土木工程测量-第五章 测量误差的基本知识

1、第五章第五章 测量误差测量误差土 木 工 程 测 量土 木 工 程 测 量教学课件的基本知识的基本知识通过前几章的学习，我们掌握了角度、距离和高差的测量方法，通过前几章的学习，我们掌握了角度、距离和高差的测量方法，对测量过程和结果含有误差也有了一定的感性认识。本章集中讲述对测量过程和结果含有误差也有了一定的感性认识。本章集中讲述有关测量误差的基本知识，包括衡量精度的标准、误差传播定律和有关测量误差的基本知识，包括衡量精度的标准、误差传播定律和直接观测平差。直接观测平差。5 测量误差的基本知识测量误差的基本知识对未知量进行测量的过程，称为对未知量进行测量的过程，称为观测观测。测量所获得的数值称为

2、。测量所获得的数值称为观测值观测值。进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实。进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实质上表现为质上表现为观测值观测值与其与其真实值真实值( (简称为简称为真值真值) )之间的差异，这种差异之间的差异，这种差异称为称为测量误差测量误差 或或 观测误差观测误差。5.1 观测误差概述观测误差概述5.1.1 5.1.1 观测及观测误差观测及观测误差观测观测观测值观测值用用L Li i代表观测值，代表观测值，X X代表真值，则有代表真值，则有i i=L=Li i-X-X(5-1)(5-1)式中式中i i就是就是观测误差观测误差，通常称为，通常称为 真

3、误差真误差，简称误差。，简称误差。真误差真误差一般情况下，只要是观测值必然含有误差。一般情况下，只要是观测值必然含有误差。5 测量误差的基本知识测量误差的基本知识观测误差来源于三个方面：观测误差来源于三个方面：仪器、工具的精密程度；仪器、工具的精密程度；观测者视觉鉴别能力和技术水平；观测者视觉鉴别能力和技术水平；观测时外界条件的好坏。观测时外界条件的好坏。三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件将影响观测成果三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件将影响观测成果的精度。观测条件相同的各次观测称为的精度。观测条件相同的各次观测称为等精度观测等精度观测；观测条件不相；观测条件不相同的各次观测，称为

4、同的各次观测，称为非等精度观测非等精度观测。5.1 观测误差概述观测误差概述5.1.2 5.1.2 观测误差的来源观测误差的来源观测条件观测条件一般认为，在测量中人们总希望测量误差越小越好，甚至趋近一般认为，在测量中人们总希望测量误差越小越好，甚至趋近于零。于零。在实际生产中，据不同的测量目的，允许含有一定程度的误差在实际生产中，据不同的测量目的，允许含有一定程度的误差根据性质不同，观测误差可分为粗差、系统误差和偶然误差三根据性质不同，观测误差可分为粗差、系统误差和偶然误差三种，即种，即=1 1+2 2+3 3 (5-2)(5-2)5.1 观测误差概述观测误差概述5.1.3 5.1.3 观测误

5、差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法粗差粗差是一种大级量的观测误差，例如超限的观测值中往是一种大级量的观测误差，例如超限的观测值中往往含有粗差。粗差也包括测量过程中各种失误引起的误差。往含有粗差。粗差也包括测量过程中各种失误引起的误差。产生的原因产生的原因：疏忽大意、失职；仪器自身或受外界干扰发生故：疏忽大意、失职；仪器自身或受外界干扰发生故障等。障等。含有粗差的观测值都不能使用含有粗差的观测值都不能使用。在观测中应尽量避免出现粗差。在观测中应尽量避免出现粗差，发现粗差的有效方法是，进行必要的，发现粗差的有效方法是，进行必要的重复重复观测，通过多余观测条观测，通过多余观测条件，采用必

6、要而又严密的件，采用必要而又严密的检核检核、验算验算等。等。=1 1+2 2+3 3 (5-2)(5-2)系统误差系统误差在一定的观测条件下进行一系列观测时，符号在一定的观测条件下进行一系列观测时，符号和大小保持不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。和大小保持不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。系统误差具有积累性，对测量结果影响很大系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。5.1 观测误差概述观测误差概述5.1.3 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。方法有：在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。方法有：在观

