数学浙江专用新设计大一轮讲义+习题：第二章不等式第1节

1、第二章不等式第1节不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法考试要求1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.I知识衍正体验回殿教物夯实基础知识梳理1.两个实数比较大小的方法产一b>0?a_>b,(1)作差法<ab=0?a=b,ab<0?aMb；.ab>1?a二b(aCR,b>0),a(2)作商法<a=1?a=b(aCR,b*0)

2、,a、b<1?ab(aCR,b>0).2 .不等式的性质(1)对称性：a>b?b<a；(2)传递性：a>b,b>c?a>c；可加性：a>b?a+c2b+c；a>b,c>d?a+c>b+d；(4)可乘性：a>b,c>0?ac>bc；a>b>0,c>d>0?ac.>bd；(5)可乘方：a>b>0?anNbn(nCN,n>1)；(6)可开方：a>b>0?na.>nb(nN,n>2).3 .三个“二次”间的关系判别式A=b2-4acA>0-0

3、A<0一一，2一次函数y=ax+bx+c(a>0)的图象KU必眼一兀一次力和ax+bx+c=0(a>0)的根启两相异实根x1,x2(x1<x2)启两相等实根x1bx2_-2a没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集xx>x2或x<x。fxxR2.,.一ax+bx+c<0(a>0)的解集xlx、<x<x»?常用结论与易错提醒1.对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形.2.当今0时，ax2+bx+c>0(aw0)的解集为R还是？，要注意区别.基础自测1 .思考辨析(在括号内

4、打或"X”)(1)a>b?ac2>bc2()(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(xi,2)，则必有a>0.()(3)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.()(4)不等式ax2+bx+c<0在R上包成立的条件是a<0Hb2-4ac<0.()解析(1)由不等式的性质，ac2>bc2?a>b；反之，c=0时，a>b?、ac2>bc2(3)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实根.则不等式ax2+bx+c>0的解集为?.+ bx+ c<

5、; 0也在R上恒成立.a bB.d<c(4)当a=b=0,c00时，不等式ax2答案(1)X(2)V(3)X(4)X2 .若a>b>0,c<d<0,则一定有(ab_ a bC.c> dA.d>ccabD._<-cd解析因为c<d<0,所以0>1>1,两边同乘一1,得一1>1>0,又a>b>cddc'0,故由不等式的性质可知一a>b>0.两边同乘一1,得a<b.故选B.dcdc答案B3 .当x>0时，若不等式x2+ax+10恒成立，则a的最小值为（）A.2B.-33C.

6、-1D.2解析当A=a2400,即-20a&2时，不等式x2+ax+1>0对任意x>0恒成fa2-4>0,立，当A=a24>0,则需<a解得a>2,所以使不等式x2+ax+1>02<0,对任意x>0包成立的实数a的最小值是一2.答案Ax14.（2017上海卷）不等式>1的解集为x解析1-1>1?1<0?x<0,解集为（一80）.xx答案(8,0)5.若不等式ax2+bx+2>0的解集为2，3j,则a=,b=.解析由题意知，方程ax2+bx+2=0的两根为x1=g,x2=：,则231,1b2+3一a，1X

7、一21 23= ala=-12,解得b=2.答案12-26.（必修5P80A3改编）若关于x的一元二次方程x2-（m+1）x-m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是.解析由题意知A=(m+1)2+4m>0.即m2+6m+1>0,解得m>3+2/2iEm<32吸.答案(-00,-32j2)U(-3+2J2,+00)I考点聚焦突破翻!霞序督赞奏黄臻建溯求法H举考点一比较大小及不等式的性质的应用【例1】(1)已知实数a,b,c满足b+c=64a+3a2,cb=44a+a2,则a,b,c的大小关系是()A.c>b>aB.a>c>bC.c>b&

8、gt;aD.a>c>b(2)(2019衢州二中二模)已知非负实数a,b,c满足a+b+c=1,则(ca)(cb)的取值范围为.解析(1),.c-b=4-4a+a2=(2-a)2>0,'c>b.又b+c=6-4a+3a2,.2b=2+2a2,.b=a2+1,2(13a-2j+4>0,.b>a,c>b>a.(2)因为a,b,c为非负实数，且a+b+c=1,则a+b=1c,0<c<1,故|(c-a)(c-b)|=|c-a|c-b|<c2<1,即一10(ca)(cb)<1;又(ca)(cb)=c22一.一一111，.

