二次函数的图像与性质

1、二次函数的定义、图像与性质二次函数的定义例1、下列函数中哪些是二次函数，哪些不是，如果是二次函数，指出二次项系数、一次项系数、常数项。 例2、已知是关于的二次函数，则常数项为 ( )A B C或 D或变式1、下列函数中，是的二次函数的是( )A B C D2、函数是二次函数，且图像开口向上，则的取值范围是( )A B C D二次函数的图像与性质例1、下列命题中正确的是若b24ac0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3若b24ac=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。当c=5时，不论b为何值，抛物线y=ax2+bx

2、+c一定过y轴上一定点。若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点，则方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根。若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点A、B，与y轴交于c点，c=4，SABC=6，则抛物线解析式为y=x25x+4。若抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。若抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0。若ab+c=2，则抛物线y=ax2+bx+c（a0）必过一定点。若b23ac，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴一定没有交点。若一元二次方程ax2+bx+

3、c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx2+bx+a的图象与x轴必有两个交点。若b=0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。例2、如图，已知二次函数y= ax²+bx+c(a0)的图象 （1）求a，b，c的值（2）求顶点p的坐标 （3）求的面积（4）求四边形ACPB的面积根据图像，判断a、b、c的关系问题例、已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如上图所示，则下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个变式1、小强从如图所示的二次

4、函数的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）；（2） ；（3）；（4） ； （5）；你认为其中正确信息的个数有（ ）A2个 B3个 C4个 D5个2、如上图所示，二次函数的图象经过点,且与x轴交点的横坐标为、,其中、；下列结论： 正确的结论是 。3、已知抛物线yax2bxc(a0)经过点(1，0)，且顶点在第一象限有下列三个结论：a0；abc0；0，则正确的是 。比较大小问题例、若二次函数的图像开口向上，与x轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时时，对应的y1 与y2的大小关系是（ ）Ay1 <y2 B. y1 =y2 C. y1 >y2 D.不确

5、定变式1、二次函数的图象如图所示，若，则（ ）A， B， C， D，3、已知抛物线（0）过A（，0）、O（0，0）、B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是（ ）A B C D不能确定点坐标及平移问题。例、二次函数的图像如下图，则点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限变式1、已知二次函数的图象如图所示，则点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（ ）A(2，-3) B(2，1) C(2，3) D(3，2)例、将抛物线C：y

6、=x²+3x-10，将抛物线C平移到C/。若两条抛物线C,C/关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是（ ）A将抛物线C向右平移2.5个单位 B将抛物线C向右平移3个单位C将抛物线C向右平移5个单位 D将抛物线C向右平移6个单位变式、二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ，c= 。图像和单调性问题。例、函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）变式、在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（ ）例、已知二次函数y=x2+bx+c中，函数与自变量的部分对应值如下表：（1）求该二次函数的关系式；（2

7、）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？xyO1练习1、已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：；方程的两根之和大于0；随的增大而增大；，其中正确的个数（）A4个 B3个 C2个 D1个2、已知=次函数yax+bx+c的图象如右上图则下列5个代数式： ac，a+b+c，4a2b+c， 2a+b，2ab中，其值大于0的个数为（ ） A2个 B3个 C4个 D5个3、根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴（ ）x1012y121OxyA只有一个交点B有两个交点，且它们分别在y轴两侧C有两个交点，且它们均在y轴同侧 D.没有交点4、二次函数的图象如图所示，则一次

8、函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）yxOyxOBCyxOAyxOD5、抛物线的对称轴是直线（ ）ABCD6、把抛物线yax+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是yx3x+5，则a+b+c=_7、O的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象，则阴影部分的面积是 .提高题：抛物线与x轴交点为A，B，（A在B左侧）顶点为C.与Y轴交于点D(1)求ABC的面积。(2)若在抛物线上有一点M，使ABM的面积是ABC的面积的倍。求M点坐标(得分点的把握)（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐

9、标；若不存在，请说明理由.(4)在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBAC是等腰梯形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由课后练习1、（2014·南充）二次函数（0）图象如图所示，下列结论：0；0；当1时，；0；若，且，则2其中正确的有（）AB CD2、（2014年山东泰安，第20题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a0）中的x与y的部分对应值如下表：x1013y1353下列结论：（1）ac0； （2）当x1时，y的值随x值的增大而减小（3）3是方程ax2+（b1）x+c=0的一个根；（4）当1x3时，ax2+（b1）x+c0其中正确的个数为（）A4个B

10、3个C2个D1个3、 （孝感）抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图所示，则以下结论：；方程有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为（ ）x1y133OA1个 B2个 C3个 D4个4、函数与的图象如图所示，有以下结论：；当时，；其中正确的个数是：（ ）A1 B2 C3 D4 5、已知二次函数y=x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 。6、关于x的函数y=（m21）x2（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值7、已知二次函数（m是常数）（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点；（2）把该函数的图像沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？8、已知关于x的方程有两个不相等的实数根x1、x2（1）求k的取值范围；（2）试说明；（3）若抛物线与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且，求k的值9、（金华）如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（ ）。A B C D或10、(2014年天津市，第12 题3分)已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图11-8，且关于x的一元二次方程ax2+