7、测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系统在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系统误差的影响误差的影响。如角度测量中盘左、盘右观测，水准测量中限制前后。如角度测量中盘左、盘右观测，水准测量中限制前后视视距差等。视视距差等。找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的改正改正。如对距离观测值进行尺长改正、温度改正和倾斜改正，对竖。如对距离观测值进行尺长改正、温度改正和倾斜改正，对竖直角进行指标差改正等。直角进行指标差改正等。将系统误差限制在允许范围内将系统误差限制在允许范围内。有的系统误差既不便计算改。有的系统误差既不

8、便计算改正，又不能采用一定的观测方法加以消除，例如，经纬仪照准部管正，又不能采用一定的观测方法加以消除，例如，经纬仪照准部管水准器轴水准器轴不垂直于不垂直于仪器竖轴仪器竖轴的误差对水平角的影响，对于这类系统的误差对水平角的影响，对于这类系统误差，则只能按规定的要求对仪器进行精确检校，并在观测中仔细误差，则只能按规定的要求对仪器进行精确检校，并在观测中仔细整平将其影响减小到允许范围内。整平将其影响减小到允许范围内。偶然误差偶然误差在一定的观测条件下，对某量进行一系列观测在一定的观测条件下，对某量进行一系列观测时，符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。时，符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误

9、差。5.1 观测误差概述观测误差概述5.1.3 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法产生偶然误差的原因往往是产生偶然误差的原因往往是不固定的不固定的和和难以控制难以控制的，如观测者的，如观测者的估读误差、照准误差等。不断变化着的温度、风力等外界环境也的估读误差、照准误差等。不断变化着的温度、风力等外界环境也会产生偶然误差。会产生偶然误差。粗差粗差可以发现并被剔除，可以发现并被剔除，系统误差系统误差能够加以改正，而能够加以改正，而偶然误差偶然误差是不可避免是不可避免的，的，并且是消除不了的并且是消除不了的。它在消除了粗差和系统误差的。它在消除了粗差和系统误差的观测值中

10、占主导地位观测值中占主导地位从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且误差个数越多，规律性越明显。误差个数越多，规律性越明显。例如某一测区在相同观测条件下观测了例如某一测区在相同观测条件下观测了358358个三角形的全部内个三角形的全部内角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于真值真值180180( (表表5-1)5-1)5.1 观测误差概

11、述观测误差概述5.1.3 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法5.1 观测误差概述观测误差概述5.1.3 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法从表从表5-1中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：小误差小误差比大误差出现的频率高，绝对值相等的正、负误差出现的个数和频比大误差出现的频率高，绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率相近，最大误差不超过率相近，最大误差不超过16。统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性：统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性：特性特性1 在一定观测条件下的有限

12、个观测中，偶然误差的绝对值在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值不超过一定的限值。不超过一定的限值。(范围范围)特性特性2 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小。现的频率小。(绝对值大小绝对值大小)特性特性3 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。(符号符号)特性特性4 当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为0，即即(抵偿性抵偿性)(5-3)本章此处及以后本章此处及以后“ ”表示取括号中下标变量的代数和，即表示取括号中下

13、标变量的代数和，即i=(5-3) 0limlim21nnnnn5.1 观测误差概述观测误差概述5.1.3 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法用用图示法图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表5-1的数据，的数据，以误差大小为横坐标，以频率以误差大小为横坐标，以频率k/n与区间与区间d的比值为纵坐标，如图的比值为纵坐标，如图5-1所示。这种图称为所示。这种图称为频率直方图频率直方图。5.1 观测误差概述观测误差概述5.1.3 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法可以设想，当误差个数可以设想，当误差

