利率的期限结构模型

1、利率的期限结构模型摘要：本文试图用最简练和容易理解的表述，介绍关于期权定价的鞅方法的一些主要思想以及基本结论。稍微涉及到了一些偏微分方程的知识，但大都比较容易理解。主要是针对那些并不是专业的研究者，但是仍然对此感兴趣并想了解期权定价理论的读者。关键词：期权定价 鞅测度 到期（交割） 套期保值 未定权益Black-Scholes模型把利率假定为一个常量或者确定的函数，对于短期的类股票（stock-like）资产，它是一种可以接受的近似。但是，对于利率的衍生物，它却并不是合理的假设，因此我们必须解决这个随机利率的问题。建立利率的期限结构模型有几种不同的方法，它们可以分为两种：短期利率模型和远期利率

2、模型。这两种方法分别由Vasicek（1977）和Heath-Jarrow-Morton(1987,1992)最早提出。Flesaker和Hughston在1996年引入了一种新的方法建立利率的期限结构模型，我们将介绍这三种方法，其中包括一些著名的模型，而且会对一些利率衍生物的定价问题进行简要讨论。我们省略关于保值的讨论，读者可参阅Duffie(1996)，p140-141。Rogers在1997年提出了关于利率的期限结构和外汇利率的“潜在方法（potential approach）”，我们不介绍这个综合性方法，因为它在某种程度上超出了我们的范围。1.债券市场我们建立一个贯穿始终的坐标横轴，考

3、虑在一个完备概率空间上的二维布朗运动，用表示的自然域流（natural filtration）。我们考虑一个金融市场，称为债券市场，它包括银行的存款和所有可能到期的贴现债券(或零息债券)。我们称不支付任何股息，以低于交割期面值的价格售出的金融债券为贴现债券。以下我们称在时刻s到期的贴现债券为s-债券，它在时刻的价格记为，假定等于（也就是一单位的银行存款）。当时间时，一个-债券的到期收益（或简称收益）定义为 (1)它是在当前时刻对利率的未来价值的一种测度。在不同的到期时刻得到不同的收益，这反映了关于未来利率的市场观念。在时刻上的收益曲线就是靠近的轨迹，收益曲线对于到期时间的依赖关系，称为利率的期

4、限结构。在时刻上的短期价格定义为,当然，前提是这个极限存在的话。以后，我们假定对所有的都成立且可测，此外，。如果关于可微，那么就有另一种关于利率的未来价值的衡量方法叫做远期利率，它的定义如下 (2)知道远期利率，可以重新写出债券价格 (3)利率衍生物是一种金融契约，它的支付由未来的利率或者债券价格决定，因而具有随机性。为了能够给利率衍生物定价，我们需要在它有效期间内对利率或者债券价格建立动态行为模型，基本的原理是假定债券市场不存在套利。如果是确定的光滑函数，那么在无套利的情况下，必须具有如下形式这里是时刻上的短期利率。它表示在这种情况下，债券价格完全由短期利率决定。但是，在不确定的情况下，这不

5、再成立。事实上，假设给定我们短期利率过程,它是一个可测的适应非负过程。如果是等价于的一个概率测度，我们写成 （4）那么定义为债券价格，而是这个债券市场的等价鞅测度。所以不同的等价概率测度导出不同的债券价格模型。我们将会在下段的讨论中看到对一种等价概率测度的选择依赖于对市场风险价格的指定。2.短期利率模型（1）单因素模型我们假定短期利率过程是建立在目标概率测度下的扩散过程 （5）这里是一维布朗运动。因为在方程(5)里唯一的状态变量是短期利率，我们称这种模型为单因素模型(one-factor model)。为了建立关于这个债券市场的短期利率模型，我们首先选择一个适当的等价于的概率测度，作为债券市场

6、的等价鞅测度，然后，根据风险中性价值公式(4)建立债券价格过程。为简单起见，我们只考虑那些等价概率测度，它们关于的Radon-Nikodym衍生物有如下形式 （6）这里是在上的波雷尔函数。因此，选择的概率测度包含了指定的函数。后者可用市场数据加以估计，因为是-债券的风险市场价格。一旦我们知道了函数，在(5)中建立的短期利率过程可以重新用“风险中性”的语言建立，如下 （7）这里，是一个一维的-布朗运动,并且.通过Feynman-Kac公式我们知道，在一些规范的条件下，s-债券的定价过程可以表示为，这里是一个在上的函数，并且对于任意给定的，它是如下偏微分方程的唯一解 （8）终值条件是。作为单因素模

