数学建模案例分析线性代数在数学建模中的应用举例

1、数学模型数学建模案例分析18线性代数在数学建模中的应用举例1基因间“距离”的表示在ABO血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四种等位基因Ai,A2,B,。区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1表1.1基因的相对频率爱斯基摩人f1i班图人f2i英国人f3i朝鲜人f4iA10.29140.10340.20900.2208A20.00000.08660.06960.0000B0.03160.12000.06120.2069O0.67700.69000.660210.5723合计1.0001.0001.0001.000问题一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一

2、个表示基因的“距离”的合宜的量度。解有人提出一种利用向量代数的方法。首先，我们用单位向量来表示每一个群体。为此目的，我们取每一种频率的平方根，记XkiJ7由于对这四种群44体的每一种有fki1,所以我们得到x21.这意味着下列四个向量的每个都i1i1是单位向量.记x11x21x31x12x22x32a1色,a3,a4x13x23x33x14x24x34x41x42.x43x44在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上.现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把ai和a2之间的夹角记为8,那么由于|ai|=|a2|=1,再由内只公式，得cosai

3、a2而0.53980.32160.00000.2943ai,a20.17780.34640.82280.8307故cosa1a20.9187得23.2.按同样的方式，我们可以得到表1.2.表1.2基因间的“距离”爱斯基摩人班图人英国人朝鲜人爱斯基摩人0。23.216.4°n16.80班图人23.20°9.8020.40英国人16.409.800。19.60朝鲜人16.8020.4019.600°由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大2Euler的四面体问题问题如何用四面体的六条棱长去表示它的体积

4、？这个问题是由Euler(欧拉)提出的.L*21札某捷化£如的因师也解建立如图2.1所示坐标系，设A,B,C三点的坐标分别为(a1,b1,C1),(a,b2,C2)和(a3,b3,C3),并设四面体O-ABC的六条棱长分别为l,m,n,p,q,r.由立体几何知以它们为棱的平行道，该四面体的体积V等于以向量OA,OB,OC组成右手系时,1一K面体的体积V6的6.而aibiOAOBOCa2b2C1C2C3于是得将上式平方，得6Va1b1c,a2b2c2a3b3C3aih Gaia2b2c2a2a3b3c3a3236V22,22a,D cihcib2c2b3c3bib2Gc2a1a3b1b

5、3c2c3a2a32a2bE 丑b2c2b2b3c2 c3a2a32a3bibsGc3b2 b3c2 c3根据向量的数量积的坐标表示，有OAOA2.22aibici,OAOBaa2bib20i02,OAOCaa3b1b3Gq,OBOBa2 b2202OBOCa2 a3b2b3c2c3,OCOCa2 b223c3OA OA OA OB OA OC36V2OA OB OB OB OB OCOA OC OB OC OC OC于是(2.D由余弦定理，可行OA OB p q cos同理2222220Aoe r，OBOC将以上各式代入（2.i）式，得a3b336V 2222P q n22P22. 2p r

6、 l2222, 2p r l22r(2.2)这就是Euler的四面体体积公式.例一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为l=10m,m=15m,n=12m,p=14m,q=13m,r=11m.p2 q2 n2 110.5,2代入(2.1)式，得p2 r2 m22p2 r2 1246, p295.196110.54636V 21369829.75.110.5169954695121于是-32V238050.82639(195m).即花岗岩巨石的体积约为195m3古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.3动物数量的按年龄段预测问题问题某农场饲养的某种动物所能

7、达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，05岁；第二组，610岁；第三组，1115岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和1一3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为2和1，一，、一一，4.假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？问题分析与建模因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年后就经过了 3个时间周期.设x厂表示第k个时间周期的第i组年龄阶段动物的数量(k=1 , 2, 3; i=1, 2, 3).因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时

8、间周期 上一年龄组存活下来动物的数量，所以有x2k) gx(k1), x3k) 1x2k1)(k 1,2,3).又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出 生的动物的数量，所以有x1(k)4x2k 1)3x3k 1) (k 1,2,3).于是我们得到递推关系式:(k) x1kx24x2k 1) 3x；1,Nk1,1x2k 1).4用矩阵表示(k) x1(k) x2x3k)(k 1)x1(k 1)x2x3k 1)(k 1,2,3).(k) x.(k 1)Lx(k1,2,3).其中0431000L-00,x(0)10002110000-04则有（i） x(k 1,2,3),