14、个数n，同时又无限缩小误差区间，同时又无限缩小误差区间d，图，图5-1中各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线，如图中各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线，如图5-2所示。该所示。该曲线称为曲线称为误差分布曲线误差分布曲线。其函数式为：其函数式为：(5-4)22221)(efy即正态分布曲线上任一点即正态分布曲线上任一点的纵坐标的纵坐标y均为横坐标均为横坐标的函的函数。数。标准差标准差大小反映观测精大小反映观测精度的高低，定义为：度的高低，定义为：(5-5)nn2lim上式可知，上式可知，的大小决定的大小决定于一定条件下偶然误差出现于一定条件下偶然误差出现的绝对值的大小。的绝对值的大小。2222

15、1e5.1 观测误差概述观测误差概述5.1.3 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法在图在图5-1中各矩形的中各矩形的面积是频率面积是频率k/n。由概率。由概率统计可知，频率统计可知，频率k/n就是就是真误差出现在区间真误差出现在区间d上上的概率的概率p()(图图5-2)，记，记为：为：(5-6) dfdpdnk式式(5-4)和式和式(5-6)中中f()是误差分布的概率的是误差分布的概率的概率密度函数概率密度函数，简称，简称密度函数密度函数。22221e5.2 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准在相同观测条件下，对某一量所进行的一组观测，对应着同一在相同观测条

16、件下，对某一量所进行的一组观测，对应着同一种误差分布，因此，这一组中的每一个观测值，都种误差分布，因此，这一组中的每一个观测值，都具有同样的精度具有同样的精度。为了衡量观测值的精度高低，显然可以用前一节方法，为了衡量观测值的精度高低，显然可以用前一节方法，绘出频率直绘出频率直方图或误差分布表加以分析来衡量方图或误差分布表加以分析来衡量。但这样做实际应用十分不便，。但这样做实际应用十分不便，又缺乏一个简单的关于精度的数值概念。这个数值应该能反映误差又缺乏一个简单的关于精度的数值概念。这个数值应该能反映误差分布的分布的密集密集或或离散离散程度，即应程度，即应反映其离散度的大小反映其离散度的大小，作

17、为衡量精度，作为衡量精度的指标。的指标。下面介绍几种常用的衡量精度的指标。下面介绍几种常用的衡量精度的指标。5.2 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准5.2.1 5.2.1 中中 误误 差差由式由式(5-5)定义的定义的标准差标准差是衡量精度的一种标准，但那是理论上是衡量精度的一种标准，但那是理论上的表达式。在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中的表达式。在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中定义定义中误差中误差m作为衡量精度的一种标准作为衡量精度的一种标准：(5-7)nm2在式在式(5-4)中，当中，当=0时，以中时，以中误差误差m代替标准差代替标准差（图（图53）

18、是最大值 21)(mf(5-4)22221)(efy5.2 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准5.2.1 5.2.1 中中 误误 差差因此在一组观测值中，当小误差比较集中时，因此在一组观测值中，当小误差比较集中时，m1较小，则曲线较小，则曲线形状较陡峭，如图形状较陡峭，如图5-3中中f1()，表示该组观测精度较高；，表示该组观测精度较高；f2()的曲线的曲线形状较平缓，其误差分布比较离散，形状较平缓，其误差分布比较离散，m2较大，表明该组观测精度低。较大，表明该组观测精度低。如果令如果令f()的二阶导数等于的二阶导数等于0，可求得曲线拐点的横坐标：可求得曲线拐点的横坐标：01-)(222

19、22321ef=m也就是说，也就是说，中误差的几何意中误差的几何意义即为偶然误差分布曲线两个拐义即为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标点的横坐标。=m (5-8)5.2 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准5.2.2 5.2.2 相相 对对 误误 差差中误差和真误差都是绝对误差中误差和真误差都是绝对误差。在衡量观测值精度时，单纯用在衡量观测值精度时，单纯用绝对误差有时不能完全表达精度的优劣。例如，分别测量了长度为绝对误差有时不能完全表达精度的优劣。例如，分别测量了长度为100m和和200m的两段距离，中误差皆为的两段距离，中误差皆为0.02m。显然不能认为两段。显然不能认为两段距离测量精度相