7、型的例子，我们现在给出两个最著名的模型：Vasicek模型和CIR模型。在Vasicek模型中，假定短期利率过程在风险中性条件下（也就是在等价鞅测度空间中）满足以下形式的随机微分方程（SDE）， （9）这里，是正的常数，是下的布朗运动，这样的一个过程称为Ornstein-Uhlenbeck过程。短期利率看起来好像是股票的价格，但是两者之间重要的区别之一是短期利率在整个时间上总会趋向于某个长期平均水平，一个著名的现象是均值回归（mean reversion）。实际上，如果市场风险价格是一个常数，那么从（9）我们可以知道短期利率在利率被拉向水平，因为。容易验证（9）的唯一解是 （10）因为是正态分

8、布，但如果出现，这显然不合理。不过这个模型有一个优点是它给出了-债券价格的一个明确的表达式 （11）这里 （12） （13）这些公式既可以通过解方程（8）得到，也可以用（10）计算（4）的条件期望值得到。正像上面所提到的，Vasicek模型的一个缺点是短期利率可能为负值。为了解决这个问题，Cox-Ingersoll-Ross（1985）建议在风险中性范围内用如下的随机微分方程对短期利率行为建立模型 （14）这里，是正的常数，方程（14）有唯一解，而且必是非负的。通过解方程（8）我们得到了对于s-债券价格的相同的表达式（11），这里 （15） （16）这里。两个模型里，和都是关于和的确定的函数，

9、并且债券价格有（11）的形式。收益曲线在时刻是关于短期利率的线性函数：。因此，二者均为仿射期限结构（affine term structure）。这种模型的收益曲线的形状可能是上扬，下倾，以及轻微隆起。详细的讨论建议读者参考Duffie（1992）。实际上，专业人士利用短期利率的历史数据估计参数、的值，然后在这些估计出来的参数的基础上计算出一组可交易的债券和期权的价值，把这些值同市场价值比较，最后再调整参数的值，反复进行这样的过程直到模型能很好的符合历史数据。不过，调整参数的值是很困难的，因此只要债券价格符合当日债券价格的观测值就可以了。为了克服这个缺点，Hull和White（1990）把这个

10、模型扩展到具有依存于时间系数的情形：，这些扩展模型同样具有仿射期限结构（affine term structure）。（2）多因素模型前面介绍的单因素短期利率模型给出了债券价格的明确的表达式，但这些模型不能很好地符合实际的利率运动情况。更贴近实际的短期利率模型应该包含一些其他的经济变量，比如长期利率，特定数量债券的收益，短期利率浮动率等等。我们用一个多维布朗运动来描述不确定性，这样的模型称为多因素模型。第一个多因素模型是由Brennan和Schwartz（1979）提出的二维扩散模型，其中的状态变量是短期利率长期利率，后者用联合公债价格的倒数来描述。联合公债是一种没有最终到期日的特殊的有息债券

11、。然而，Dybvigetal（1996）得出的一个结果告诉我们长期利率不会下降，因此不能用扩散来建立模型。Chen在1996年提出了一个三因素模型，这个模型除了短期利率，还引入了另外两个因素，短期平均利率和短期利率浮动率。最近几年，许多论文研究所谓的高维平方型Guass-Markov过程模型，描述如下这里是等价鞅测度空间下的维布朗运动，是定义在上的明度函数，而是上的明度函数。这个模型的优点是能够导出确切的债券价格公式，建议读者参考Rogers（1995）。3.HJM模型Heath，Jarrow和Morton在1987年提出了另一种建立期限结构模型的方式（参见Heath-Jarrow-Morto

