函数的定义域和值域

1、函数定义映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射（mapping）记作“”函数的概念1定义：如果A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作，。其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。函数与映射的关系与区别相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对

2、应都具有方向性; (3)A中元素具有任意性，B中元素具有唯一性； 区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 函数的三要素函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域值域和对应法则当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它例 已知函数f(x)=3x5x2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)例 函数y与y3x是不是同一个函数？为什么？练习 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ f ( x ) = (x 1) 0；g ( x ) = 1 f ( x ) = x； g ( x ) = f ( x ) =

3、x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 重点一：函数的定义域各种类型例题分析例 求下列函数的定义域（用区间表示）（1）；解：，解得函数定义域为.例 当a取何实数时，函数y=lg(-x2+ax+2)的定义域为(-1，2)?分析： 可转化为：确定a值，使关于x的不等式-x2+ax+2>0的解集为(-1，2).解： -x2+ax+2>0x2-ax-2<0，故由根与系数的关系知a=(-1)+2=1即为所求.练习、求下列函数的定义域(1)（2） 抽象函数定义域【类型一】“已知f(x)，求f()”型例：已知f(x)的定义域是0

4、，5，求f(x+1)的定义域。【类型二】“已知f() ，求f(x)”型例：已知f(x+1) 的定义域是0，5，求f(x)的定义域。【类型三】“已知f()，求f()”型例：已知f(x+2)的定义域为-2，3），求f(4x-3)的定义域。【思路】f()f(x)f() 例. 函数的定义域为，则函数的定义域是_。 分析：因为相当于中的x，所以，解得或。例 已知函数f(2x)的定义域是-1，2，求f(log2x)的定义域.分析： 在同一法则f下，表达式2x与log2x的值应属于“同一范围”.解: -1x2，2x4故log2x4即log2log2xlog216x16.总结：已知F(g(x)的定义域为A，求

5、F(h(x)的定义域，关键是求出既满足g(x)B，又满足h(x)B的x取值集合，在此例中，A=-1，2，B=，4.例已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：(1) ；(2)。解：（1）由0x2， 得 练习1、函数的定义域是0，2，则函数的定义域是 _.2、已知函数的定义域是-1，1，则的定义域为 _.3、已知的定义域为，则的定义域为 _ 重点二：求函数解析式的几种常用方法1. 换元法：例 已知f(x+1)=+2x-3,求f(x)解: 令x+1=t,则x=t-1代入函数式中得:f(t)= +2(t-1)-3= -4 f(x)= -4说明:f(x),f(t)都是同一个对应法则,只是自变量的

6、表示不同,从函数来看没有区别.练习、1 若f(x)=2x2-1，求f(x-1) 2 已知函数f(2x+1)=3x+2，求f(x). 2. 配凑法：上例中,把已知的f(x+1)中的x+1看成是一个整体变量进行处理.f(x+1)=+2x+1-4 = -4用x代替 x+1,得: f(x)= -4例 已知f(x+)= , 求f(x). 分析：将用x+ 表示出来，但要注意定义域。解：f(x+)= =变式、1 已知x0，函数f(x)满足f()=，求f(x) . 2 已知，求3、待定系数法：例.一次函数f(x)满足ff(x)=9x+8,求f(x). 解：设此一次函数解析式为f(x)=kx+b,则有：ff(x

7、)=kf(x)+b =k(kx+b)+b = 由已知得： =9x+8.即 解得 或 所求一次函数解析式为：f(x)=3x+2,或f(x)=-3x-4.例 已知是二次函数，若，求.4. 解方程组法：例 设f(x)满足f(x)+2f()=x (x 0 ),求f(x).分析：要求f(x)需要消去f(),根据条件再找一个关于f(x)与f() 的等式通过解方程组达到目的。解：将f(x)+2f()=x 中的x用代替得f()+2f(x)= . 消去f() 得 : 例 若3f(x)+f(-x)=2x,求f(x).解：用-x替换式中x得:3f(-x)+f(x)=2+x. 消去f(-x) 得： f(x)=2-2x

8、练习、1 若，求 2 若满足求重点三 函数的值域、观察法： 例、求下列函数的值域（1） y=3x+2(-1x1) （2） 、配方法：例、已知函数，分别求它在下列区间上的值域。（1）xR； （2）3，4（3）0，1（4）0，5 练习： 1.已知函数，分别求它在下列区间上的值域。（1）； （2）； （3）； （4）2.求函数 的值域说明：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，一般是根据函数所给x的取值范围，结合函数的图象求得函数的值域.例若实数x、y满足x2+4y2=4x，求S=x2+y2的值域解：4y2=4x-x20 x2-4x0，即0x4 当x=4时，Smax=16 当x=0时，Smin=0

9、 值域0S16例已知函数y=f(x)=x2+ax+3在区间x-1,1时的最小值为-3，求实数a的值分析：的位置取决于a，而函数的自变量x限定在-1，1内，因此，有三种可能性，应分别加以讨论解： 综合（1）（2）（3）可得：a=±7、换元法例、求函数的值域。解：令，则13-4x=t2 该二次函数的对称轴为t=1，又t0由二次函数的性质可知y4，当且仅当t=1即x=3时等式成立，原函数的值域为（-，4。例求函数的值域。解析：方法1、可用换元法解答 方法2、根据函数的单调性来做例 求函数 y=2x+2-3×4 x(-1x0) 的值域解 y=2x+2-3

10、3;4x =4·2x-3·22x 令 2x=t 例 练习、 1.求函数的值域2. 求函数的值域形如：的函数可令，则转化为关于t的二次函数求值。（四）、分离常数法例 求函数的值域。练习、1.求的值域 2.求值域 例、求函数的值域。解析：因为，而，所以，则，故 所求函数的值域为。(此题也可用判别式法求解)对于形如的有理分式函数均可利用部分分式发求其值域。（五）判别式法例解 由已知得 (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y-1)=0 (*) （2）若2y-10，则xR =(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)0 即 (2y-1)(10y-3)0 练习 1 求函数的值域. 2

11、求函数y=的值域。（六）利用函数的单调性例 解： 例 解：调递减 例：若函数的定义域为R，求k的取值范围。【变】若函数 的定义域为R，求k的取值范围。函数的定义域与值域目的：1.能够由函数表达式求出定义域（各种不同类型）；2.对含字母系数的定义域会对字母参数取值范围进行全面讨论；3.掌握求函数值域的基本方法：观察法、配方法、判别法、换元法、反函数法、均值不等式法、 及图象法。一、 选择题：1.函数y的取定义域是（ ）A.1，1 B. C.0，1 D.1，12.已知函数f（x）的定义域是一切实数，则M的取值范围是（ ）A.0m1 B.0m4 C.m4 D.0m43.已知函数f（x）的定义域为0，1，那么函数f（x1）的定义域为（ ）A.0，1 B.1，2 C.1， D.，11，5.函数y2的值域是（ ）A.2，2 B.1，2 C.0，2 D.，6.值域是（0，）的函数是（ ）A.y52 B.y（） C.y D.7.函数的值域是（ ）A.（，1）（5，） B.（1，5） C. （，1）（1，） D.（，）（，）8.函数的值域是（ ）A.1，1 B.0，1 C.1，0 D.1，29.函数的值域为（ ）A. B. C. D.10.函数y|x1|x2|的值域是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：11函数的定义域为_12设，则f（x）的定义域是_13函数y2的值域为_14函数y=