20、同。为了客观地反映实际精度，必须引入相对误差距离测量精度相同。为了客观地反映实际精度，必须引入相对误差的概念。的概念。相对误差相对误差K是误差是误差m的绝对值与观测值的绝对值与观测值D的比值的比值：(5-9)|1|mDDmK上式中当上式中当m为中误差时，为中误差时，K称为称为相对中误差相对中误差。在距离测量中还常用往返观测值的相对较差来进行检在距离测量中还常用往返观测值的相对较差来进行检核。核。相对较差相对较差定义为：定义为：(5-10)DDDDDD-1平均平均平均返往D相对较差是相对较差是相对真误差相对真误差，它反映往返测量的符合程度。，它反映往返测量的符合程度。5.2 衡量观测值精度的标准

21、衡量观测值精度的标准5.2.3 5.2.3 极限极限 误误 差和容许误差差和容许误差极限误差极限误差由偶然误差的特性由偶然误差的特性1可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是对值不会超过一定的限值。这个限值就是极限误差极限误差。标准差或中误。标准差或中误差是衡量差是衡量观测精度观测精度的指标，它不能代表个别观测值真误差的大小，的指标，它不能代表个别观测值真误差的大小，但从统计意义来讲，它们却存在着一定的联系。根据式但从统计意义来讲，它们却存在着一定的联系。根据式(5-4)和式和式(5-6)有：有：表示真误差落在表示真误差落

22、在(-，+)内的概率等于内的概率等于0.683。同理可。同理可得：得：(5-11)683. 022221deP(5-12)2221955. 022222deP(5-13)3321997. 033222deP5.2 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准5.2.3 5.2.3 极限极限 误误 差和容许误差差和容许误差极限误差极限误差上列三式结果的概率含义是：在一组等精度观测值中，真误差上列三式结果的概率含义是：在一组等精度观测值中，真误差在在范围以外的个数约占误差总数的范围以外的个数约占误差总数的32%；在在2范围以外的个范围以外的个数约占数约占4.5%；在；在3范围以外的个数只占范围以外的个

23、数只占0.3%。绝对值大于绝对值大于3的真误差出现的概率很小，因此可以认为的真误差出现的概率很小，因此可以认为3是是真误差实际出现的真误差实际出现的极限极限，即，即3是极限误差：是极限误差：极限极限=3(5-14)极限极限=3(5-14)5.2 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准5.2.3 5.2.3 极限极限 误误 差和容许误差差和容许误差容许误差容许误差测量实践中，是在极限误差范围内利用容许误差对偶然误差的测量实践中，是在极限误差范围内利用容许误差对偶然误差的大小进行数量限制的。在实际应用的测量规范中，大小进行数量限制的。在实际应用的测量规范中，常以常以2倍倍或或3倍倍中中误差作为偶

24、然误差的容许值，称为误差作为偶然误差的容许值，称为容许误差容许误差，即，即容容=22m(5-15)或或容容=33m(5-16)容容=22m(5-15)容容=33m(5-16)前者要求较严，后者要求较宽。如果观测值中出现了大于容许前者要求较严，后者要求较宽。如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。5.3 误误 差差 传传 播播 定定 律律前面叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出在测量前面叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出在测量工作中工作中通常以中误差作为衡量精度的指标通常以中误

25、差作为衡量精度的指标。但在实际工作中，某些。但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来。例如，欲测量不在同一水平面上两根据一定的函数关系计算出来。例如，欲测量不在同一水平面上两点间的距离点间的距离D，可以用光电测距仪测量斜距，可以用光电测距仪测量斜距S，并用经纬仪测量竖直，并用经纬仪测量竖直角角，以函数关系，以函数关系D=Scos来推算。显然，在此情况下，来推算。显然，在此情况下，函数函数D的中的中误差与观测值误差与观测值S及及的中误差之间的中误差之间，必定有一定的关系。阐述