12、n（1992）。HJM模型根据远期利率来描述期限结构模型。通过这种方式，模型就可以自动适合当前的收益曲线。Ho和Lee在1986年提出类似HJM模型的离散时间模型。已知远期利率的一个随机模型，我们假定定义了时刻上的短期利率，对于给定的到期日，在风险中性的范围内，可以用Ito过程表示远期利率的HJM模型 （17）这里是等价鞅测度空间下的维布朗运动,和是分别取值在和上的可测度适应过程，这样（17）可以很好的定义为一个Ito过程。初始远期曲线是确定的，并且满足条件。假定是利率过程，则因为是一个严格正鞅，由布朗运动的鞅表示法则，存在一个上的适应过程，满足也就是 （18）另一方面，由（4），有因此，通过

13、比较的两个表达式的鞅部分，在一些理论条件下确保Fubini定理的实用性，我们得到 （19）由此，必可表示为 （20）如果想了解更详细的证明，读者可以参见Duffie(1996)，p.151-153。由（17）和（20）我们得到特别的，当是一个常量时，我们可以得到Ho-Lee模型的连续时间极限这里4.Flesaker-Hughston模型Flesaker和Hughston于1996年提出了利率的期限结构新的建模方法，这种方法的关键在于对（4）的观察：-债券的价格过程由（4）定义，使则根据Bayes法则， （21）这里 （22）因为是一个P-鞅，所以是一个上鞅，而表达式（22）只是上鞅的数量积分解

14、。现在假设是严格正的P-上鞅，债券价格由（22）规定，如果上鞅A的数量积分解具有（22）的形式，其中是一个P-上鞅，是非负过程，那么相应的短期利率过程必是，并且具有密度过程的概率测度是具有不同到期时间债券的价格过程的等价鞅测度。举个例子来说，令 （23）这里是严格正的递减函数，且，是定义在域流概率空间（filtered probability space）上的严格正的鞅，且。然后由（21）立即可以得到 （24）这个模型可以轻松的适合初始曲线：它只要选择这样的和就可以了 （25）为了得到短期利率的清晰的表达式，我们假定是布朗运动中性流，因为是严格正鞅，它必须具有形式，这里是适当的可测过程。令是上

15、鞅的数量积分解，这里为严格正的局部鞅，是严格正的递减过程且，必须具有的形式，因此由 Ito公式，我们有 （26）通过比较（26）两边的项和剩余项，我们发现 （27）因此，如果是一个鞅并且我们由定义一个概率测度，那么是一个唯一的概率测度，满足 （28）可以由（27）解出，结果是由（28）我们可以得到短期利率过程的一个清晰的表达式 （29）特别的，容易证明，这里是远期利率。Flesaker-Hughston模型的主要优点是我们可以直接用上鞅表示利率衍生物在时刻的价格（到期时刻） （30）通过这个方程可以得到一些利率衍生物价格的显式表达式，例如具有上限的衍生物（cap）和可交换的衍生物（swapti

16、ons），建议读者参阅Rutkowski（1997）。5.利率衍生物的定价给到期日为的利率衍生物定价，有两种计价单位：银行存款和-债券。当一个衍生物同利率相关且模型由Ito随机微分方程给出（比如Vasicek模型或者CIR模型），我们选择银行存款作为计价单位。在此种情况下可以得到，利率衍生物的价值表达式可以从一个偏微分方程解出。假设短期利率过程服从由（14）给出的单因素模型，考虑在到期日下的利率衍生物，它在任何下有股息并且最终支付为。由等价鞅测度的定义，给出时刻上衍生物的价值 （31）这里。在合适的条件下，Feynman-Kac公式保证可以解下面的偏微分方程 （32）满足边界条件 （33）这里

17、 （34）特别的，-债券在时刻上的值由给出，这里是方程（32）在并且满足边界条件的解。现在我们假定利率期限结构由HJM表示，在此种情况下我们把-债券作为计价单位，更精确的说，令是时刻的债券价格。在的时候我们定义为-债券的规范化形式，把作为计价单位，用表示银行存款的价值过程。现在我们要找一个概率测度，满足：由计价单位贴现的银行存款的价值过程是一个-鞅。最后，我们定义上概率测度因为-鞅显然有是-鞅。现在由（16）有因此由Girsanov定理，是一个-维-布朗运动。如果一个到期时刻为利率衍生物只有最终支付，则由Bayes法则它的时刻的价值可以给出为以下是著名的利率衍生物的一些例子，它们都用到了以上提

