）.的中心为坐标系原点。L从而 f（兀 /2）= -H（0） 0由连续函数的介值定理知，存在。C（二）命题对长凳也成立，只须记（0,兀 /2）,使 f（ 0 ） = 0H为脚A,B与地面距离之和, G为脚C,D与地面距离之和， 0为AC连线与X轴的夹角将。旋转1800同理可证。三、模型计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分）1/313，试用和法求其最大特征根及对应的特征向量及一致性指标。1/5 1/3 1（9分）135答：A1/313中各列归一化1/51/311.9各行求和0 0.782再归一化15/23 9

5、/13 5/9* 5/23 3/13 3/93/23 1/13 1/90.6330.261 =w0.3180.106w即为对应最大特征根的特征向量。3分）1.946而Aw0.790,（2分），0.320所以最大特征根为13(Aw)i11.9460.7900.320、-()3.04(2分)3iiWi30.6330.2610.106.,33043(2分)其一致性指标为：CI=一330.023122、甲、乙、丙三人经商，若单干，每人仅能获利1元，甲乙合作可获利7元，甲丙合作可获利5元，乙丙合作可获利4元；三人合作可获利10元，问三人合作时怎样合理地分配10元的收入。v(1,2) 7,4, v(I )

6、 10解：甲、乙、丙三人记为I1,2,3,经商获利定义为I上的特征函数，即v0,1 2& 2 43v(1)v(2)v(3)1,v(1,3)5,v(2,3)s11、21、3Ivs17510vs10114vsvs11646s1223ws1/31/61/61/3wsvsvs11/312/323分卜表是关于甲的分配y1（v）的计算。同法可算得：2v3.5（元），3（v）2.5（元）3、产品每天需求量为常数r,每次生产准备费用为C1,每天每件产品贮存费用为C2,试作一合理假设，建立不允许缺贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。解:模型假设：1 .产品每天需求量为常数r2 .每次生产准备费用

7、为c1,每天每件产品贮存费用为c23 .生产能力无限大4 .生产周期为T,产量为Q（3分）模型建立_2皿.，C2rT、一周期总费用如下：CCi（1分）2一周期平均费用为f(T)CiC2rT(1分)2Ci模型求解：用微分法解得周期T J1.rC 2- 2rC i厂量Q C24、设渔场鱼量满足下列方程：（10分）x（t） r（N x） Ex试求其平衡点，并指出平衡点的稳定性。解：rN平衡点由F（x） r（N x） Ex 0确定，解得平衡点x r El / 一 一 /一 l crNF （x） （r E） 0 得平衡点x 是稳定的r E（2分）（2分）（4分）（5分）5、某城市经过对 300人的抽样调

8、查得知：原饮水果酒的人仍然售欢饮水果酒的占85%,改饮啤酒的人的占5% ,改饮白酒的占10%,原饮啤酒的人仍然喜欢饮啤酒的占 90%,改饮水果酒 和白酒的各占5% ,原饮白酒的仍喜欢饮白酒的占 80% ,改饮水果酒和啤酒的各占 10%。试构 造马氏链模型，它是正则链吗？若是，请求其稳态概率。解：状态定义为i 1 （水果酒）2 （啤酒） 3 （白酒）0.85容易求得，转移概率阵为：P 0.050.10因为P >0,所以这是正则链记w （ W|, W2 ,W3 ）为稳态概率0.05 0.100.90 0.05（3 分）0.10 0.80（2分）则有W P w（2分）W1 w2 w31解得 w

9、 （0.32,0.42,0.26）（2分）四、建模题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）1、假设人对某种传染病一旦患病而痊愈，则以后就不会再患病。将人群分为未感染者S、患者I、已治愈者（包括死亡者R）三种人，试作出必要的假设并写出该传染病的扩散微分方程模型（不必求解）。（10分）答：假设：（1）设一个病人在单位时间内能传染的病人数i（t）与当时的未感染人数s（t）成正比,比例系数为（称为感染率）；(2)设在t时刻，已治愈人数(包括死亡人数)为；(3)设在单位时间内病人的治愈率为科,即qnt)i(t)；dt(4)病人痊愈后不会再被传染。(4分)则有：当s(t)i(t)i(t)dtds八年s(t)i(t)(6分)dts(t)i(t)r(t)Ni(0)i0,s(0)S0,r(0)02、某食品加工厂拟安排生产计划，已知一桶牛奶加工12小时后可生产A产品3公斤，A产品可获利24元/公斤，或一桶牛奶加工8小时可生产B产品4公斤，B产品可获利16元/公斤。现每天可供加工的牛奶为50桶，加工工时至多为480小时，且A产品至多只