26、这种函，必定有一定的关系。阐述这种函数关系的定律，称为数关系的定律，称为误差传播定律误差传播定律。设有一般函数设有一般函数Z=f(X1,X2,，Xn)(5-17)式中式中X1、X2、，Xn为可为可直接观测直接观测的未知量；的未知量；Z为不便于直接为不便于直接观测的未知量。观测的未知量。其中函数其中函数Z的中误差为的中误差为mZ，各独立变量，各独立变量X1、X2，Xn对应的观对应的观测值中误差分别为测值中误差分别为m1,m2,mn，如果知道了，如果知道了mz与与mi之间的关系，就之间的关系，就可由各变量的观测值中误差来推求函数的中误差。可由各变量的观测值中误差来推求函数的中误差。各变量的观测值各

27、变量的观测值中误差与函数的中误差之间的关系式，称为误差传播定律中误差与函数的中误差之间的关系式，称为误差传播定律。Z=f(X1,X2,，Xn)(5-17)5.3 误误 差差 传传 播播 定定 律律设设xi(i=1、2、n)的独立观测值为的独立观测值为 li,其相应的真误差为其相应的真误差为xi。由于由于xi的存在，使函数的存在，使函数Z亦产生相应的亦产生相应的真误差真误差Z。将。将(5-17)取全微取全微分分因误差因误差xi及及Z都很小，故在上式中，可近似用都很小，故在上式中，可近似用xi及及Z代替代替dx及及dz，于是有，于是有nndxxFdxxFdxxFdz2211nnxxFxxFxxFz

28、2211式中式中 为函数为函数f对各自变量的偏导数。将对各自变量的偏导数。将xi=li代入各偏导数中，代入各偏导数中，即为确定的常数，设即为确定的常数，设ixF ilxxFfiii则上式可写成则上式可写成Z=f1x1+f2x2+fnxn为了求得函数和观测值之间的为了求得函数和观测值之间的中误差关系式中误差关系式，设想对各，设想对各xi进行进行了了k次观测，则可写出次观测，则可写出k个类似上式的关系式个类似上式的关系式Z=f1x1+f2x2+fnxn5.3 误误 差差 传传 播播 定定 律律)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2()1()1(22)1(11)1(knnkkknnn

29、nxfxfxfzxfxfxfzxfxfxfz将上式各式等号两边平方后，再相加，得将上式各式等号两边平方后，再相加，得njijijijinnxxffxfxfxfz, 1,22222221212上式两端各除以上式两端各除以knjijijijinnkxxffkxfkxfkxfkz, 1,222222212125.3 误误 差差 传传 播播 定定 律律设对各设对各xi的观测值的观测值li为彼此独立的观测，则为彼此独立的观测，则xixj当当ij时，亦为时，亦为偶然误差偶然误差。根据偶然误差的特性。根据偶然误差的特性 4 可知，可知，上式末项当上式末项当k时趋近于时趋近于零零，即，即故故njijijiji

30、nnkxxffkxfkxfkxfkz, 1,222222212120limkxxkji)(lim22222221212limkxfkxfkxfkznnkk根据中误差（标准差）的定义（根据中误差（标准差）的定义（5-5)，上式可写成，上式可写成22222221212nnzfff当当k为有限值时，可写为为有限值时，可写为：22222221212nnzmfmfmfm5.3 误误 差差 传传 播播 定定 律律上式即为计算函数中误差的一般形式。应用上式时，必须注意：上式即为计算函数中误差的一般形式。应用上式时，必须注意：各观测值是相互独立的变量，而当各观测值是相互独立的变量，而当li为未知量为未知量xi

31、的直接观测值时，可的直接观测值时，可认为各认为各li之间满足相互独立的条件之间满足相互独立的条件。利用它不难导出表利用它不难导出表5-2所列简单函数的误差传播定律。所列简单函数的误差传播定律。(5-26) 2222221221nxfxfxfzmmmmn5.4 等精度直接观测平差等精度直接观测平差除了标准实体，自然界中任何单个未知量除了标准实体，自然界中任何单个未知量(如某一角度，某一长如某一角度，某一长度等度等)的的真值真值都是无法确知的，只有通过都是无法确知的，只有通过重复观测重复观测，才能对其作出，才能对其作出可靠的估计可靠的估计。在测量中，重复测量的目的还在于。在测量中，重复测量的目的还