18、到的估价方法。（1） 一个具有预购股票价格的欧式看涨期权是一个契约，它的最终支付为。（2） 利率交换是发生在两对立方（比如A和B）的一种契约，他们进行一系列的现金支付交易。A同意以固定的利率支付B，以浮动的利率回收。理论上，本金用于决定支付的多少，并且没有本金的交易。从A的观点来看这是利率的衍生物，它以价格支付股息，这里是达成一致的时刻零上的固定利率。容易看出，时刻的交换价值是。（3） 利率上限是一种金融手段，它为浮动利率债务有效地设置一个利率偿还的最大值。换句话说，上限就是具有可变利率的贷款，这个利率被限制在某个水平下。如果我们假定短期利率服从方程（14），那么那么贷款的每单位本金以及上限的

19、价值由（31）和（32）给出，此时，。（4） 利率下限是一种金融手段，它为浮动利率债务有效地设置一个利率偿还的最小值。当最终支付为1时,它是一个把最低的作为股息价格的未定权益。（5） 利率约束（interest rate collar）是在具有相同的支付日期和重置区间的情况下，从长期考虑时利率有一个上限，从短期考虑时利率有一个下限。6.远期价格和未来价格现在考虑具有到期的远期契约，它是关于一个单位的特别资产的，这个资产价格过程为。假定短期利率过程是有界的，并且贴现过程是一个在等价鞅测度下的鞅。令是优先资产在时刻的远期价格，那么通过定义知道这个契约在到期的支付为，因为这个远期契约在时刻的价值应该

20、为，我们有因而，它给出了 （35）现在，我们研究未来价格。考虑一个到期为的未来契约，这个契约是关于某一特殊资产的单位资产的，它具有价格过程。令是标的资产在时刻上的未来价格，假定介于时间段的支付发生在时刻，由于未来契约在时刻的价值为零，我们必有，这里。为了得到的精确值，我们考虑一个理想的连续支付，在这种情况下，我们应该有，这里，它意味着积分是一个-鞅。因为存在常数满足，所以也是一个鞅。因此我们有 （36）从（35）和（36）我们看到如果和是独立的，那么远期价格和未来价格是一致的，举个例子来说，当是一个确定的函数时，结论成立。到此为止，我们已经介绍了短期利率模型的单因素和多因素模型、HJM模型、F

21、lesaker-Hughston模型，以及利率衍生物定价的一些模型。虽然只是涉及到一些基本理论框架和重要结论，但是这个理论从产生到发展直至今天，已经得到了广泛的应用。参考文献1 Black, F. and M. Scholes(1973), The pricing of options and corporate liabilities, J. of Political Economy 81,635-654.2 Brennan, M. J. and Pliska, S. (1991),On the fundamental theorem of asset pricing with an inf

22、inite state space, J. Math. Econ.,20,1-18.3 Chen, L.(1996),Interest Rate Dynamics, Derivatives Pricing, and Risk Management, LN in Econom. and Math. Systems 435,Springer.4 Cox, J.C. and M. Rubinstein(1985), Options Markets, Prentics-Hall.5 Duffie, D.(1996), Dynamic Asset Pricing Theory, 2nd ed., Pri

23、nceton Univ. Press.6 Dybvig, P.H., J. E. Ingersoll and S. A. Ross(1996), Long forward and zero-coupon rates can never fall, J. Business 69,1-257 Flesaker, B. and L. Hughston(1996), Positive interest, Risk Magazine,9(1),46-49.8 Heath, D., A. Jarrow and A. Morton(1987),Bond pricing and the term struct

24、ure of interest rates, preprint. 9 Heath, D., A. Jarrow and A. Morton(1992),Bond pricing and the term structure of the interest rates; A new methodology,Econometrica,Vol.60,(1),77-105.10 Ho, T. S. and S. B. Lee(1986),Term structure movements and pricing interest rate contingent claims, J. Finance 41

25、,1011-1029.11 Hull, J. and A. White(1990),Pricing interest-rate-derivatives securities, Review of Financial Studies,3,573-592.12 Rogers, L.C.G.(1995),Which model for the term-structure of interest rates should one use? In: Mathematical Finance (ed. M.H.A. Davis et al.),IMA Volume 65,Springer-Verlag,93-116.13 Roger