9、1(1c)c+ab>2Vc4)一88.综上，有一80(ca)(cb)s1.答案(1)A(2)卜1,11规律方法(1)比较大小常用的方法：作差法；作商法；函数的单调性法.(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除【训练11 （1）已知p = aT11x22口q=Q其中a>2,xCR则p,q的大小关系是（）A.p>qB.p>qc.p<qD.p<q若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是（）“1上一A.a+b<2,<log2（a+b）B.<log2（a+b）<a+bC.a+b

10、<log2（a+b）<2b1bD.log2（a+b）<a+b<2.11解析（1）由于a>2,故p=a+=（a2）+2>2+2=4,当且仅当a=a-2a-2221x3时取等号.因为x22方2,所以q=!'20g；2=4,当且仅当x=0时取等号，所以p>q.人1e1b（2）令a=2,b=2,则a+b=4,2a=,、1+b）<a+g.答案（1）A（2）B15ib8，10g2（a+b）=log22C（1,2）,则2a<log2（a考点二一元二次不等式的解法一多维探究角度1不含参的不等式【例21】求不等式2x2+x+3<0的解集.解化-

11、2x2+x+3<0为2x2-x-3>0,3解方程2xx3=0得x1=1,x2=2,不等式2x2x3>0的解集为(8,1)U§,即原不等式的解集为(31)Uj|,+00；.角度2含参不等式【例22解关于x的不等式ax22>2xax(aR).解原不等式可化为ax2+(a-2)x-2>0.当a=0时，原不等式化为x+1<0,解得x0-1.当a>0时，原不等式化为$a<x+1)>0,解得x>2或x<1.a当a<0时，原不等式化为x-a(x+1)<0.当2>1,即a<2时，解得一10x&2；aa,

12、2当-=-1,即a=2时，解得x=1辆足题息；a当2<1,即一2<a<0,解得20xw-1.aa综上所述，当a=0时，不等式的解集为x|x<1；当a>0时，不等式的解集为1x|x>1,或x011；当一2<a<0时，不等式的解集为?；0乂0-1；当a=2时，不等式的解集为1;当a<2时，不等式的解集为1x|-1<x<熹【规律方法含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数

13、，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便正确写出解集.【训练2】已知不等式x22x3<0的解集为A,不等式x2+x6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为AAB,则a+b等于()A.-3B.1C.-1D.3解析由题意得，A=x|-1<x<3,B=x|3<x<2,所以AHB=x|1<x<2,由题意知，一1,2为方程x2+ax+b=0的两根，由根与系数的关系可知，a=1,b=2,则a+b=3.答案A考点三一元二次不等式的包成立问题一.多维探究角度1

14、在R上恒成立【例31】若一元二次不等式2kx2+kx3V0对一切实数x都成立，则k的取8值范围为()A.(-3,0B.-3,0)C.-3,0D.(-3,0)解析2kx2+kx3<0对一切实数x都成立，82k<0,则必有3IA=k2-4X2kx18k0,解之得3Vk<0.答案D角度2在给定区间上包成立【例32】(一题多解)设函数f(x)=mx2mx1(mw0),若对于xC1,3,f(x)<m+5恒成立，则m的取值范围是.解析要使f(x)<m+5在1,3上恒成立，则mx2mx+m6<0,一123.一一.即mx2j+m6<0在xC1,3上包成立.有以下两种方

15、法：123法一令g(x)=m32J+4m-6,xC1,3.当m>0时，g(x)在1,3上是增函数,所以g(x)max=g(3)=7m6<0.6-6所以m<7,则0<m<7.当m<0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)max=g(1)=m-6<0.所以m<6,所以m<0.16.综上所述，m的取值沱围是Im0<m<7或m<0法二因为x2-x+1=x-2，+4>0,一一2.6又因为m(xx+1)6<0,所以m<2.因为函数y=.在1,3上的最小值为6，所以只需m<>可.卜2/+4因为mw0,

16、所以m的取值范围是1m|0<m<6或m<01答案1m|0<m<7或m<0)角度3给定参数范围的包成立问题【例33已知a-1,1时不等式x2+(a-4)x+4-2a>0包成立，则x的取值范围为()A.( g, 2)U(3, +oo)C.( oo, 1)U(3, +oo)B.(-oo, 1)U(2, +8)D.(1, 3)解析把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)=(x2)a+x24x+4,则由f(a)>0对于任意的aC1,1恒成立，所以f(1)=x25x+6>0,且f(1)=x23x+2>0即可，解不等式组x25x+6>0

