一笔画和最短路线

1、一笔画和最短路线一、一笔画1. 下面的图形可以一笔画成吗？如果可以，请你用一笔画成（在图上标出箭头）；如果不能，请简单说明理由。A组：B组：C组： （4） （5） （6） （7）2判断图中的三个图形，哪个图形能一笔画？为什么？请把能一笔画出的图形的画法用字母和箭头表示出来。3有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，右图中的点表示村庄，线段表示道路。邮递员从邮局出发，能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局么？如果可以，请你用一笔画成（在图上标出箭头）；如果不能，请简单说明理由。4下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路且不重复，问出、入口应设在哪里？5一张纸上画有如下所示的图，你能否用剪刀连

2、续剪下图中的三个正方形和两个三角形？ 二、最短路线1甲、乙、丙是三个镇，中间有一条河把甲、丙和乙隔开，如图1312，要使这三个镇中任何两个镇之间都有最短通路，除了在甲、丙之间修一条直线型公路外，还需要在河面上架两座桥，使甲与乙、乙与丙之间也有通路这两座桥应架在什么地方最合理 2有两条通讯路线A和B，如图1313，通讯员从C处出发，查完两条线后到D处，作图表示他怎样走路程最短（假设到达通讯线路的任何一处都可完成查线工作）？3要在两条街道（如图1314）A和B上各设立一个邮筒，M处是邮局，问邮筒设在哪里才能使邮递员从邮局出发，到两个邮筒取完信再回到邮局的路程最短？ 4一个小虫从圆柱体（如图1315

3、）的A点处绕圆柱体侧面一周，最后爬到顶点B处请画出小虫从A点绕到圆柱体侧面到达B点的最短路线5如图1316，A、B、C三点分别是正方体三条棱的中点假设一只蚂蚁沿着正方体的表面从中点A爬到中点C，图中所示路线是否为蚂蚁爬行的最短路线，为什么？答案仅供参考：1如图13-1所示，桥应架在AB、CD位置上 2如图13-2所示，沿CPQD走路程最短3如图13-3所示，邮筒应设在E、F两点，沿MEFM路线为最短 4将圆柱体的侧面展开成一个长方形，如图13-4从A到B的直线段最短，把侧面展开图卷成圆柱，那么直线段AB就变成圆柱体侧面上的曲线AB，小虫沿着这条曲线爬行是最短路线5要求A到C的最短路线，可以先把

4、立方体展开，使它相邻两个面处于同一平面内蚂蚁从A到C有两条路线可以选择：（1）将朝上的一面与朝前的一面展开在同一平面内，连结AC，则AC一定过中点B，如图13-5假设正方体的棱长为2个长度单位，则由勾股定理，得：AC2=2222=8（2）把朝前和朝右的一面展开在同一平面内，连结AC，如图13-6同样可以求得AC2=12+（21）2=10比较两种路线，由于8小于10，所以沿第一条路线从A到C的路线为最短，即图13-21所示路线是蚂蚁爬行的最短路线6、甲、乙两村之间隔一条河，如图131现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？分析：设甲、乙两村分别用点A、B表示要在河上架桥，

5、关键是要选取一个最佳建桥的位置，使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短即从甲村到甲村河边的桥头的距离加上桥长（相当于河的宽度），再加上乙村到乙村河边的桥头的距离尽可能短，这是一个求最短折线的问题直接找出这条折线很困难，能否可以把它转化为直线问题呢？由于河的宽度不变，不论桥修在哪里，桥都是必经之路，且桥长相当于河宽，是一个定值，所以可以预先把这段距离扣除，只要使两镇到河边桥头的距离最短就可以了所谓预先将桥长扣除，就是假设先走完桥长，即先把桥平移到甲村，先过了桥，到C点，如图132，找出C到B的最短路线，实际上求最短折线问题转化为直线问题解：如图132过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长等于河宽

6、连BC交与乙村的河岸于F点，作EF垂直于河的另一岸于E点，则EF为架桥的位置，也就是AE+EF+FB是两村的最短路线7、如图133，A、B两个学校都在公路的同侧想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？8、如图136，河流EF与公路FD所夹的角是一个锐角，某公司A在锐角EFD内现在要在河边建一个码头，在公路边修建一个仓库，工人们从公司出发，先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处，问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短分析：工人们从A出发先到河边码头，再到公路的仓库，然后回到A处，恰好走一个三角形，现在要求三