9、Lx0431000700010010005002110002500-040437000(2) x.(1)Lx1005002125000427503500125043275014375xLx10035001375211258750-04结果分析15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中05岁的有14375头，占86.47%,610岁的有1375头，占8.27%,1115岁的有875头，占5.226%.15年间，动物总增长16625-3000=13625头，总增长率为13625/3000=454.16%.注要知道很多年以后的情况，可通过研究式x（k）Lx（k1）Lkx（0）中当趋于无穷大

10、时的极限状况得到.关于年龄分布的人口预测模型我们将人口按相同的年限（比如5年）分成若干年龄组，同时假设各年龄段的田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型.人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距（如先例的5年），令x?是在时间周期k时第i个年龄组的（女性）人口，i=1,2,n.用1表示最低年龄组，用n表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口的变化.i个年龄组的成员将全部转移到假如排除死亡的情形，那么在一个周期内第i+1个年龄组.但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系数所衰减.于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述：(k)(k1)

11、Xi1biX(i1,2,n1),其中bi是在第i个年龄组在一个周期的存活率，因子b可由统计资料确定.惟一不能由上述议程确定的年龄组是X1(k),其中的成员是在后面的周期内出生的，他们是后面的周期内成员的后代，因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其人数.于是有方程(k)(k 1)k 1X1a1X1a2X2(k 1) anXn(3.1)这里ai(i1,2,n)是第i个年龄组的出生率，它是由每时间周期内，第i个年龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的，通常可由统计资料来确定.于是我们得到了单性别分组的人口模型，用矩阵表示便是<x1(k2330 0 a2ob2 a1b oano

12、 o1n o o aX171XI71XI71xnk)000bni0xnk1)或者简写成x(k)Lx(k1).(3.2)矩阵aa?a3an1anb0000L0b2000000bn10称为Leslie矩阵.由(3.2)式递推可得x(k) Lx(k1)Lkx这就是Leslie模型.4企业投入产生分析模型问题某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费，铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地

13、金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型设xi为煤矿本周内的总产值，X2为电厂本周的总产值，X3为铁路本周内的总产值，则xi (0 xi0.65x2 0.55x3) 50000,x2 (0.25xi 0.05x2 0.10x3)0.05x20x3)0,x100.650.55x150000X20.250.050.10x225000.x30.250.050x30x100.650.5550000Xx2,A0.250.050.10,Y25000x30.250.050025000,(4.1)

14、x3(0.25x1即矩阵A称为直接消耗矩阵，X称为产出向量，Y称为需求向量，则方程组(4.1)为XAXY,即(EA)XY,(4.2)列昂杰夫矩阵为非奇异其中矩阵E为单位矩阵，（E-A）称为列昂杰夫矩阵,矩阵.投入产出分析表Xi设 B (E A) 1 E,C A 0000X2 0 , D= (1 , 1 , 1) C.0 X3矩阵B称为完全消耗矩阵，它与矩阵A一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩P$C可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D称为总投入向量，它的元素是矩阵C的对应列元素之和,分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C,向量丫，X和D,

15、可得投入产出分析表4.1.表4.1投入产出分析表单位：元I铁路煤矿C11C12C13y1X1电厂c21c22C23y2X2铁路c31c32c33y3X3总投入d1d2d3按（4.2）式解方程组可得产出向量XC和向量D,计算结果如表4.2.表4.2投入产出计算结果单位：元I煤矿036505.9615581.5150000102087.48电厂25521.872808.152833.002500056163.02铁路25521.872808.150028330.0251043.7442122.2718414.525交通流量的计算模型问题图5.1给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）国5

16、.1假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.建模与计算由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组:X2X3X4300,X4X5500,X7X6200,XiX2800,XiX5800,X7X81000,X9400,X10X9200,X10600,X8X3X61000.系数矩阵为0 10 00 01 11 0A0 00 00 00 00 010000000011100000000010010000000100000010010010000000001000100000011000000

17、000110增广矩阵阶梯形最简形式为10001000008000100100000000100000002000001100000500000001010080000000011001000000000001040000000000016000000000000000000000000B其对应的齐次方程组为X1X50,X2X50,X30,X4X50,xX80,X7X80,X90,X100.取（x5,x8）为自由取值未知量，分别赋两组值为（1,0）,（0,1）,得齐次方程组基础解系中两个解向量0,0,0,0,0,1,1,1,0,0',其对应的非齐次方程组为X乂5800,乂2x50,治20