17、,22得x<1或x>3.lx-3x+2>0,答案C规律方法包成立问题求解思路(1)一元二次不等式在R上包成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解.(2)一元二次不等式在xa,b上包成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0,从而求参数的范围.(3)一元二次不等式对于参数mCa,b恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】若不等式x2-2x+5>a2-3a对任意实数x包成立，则实数a的取值范围是()A.-1,4B.(°0,2U5,+8)C.(8,1U4,+

18、3D.-2,5已知函数f(x)=x2+mx1,若对于任意xCm,m+1,都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是.解析(1)由于x22x+5=(x1)2+4的最小值为4,所以x22x+5>a23a对任意实数x包成立，只需a2-3a<4,解得1<a<4.二次函数f(x)对于任意xCm,m+1,都有f(x)<0成立,f(m)=m2+m2-1<0,f(m+1)=(m+1)2+m(m+1)1<0,解得坐<m<0.答案(1)A(2)(坐0)I分层限时调练二潴晨训竦；提衽能力基础巩固题组一、选择题1若f(x)=3x2x+1,g(x)=2x2+x

19、1,则f(x),g(x)的大小关系是()A.f(x)=g(x)B.f(x)>g(x)C.f(x)<g(x)D.随x的值变化而变化解析f(x)g(x)=x22x+2=(x1)2+1>0?f(x)>g(x).答案B2 .已知下列四个条件：b>0>a,0>a>b,a>0>b,a>b>0,能推出11.一，二成立的有()abA.1个B.2个C.3个D.4个解析运用倒数性质，由a>b,ab>0可得；<(,、正确.又正数大于负数，正确，错误，故选C.答案C3 .若集合A=x|3+2xx2>0,集合B=x|2x&l

20、t;2,则AHB等于()A.(1,3)B.(°0,1)C.(-1,1)D.(-3,1)解析依题意，可求得A=(1,3),B=(oo,1),.AnB=(1,1).答案C4 .若集合A=x|ax2ax+1<0=?,则实数a的取值范围是()A.a|0<a<4B.a|0<a<4C.a|0<a<4D.a|0<a<4解析由题意知a=0时，满足条件.a>0,aw0时，由$2得0<a<4,所以0&a&4.A=a2-4a<0,答案D5 .已知函数f(x)=x2+ax+b2-b+1(aR,bCR),对任意实数x

21、都有f(1x)=f(1+x)成立，若当xC1,1时，f(x)>0包成立，则b的取值范围是()A.(-1,0)B.(2,+oo)C.(8,1)U(2,+oo)D.不能确定a解析由f(1x)=f(1+x)知f(x)的图象关于直线x=1对称，即2=1,解得a=2.又因为f(x)开口向下，所以当xC1,1时，f(x)为增函数,所以f(x)min=f(1)=12+bb+1=bb2,2f(x)>0恒成立,即bb2>0恒成立,解得b<1或b>2.答案C6 .若实数a,b,c满足对任意实数x,y有3x+4y5<ax+by+c<3x+4y+5,则()A.a+bc的最小值

22、为2B.ab+c的最小值为一4C.a+bc的最大值为4D.ab+c的最大值为6解析由题意可得5<(a-3)x+(b-4)y+c<5恒成立，所以a=3,b=4,5&c&5,则2<a+b-c<12,即a+bc的最小值是2,最大值是12,A正确，C错误；一6&ab+c04,则ab+c的最小值是一6,最大伯:是4,B错误，D错误，故选A.答案A二、填空题'x2+2x,x>0,7.已知函数f(x)=3x2+2xx<0则不等式f(x)>3的解集为.广fx>0,x<0,解析由题意知S2或S2解得x>1.故原不等式的解

23、集为x|xx+2x>3x+2x>3,>1.答案x|x>18.若关于x的不等式ax>b的解集为00,1j,则关于x的不等式ax2+bx5a>0的解集为.1b1解析由已知ax>b的解集为一0°,5!',可知a<0,且a=5,将不等式ax2+bx4a>0两边同除以a,得x2+bx4<0,即x2+1x4<0,解彳#-1<x<4,故5a5555一、24.4不等式ax+bx5a>0的解集为-1,519 .不等式a2+8b2入(a+b)对于任意的a,bCR恒成立，则实数入的取值范围为.解析因为a2+8b2&