32、在于提高提高观测成果的观测成果的精精度度，同时也为了，同时也为了发现和消除粗差发现和消除粗差。重复测量形成了多余观测，加之观测值必然含有误差，这就产重复测量形成了多余观测，加之观测值必然含有误差，这就产生了观测值之间的矛盾。为消除矛盾，必须依据一定的数据处理准生了观测值之间的矛盾。为消除矛盾，必须依据一定的数据处理准则，采用适当的计算方法，对有矛盾的观测值加以必要而又合理的则，采用适当的计算方法，对有矛盾的观测值加以必要而又合理的调整，给以调整，给以适当的改正适当的改正，从而求得观测值的，从而求得观测值的最佳估值最佳估值，同时对观测，同时对观测进行进行质量评估质量评估。人们把这一数据处理的过程

33、称作。人们把这一数据处理的过程称作测量平差测量平差。对一个未知量的直接观测值进行平差，称为对一个未知量的直接观测值进行平差，称为直接观测平差直接观测平差。据。据观测条件，有观测条件，有等精度等精度直接观测平差和直接观测平差和不等精度不等精度直接观测平差。直接观测平差。平差平差结果是得到未知量最可靠的估值结果是得到未知量最可靠的估值(最可靠值最可靠值)，最接近其真值，最接近其真值，称为，称为“最或是值最或是值”。测量平差测量平差直接观测平差直接观测平差最或是值最或是值5.4 等精度直接观测平差等精度直接观测平差在等精度直接观测平差中，在等精度直接观测平差中，观测值的算术平均值是未知量的观测值的算

34、术平均值是未知量的最最或是值或是值。即即x=(l1+l2+ln)/n=l/n(5-27)5.4.1 5.4.1 求求 最最 或或 是是 值值x=(l1+l2+ln)/n=l/n(5-27)观测值观测值与与最或是值之差最或是值之差，称为，称为“最或是误差最或是误差”，用符号，用符号vi(i=1,2,n)来表示。来表示。Vi=li-x (i=1,2,n)(5-28)将将n 个最或是误差个最或是误差vi相加，有：相加，有：v=l-nx=0(5-29)即最或是误差的总和为即最或是误差的总和为0。式。式(5-29)可以用作计算中的检核，若可以用作计算中的检核，若vi值计算无误，其总和必然为值计算无误，其

35、总和必然为0。显然当观测次数显然当观测次数n时时，vi=i（真误差）。（真误差）。Vi=li-x (i=1,2,n)(5-28)v=l-nx=0(5-29)5.4 等精度直接观测平差等精度直接观测平差观测值中误差观测值中误差由于独立观测中单个未知量的由于独立观测中单个未知量的真值真值X是无法确知的，是无法确知的，因此因此真误差真误差i也是未知的，所以不能直接应用也是未知的，所以不能直接应用(5-7)求得求得中中误差误差。但可用有限个等精度观测值。但可用有限个等精度观测值li求出求出最或是值最或是值x后，再后，再按公式按公式(5-28)计算计算最或是误差最或是误差，用最或是误差，用最或是误差vi

36、计算观测计算观测值的中误差。公式推导从略。值的中误差。公式推导从略。5.4.2 5.4.2 评评 定定 精精 度度(5-34)式式(5-34)是等精度观测中是等精度观测中用最或是误差计算中误差用最或是误差计算中误差的的公式。公式。12nvm5.4 等精度直接观测平差等精度直接观测平差最或是值的中误差最或是值的中误差设对某量进行设对某量进行n次等精度观测，观测值为次等精度观测，观测值为l1,l2,，ln,中误差为中误差为m。最或是值最或是值x 的中误差的中误差M的计算公式推导如下：的计算公式推导如下：5.4.2 5.4.2 评评 定定 精精 度度根据误差传播定律，有：根据误差传播定律，有：(5-