7、角形的另外两个顶点分别建在河岸与公路的什么位置能使这个三角形的三边之和为最小，利用轴对称原理作图解：过A分别作河岸、公路的对称点A、A，如图137，连结AA，交河岸于M，交公路于N，则三角形AMN各边之和等于直线AA的长度，所以仓库建在N处，码头建在M处，使工人们所行的路程最短9、如图138是一个长、宽、高分别为4分米、2分米、1分米的长方体纸盒一只蚂蚁要从A点出发在纸盒表面上爬到B点运送食物，求蚂蚁行走的最短路程分析：因为是在长方体的表面爬行，求的是立体图形上的最短路线问题，往往可以转化为平面上的最短路线问题将蚂蚁爬行经过的两个面展开在同一平面上，如图139，在展开图中，AB间的最短路线是连

8、结这两点的直线段，但要注意，蚂蚁可沿几条路线到达B点，需对它们进行比较解：蚂蚁从A点出发，到B点，有三条路线可以选择：（1）从A点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点， 将这两个平面展开在同一平面上，这时A、B间的最短路线就是连线AB，如图139（1），AB是直角三角形ABC的斜边，根据勾股定理，AB2=AC2+BC2=（1+2）2+42=25（2）从A点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点，将这两个面展开在同一平面上，如图139（2），同理AB2=22+（1+4）2=29（3）从A点出发，经过上底面，然后进入右侧面到达B点，将这两个面展开在同一平面上，如图139（3），得AB2=（2+

9、4）2+12=37比较这三条路线，25最小，所以蚂蚁按图139（1）爬行的路线最短，最短路程为5分米10、如图1310，在圆柱形的木桶外，有一个小甲虫要从桶外的A点爬到桶内的B点已知A点到桶口C点的距离为14厘米，B点到桶口D点的距离是10厘米，而C、D两点之间的弧长是7厘米如果小甲虫爬行的是最短路线，应该怎么走？路程是多少？分析：先设想将木桶的圆柱展开成矩形平面，如图1311，由于B点在桶内，不便于作图，利用轴对称原理，作点B关于直线CD的对称点B，这就可以用B代替B，从而找出最短路线解：如图1311，将圆柱体侧面展成平面图形作点B关于直线CD的对称点B，连结AB，AB是A、B两点间的最短距

10、离，与桶口边交于O点，则OB=OB，AB=AO+OB，那么A、B之间的最短距离就是AO+OB，所以小甲虫在桶外爬到O点后，再向桶内的B点爬去，这就是小甲虫爬行的最短路线延长AC到E，使CEBD，因为AEB是直角三角形，AB是斜边，EB=CD=7厘米，AE=14+10=24（厘米），根据勾股定理：AB2=AE2+EB2=242+72=625所以AB=25（厘米）即小甲虫爬行的最短路程是25厘米11、一个邮递员投送信件的街道如图141，图上数字表示各段街道的千米数他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局问走什么样的路线最合理，全程要走多少千米？12、 图143是一个城市道路图，数字表示各段路的路程

11、（单位：千米），求出图中从A到F的最短路程13、 某乡有八个行政村，如图144，点表示村的位置，线表示村与村之间的道路，路的长度由线旁的数字表示现在要在这个乡建立通讯网，沿道路架设电线，问沿怎样的路线架设电线最省（单位：千米）？解：根据剪圈法将圈形网络图144转化成了树形网络图145，此网络的总长度为：13+12+4+6+16+8=69（千米）由于通讯线路是双线，所以电线的总长度为69×2=138（千米）14、仍取图144中八个行政村的位置和线路图，乡政府要在全乡沿村与村之间的道路挖渠修道，建立排灌系统全乡的地势是西高东低，即A村最高，依次为B、F、G、H、E、C、D，水源在A村，问

12、沿什么路线修道最合理？分析：由题意，要确定一条合理的挖渠路线，而且要省工省料，并符合“水往低处流”的客观规律由于所修水渠是连通的，渠道可以看作是网络，而且也是树形网络只是在本题中增加了“地势不同”这一条件，所以，力求树形网络总长尽可能短的情况下，所求的树形网络的方向应该是由西向东，以A为起点，以距离A最远的D为终点采取“取短法”，所谓取短法就是剪去长线，留取短线并根据方向的限制，从地势最低点开始考虑（也可从其它点入手考虑）D的临近点有E、H、C，它们都比D地势高，所以，这三点处的水都可以流入D，则只需取一条最短的即可，ED=16最短，留ED，将HD、CD去掉再看C点，有两条通道HC、BC（这里所说的通道是指地势高的点通向地势低的点的道路），HC比BC短，去掉BC，保留HCE点有三条通道FE、GE、HE，其中HE最短，保留HE，去掉FE、GEH点有两条通道BH、GH，其中GH最短，保留GH，去掉BH，最后