24、gt;入(a+b)对于任意的a,bCR恒成立，所以a2+8b2一入(a+b户0对于任意的a,bCR恒成立，即a2一入ba(8冲20包成立，由二次不等式的性质可得，A=22b2+4(A8)b2=b2(+4卜32)00,所以(入+8)(A4)<0,解得8<腐4.答案8,410 .(2019杭州高级中学测试)若关于x的不等式(x2a)(2x+b)>0在(a,b)上恒成立，则2a+b的最小值为.解析要使2a+b取得最小值，尽量考虑a,b取负值的情况.因此当a<b00时,2不等式(xa)(2x+b)>0等价于2x+b>0,即b>2x在(a,b)上恒成立，则b&g

25、t;2a>0,与b00矛盾；当a<0<b时，不等式(/a)(2x+b)>0等价于2x+b>0,即b>2x在(a,b)上恒成立，则b>-2a,即2a+b0,止匕时2a+b的最小值为0;当00a<b时，显然2a+b>0.综上可知2a+b的最小值为0.答案0三、解答题一，,211 .已知f(x)=3x+a(6-a)x+6.解关于a的不等式f(1)>0;(2)若不等式f(x)>b的解集为(一1,3),求实数a,b的值.22解(1)由题意知f(1)=3+a(6a)+6=a+6a+3>0,即a-6a-3<0,解得3-2V3<

26、;a<3+2V3.所以不等式的解集为a|32V3<a<3+2V3.”)>b的解集为(一1,3),方程3x2+a(6a)x+6b=0的两根为一1,3,a (6 a) (-1) +3= ' 2 a3(T)X3=-亨，解得a=3±73,、b= - 3.即a的值为3±73,b的值为一3.12 .已知1<x+y<4且2<xy<3,求z=2x3y的取值范围.解设z=2x3y=m(x+y)+n(xy),即2x3y=(m+n)x+(mn)y,所以m+ n2,一3,m二一所以 5 n=2.12'11由一1<x+y<4

27、知一2<2(x+y)<2,，515由2<xy<3知5<2(xy)<-2,15一+得3<2(x+y)+2(xy)<8,即3<z<8.能力提升题组13 .下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()A.a>b+1B.a>b1C.a2>b2D.a3>b3解析A项：若a>b+1,则必有a>b,反之，当a=2,b=1时，满足a>b,但不能推出a>b+1,故a>b+1是a>b成立的充分而不必要条件；B项：当a=b=1时，满足a>b1,反之，由a>b1不能推出a

28、>b;C项：当a=2,b=1时，满足a2>b2,但a>b不成立；D项：a>b是a3>b3的充要条件，综上所述答案选A.答案A14 .(一题多解)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a*0),若不等式f(x)<0的解集为仅x<2或x>3I则f(ex)>0(e是自然对数的底数)的解集是()A.x|x<ln2或x>ln3B.x|ln2<x<ln3C.xx<ln3D.x|In2<x<ln3解析法一依题意可得f(x)=a,2j(x3)(a<0),则f(ex)=aex2(ex3)(a<0),由f(e

29、x)=a,x2jex-3)>0,可得, jf (a) =4，I -解得b = 4,由解得a=0.、a<2<ex<3,解得In2<x<ln3,故选D.、.,八1V一.法二由题知，f(x)>0的解集为，|2<x<31令2<ex<3,得一ln2<x<ln3,故选D.答案D15 .若不等式xI-答案 0 417.解关于 x 的不等式 ax2-(2a+1)x+ 2<0(a R).+ax2>0在R上有解，则实数a的取值范围是;若在区间1,5上有解，则实数a的取值范围是.解析设f(x)=x2+ax2,二叶仅)的图象开口

30、向上，对任意aCR,f(x)>0在R上有解；由于A=a2+8>0恒成立，所以方程x2+ax2=0恒有一正一负两根，于是不等式x2+ax2>0在区间1,5上有解的充要条件是f(5)>0,即23,aeJ5，+''答案r253,十：)3o16 .右关于x的不等式a<4x3x+4&b的斛集恰好是a,b,则a=,b_.3232解析令f(x)=4x3x+4=4(x2)+1,其图象对称轴为x=2.若a>2,则a,4一一b是方程f(x)=x的两个头根，解得a=o,b=4,矛盾；3若b02,则f(a)=b,f(b)=a,两式相减得a+b=8,代入可得a=b=4,矛盾；33若a<2<b，则f(x)min=1,所以a01(否则在顶点处不满足aWf(x),所以止匕时a<f(x)(b)=b，的解集是R,所以f(x)Wb的解集是a,b,所以f(a)=f(b)=b.由m>2(1)