数学模型试题

1、数字各出现1次,而中间, 列 出 方 程数字记为 x 多 出现了（2 分）15分为(2分)abc159（2分）Jmnk834159672(2分)取k=2时其它变量全为整数一.简答题1、什么是数学模型？（5分）答：数学模型可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。2、建立数学模型的方法有哪些？（5分）答：一般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类，一类是机理分析方法，一类是测试分析方法。同时也可以说成：机理分析、统计分析、系统分析相结合。二、.智力题九宫图，请把1,2,3,4,5,6,7,8,9填

2、入3乘以3的正方形格子，使3个行中每个行的数字总和为15,3个列中每个列的数字总和也15,两个对角线数字总和也15.建模求解出这9个数字的填法（1）先证明填入中间格数字为5（7分）用推理或建立模型方法求出其它数字（建模只说明求解，不求具体解,8分）（1）把第2行，第2歹I，两对角线所有数字相加，12,3,4,5,6,7,8,9(4分)(1+2+3+4+5+6+7+8+9)+3x=4父15分）解方程得x=5,分）中间格X22为5（2）数字1不能填对角,否则相应一个对角为9而1对应行，列总和为14,而14=6+8仅有一种排法由对称性有右图填法把余下数分3个一组，按总和为第一组（3,4,8）预放入第

3、1行，第2组（2,6,7）预放入第3行调整次序不难得出右图最终结果别一法：利用上图列出方程a+b+c=15m+n+k=15«a+m=14b+n=10ck=6解空间是1维，取k为自由变量(k=2,3,4,6,7,8),(3分)不允许缺贷白存贮模型，试作出一些必要而合理的假设，建立的数学模型并求解（共15分）解：模型假设：(2分）1 .产品每天需求量为常数r2 .每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2(23 .生产能力无限大模型建立一周期总费用如下：(22c C C2rT2C =C (3一周期平均费用为Ci f (T)-C2rT +2(2模型求解：用微分法解得周期T =2Ci

4、 rC 2(2、-2rCi八贮存量Q=4-cy（2分）四.建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球的初速度为v,出手高度为h,出手角度为2,（与地面夹角），试建立投掷距离与vha的关系，并求在v.h一定的条件下最佳的出手角度2 。解：如图建立坐标系，易得t时刻铅球的位置p（x,y）满足如下方程。d2xdt2t =o = 0'2y nMYy t 华二RRxh O8分dx t 6 =、- cos出2ydttz0 = vsin解之得：x=vcos« t (1)1 , 2y = 一- gt vsin .：s t h210分由（2）令g=0,求得铅球的落地时间 臭代入（1）求得掷远为22

5、2、2c VJv .2 -，2hR=sin a cos® + ! 2-Sin 3 + glgg Jv cos 二13分(3)又可表示为：R2 g = 2v2 cos2a (h + R .tana)令dR = 0得出最佳出手角度oT = sin工15分d：2（v2 gh）五.经济型捕鱼模型是其中0<c<1,捕捞率y>0试求出平衡点,并判断平衡点稳定性解：解方程许一地一9二0得至呼衡点:x=1（2分）（x1）y=0y=0.10.1c设右2元函数求偏导得''gx=y,gy=x-1（2分）一.，,_0-0.2c-n平衡点（1,1-0.1c）时，系数矩阵A=（

6、2分）©1-0.1c0j不难得出特征方程九2+p九十q=0,p>0,q>0（2分）的两个特征根是实部是负数，其是稳定的，中心（2分）六、相对总目标C,准则的权重为w0=0.5,0.5T,125、相对与准则a,方案A1,A2,A3的判断距阵为A=1/212,0/51/21,31/3、相对与准则c2,方案A1,A2,A3的判断距阵为B=；1/311/5,<351>试用和法求方案A1,A2,A3对总目标的权重。1 25A=1/212中各列归一化J/51/21,1.785、各行求和0.830再归一住385,135、B=1/313中各列归一化q/51/31,1.9各行求

7、和0.782再归一化一<0.318；10/17 4/7 5/8"5/172/72/812/171/71/8,0.595、0.277 =w16 分©128'彳5/23 9/13 5/9、5/23 3/13 3/913/231/131/9,0.633”0.261 =w20.106所以三个方案Ai,A2,A3对总目标的权重为:0.5950.6330.614W=(w1,w2)w：=0.2770.2610.50.5】=0.2693分0.1280.1060.117七、理事会有5个常任理事和10个非常任理事，提案仅当全部常任理事和至少4个非常任理事赞成时方可通过，求每位常任

8、理事和每位非常任理事在投票中的权重。(10分)解：设I=(1,2,|5,6,|15,其中i=1,2,5表示常任理事，i=6,7，15表示非常任理事，特征函数定义为：v(s)=1,当S=(1,2,3,4,5,bU(6,7,l5»中任意k个元素的集合，k=(1,2,10)时,v(s)=0',当S为I的其它子集时，特征函数取1的子集共有C2个，且每个的k5-1!15-k5!Ws二15k=4,.,10一.1.而i1-50.196：0.002i=6,7,1510,常任理事在投票中所占的权重为0.196,而非常任理事在投票中所占的权重为：0.0020八、设三家公司同时向市场投放一种轮胎，当时三家公司所占的市场份额相等，但在第二年中，市场份额就发生了如下变化。甲公司保持其顾客的80%丧失5%合乙，丧失15%合内。乙公司保持其顾客的90%丧失10%合甲，没有丧失给内。丙公司保持其顾客的60%丧失20%合甲，丧失20%合乙假设顾客的购买倾向与第二年相同，试问第三年底三家公司各占多少市场份额？若依此发展下去，市场如何分配？解：状态定义为i=1(甲),i=2(乙),i=3(丙)0.80.050.15、则容易得到转移概率矩阵，p=0.10.900.20.200.6,以