18、0,x4乂5500,x6x8800,为x1000,x400,x10600.赋值给自由未知量（x5,x8）为（0,0）得非齐次方程组的特解x800,0,200,500,0,800,1000,0,400,600'.一I、-I，1-*.于是万程组的通解Xki1k22X,其中ki,k2为任意常数，x的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解6小行星的轨道模型问题一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787X1011m）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，

19、测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.表6.1坐标数据x1x2x3x4x5X坐标5.764y16.286y26.759y37.168y47.408y5Y坐标0.6481.2021.8232.5263.360由Kepler（开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为2c2a1x2a2xya3y2a4x2a5y10.问题分析与建立模型天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据:（X5, y5）.（X1,y1），（X2,y2）,（X3,y3）,（X4,y4）,由Kepler第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，

20、二次曲线的一般方程为a1X2 2a2Xy a3y2 2a4X2a5 y10.为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得a1x12a1X2a1X3a1X22a%2a2*访2a2*2丫22a2X3y32a2*4丫42a2X5 y5a3 y1a3y2a3 y2a3y22a3 y52a4X12a4X22a4X32a4X42a4X52"2a5 y22a5 y32a5 y42a5 y51,1,1,1,1.这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵求解这一线性方程组，所得的是个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一2X12X1y12y12X12y1a112X22x2y22y

21、22x22y2a212X32X3Y3y；2x32y3a312X42X4y4vy2x42y4a412X52X5Y5y2x52y5a51些参数，还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式22XYF72ab由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点，这时可以根据椭圆的长半轴a和短半轴b计算出小行星的近日点和远日点距离，以及椭圆周长L.根据二次曲线理论，可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下22D1X22Y20.所以，椭圆长半轴：圆短半轴：bC；椭圆半焦矩:ca2b2.计算求解首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵33.2237 7.470139.5138 15.1115A 45.6841 24

22、.643351.3802 36.212755.9504 50.26560.419911.5281.2921.4448 12.5720 2.40403.3233 13.5180 3.64606.3807 14.3360 5.052011.2896 14.9600 6.7200使用计算机可求得(a1,a2,a3,a4,a5)(0.6143,0.3440,0.6942,1.6351,0.2165).从而Ca1a20.61430.3440a2a30.34400.6942C0.3081,C的特征值10.3080,21.0005.aa2a3Da?a3 a§a4as10.61430.34401.6

23、3510.34400.69420.21651.63510.21651D1.8203.于是，椭圆长半轴a19.1834,短半轴b5.9045,半焦距c18.2521.小行星近日点距和远日点距为hac039313Hac37.4355.最后，椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分，可以考虑用数值积分解决问题，其近似值为84.7887.7人口迁移的动态分析问题对城乡人口流动作年度调查，发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势：每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，那么一年以后住在城镇人口所占比例是多少？两年以后呢

24、？十年以后呢？最终呢？解设开始时,令乡村人口为y0,城镇人口为Z0,一年以后有乡村人口9751000y01100z0y1,城镇人口251000y099100z04,或写成矩阵形式9751V11000100V。Z125994.1000100两年以后，有975197512V21000100y11000100V0Z22599Z12599Z010001001000100十年以后，有975110y101000100V0z102599Z01000100事实上，它给出了一个差分方程：UkiAuk.我们现在来解这个差分方程.首先9751A1000100年之后的分布（将A对角化）:ykk v。AZkZok522

25、193八0775200551017711V。Z0这就是我们所要的解，而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态y /、（V。 Z0）Z总人口仍是 y Z0,与开始日一样，但在此极限中人口的275 .75在城镇，而2在乡村.无论初始分25991000100布是什么样，这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是A的属于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性质：人口总数保持不变，而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质反映在下面事实中：矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内，而没有人被重复或丢失.后一性质则反映在下面事实中：矩阵没有负元素；同样地y0和z0也是非负的，从而y1和4，

26、丫2和Z2等等也是这样.8常染色体遗传模型为了揭示生命的奥秘，遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣.动植物在产生下一代的过程中，总是将自己的特征遗传给下一代，从而完成一种生命的延续”.在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对.人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的，具特征遗传由两个基因A和a控制.基因对是AA和Aa的人，眼睛是棕色，基因又是aa的人，眼睛为蓝色.由于AA和Aa都表示了同一外部特征，或认为基因A支配a,也可认为基因a对于基因A来说是E1性的(或称A为显性基因，a为隐性基因).下面我们选取一个常染色体遗传一一植物后代问题进行讨论某植物园中植物的基因型为AA,Aa,aa.人们计划用AA型植物与每种基因型植物相结合的