37、35)nnnnnllllx12111(5-36)221221221)()()(mmmMnnn所以所以(5-37)顾及式顾及式(5-34)，算术平均值的中误差也可表达如下：，算术平均值的中误差也可表达如下：(5-38)1(2nnvMnmM5.5 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差在对某一未知量进行非等精度观测时，各观测结果的中误差也在对某一未知量进行非等精度观测时，各观测结果的中误差也各不相同，各观测值便具有不同程度的可靠性。在求各不相同，各观测值便具有不同程度的可靠性。在求未知量的最可未知量的最可靠估值靠估值时，就不能像等精度观测那样简单地取算术平均值，因为时，就不能像等精度观测那样简单

38、地取算术平均值，因为较可靠的观测值，应对最后结果产生较大的影响。较可靠的观测值，应对最后结果产生较大的影响。不等精度观测值的可靠性，可用称为观测值不等精度观测值的可靠性，可用称为观测值“权权”的数值来表的数值来表示。示。“权权”是权衡轻重的意思，观测值的精度愈高，其权愈大。例是权衡轻重的意思，观测值的精度愈高，其权愈大。例如，对某一未知量进行了两组不等精度观测，但每组内各观测值是如，对某一未知量进行了两组不等精度观测，但每组内各观测值是等精度的。设第一组观测了等精度的。设第一组观测了4次，其观测值为次，其观测值为l1、l2、l3、l4；第二组观第二组观测了测了3次，观测值为次，观测值为l1、

39、l2、 l3。这些观测值的可靠程度都相同，。这些观测值的可靠程度都相同，每组分别取算术平均值作为最后观测结果，即每组分别取算术平均值作为最后观测结果，即(5-39)32321lllL414321llllL5.5 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差对于观测值对于观测值L1、L2来说，彼此是不等精度观测，故最后结果应来说，彼此是不等精度观测，故最后结果应为：为：(5-40)34347213214321LLlllllllL权只有相对意义，起作用的不是其绝对值，而是其比权只有相对意义，起作用的不是其绝对值，而是其比值，权通常用字母值，权通常用字母p表示，且恒取正值。表示，且恒取正值。5.5 不等

40、精度直接观测平差不等精度直接观测平差一定的中误差，对应着一个确定的误差分布，即对应着一定的一定的中误差，对应着一个确定的误差分布，即对应着一定的观测条件。观测值的中误差愈小，其值愈可靠，权就愈大。因此，观测条件。观测值的中误差愈小，其值愈可靠，权就愈大。因此，也可根据中误差来定义观测值的权。也可根据中误差来定义观测值的权。5.5.1 5.5.1 权与中误差的关系权与中误差的关系设设n个不等精度观测观测值的中误差分别为个不等精度观测观测值的中误差分别为m1，m2，mn，则，则权可以用下式来定义：权可以用下式来定义：其中其中可取为任意正常数可取为任意正常数。(5-42)22221,21nmnmmp

41、pp前面所举的例子，前面所举的例子， l1、l2、l3、l4和和l1、 l2、 l3是等精度观测，是等精度观测，观观测值的中误差为测值的中误差为m，则第，则第1组的组的算术平均值算术平均值L1的中误差的中误差m1可以根据可以根据式式(5-37)得：得：mm411同理，可得第同理，可得第2组算术平均值组算术平均值L2的中误差为：的中误差为：mm3125.5 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差在式在式(5-42)中分别代入中分别代入m1和和m2，得：，得：5.5.1 5.5.1 权与中误差的关系权与中误差的关系式中式中为任意常数。设为任意常数。设 =m2, 则则L1、L2的权为的权为由上式可知，由上式可知，权与中误差的平方成反比。任意选择权与中误差的平方成反比。任意选择值，可以值，可以使权变为便于计算的数值使权变为便于计算的数值。L1：3222412221mmmmppL2：=m2p1=4 , p2=35.5 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差5.5.1 5.5.1 权与中误差的关系权与中误差的关系例例59对某一角度进行了对某一角度进行了n次观测，求算术平均值的权。次观测，求算术平均值的权。由例由例59可知，可知，取一测回角度观测值之权为取一测回角度观测值之权为1，则，则n个测回观测个测回观测值的算术平均值的权为值的算术平均值的权为n。故