2015文科数学全国1卷

1、精选优质文档-倾情为你奉上2015文科数学全国1卷一、单选题1已知集合，则集合中的元素个数为( )A. 5 B. 4 C. 3 D. 22（2015新课标全国文科）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC=(4,3)，则向量BC=A. (7,4) B. (7,4)C. (1,4) D. 3已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合， 是C的准线与E的两个交点，则 ( )A. B. C. D. 4九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一

2、)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 ()A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛5已知是公差为1的等差数列， 为的前项和，若，则（ ）A. B. C. D. 6函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 7执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的 ( )A. 5 B. 6 C. 7 D. 88已知函数，且，则（ ）A. B. C. D. 9圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示

3、，若该几何体的表面积为，则 ( )A. B. C. D. 10设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则 ( )A. B. C. D. 二、填空题11数列中为的前n项和，若，则 .12已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .13若满足约束条件，则的最大值为_14已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为 三、解答题15已知分别是内角的对边， （1）若，求（2）若，且求的面积16如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE平面ABCD，（I）证明：平面AEC平面BED；（II）若，AEEC, 三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积.17（本小题满分12

4、分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.46.656.36.8289.81.61469108.8表中= ， =（）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（）根据（）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 ，根据（）的结果回答下列问题：（）当年宣传费时，年销售量及年利润的预报值时多少？（）当年宣传费为何值时，

5、年利润的预报值最大？附：对于一组数据,，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，18已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.19（本小题满分12分）设函数.（）讨论的导函数的零点的个数；（）证明：当时.20（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图AB是直径，AC是切线，BC交与点E.（）若D为AC中点，求证：DE是切线；（）若，求的大小.21在直角坐标系xOy中，直线，圆C2:(x1)2+(y2)2=1,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求C1，的极坐标方

6、程；（2）若直线的极坐标方程为，设C2,C3的交点为M,N，求C2MN的面积22（2015高考新课标I，理24）选修45：不等式选讲已知函数fx=x+12xa,a0.（I）当a=1时，求不等式fx1的解集；（II）若fx的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.专心-专注-专业参考答案1D【解析】由已知得中的元素均为偶数， 应为取偶数，故 ，故选D.2A【解析】试题分析：BC=BA+AC=(3，1)+(4，3)=(7，4),选A.考点：向量运算3B【解析】试题分析：抛物线的焦点为所以椭圆的右焦点为即且椭圆的方程为抛物线准线为代入椭圆方程中得故选B.考点：1、抛物线的性质；2、椭圆的标

7、准方程4B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为1.6222，故选B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式5B【解析】试题分析：由得，解得.考点：等差数列.6D【解析】试题分析：由五点作图知， ，解得， ，所以，令，解得， ，故单调减区间为（， ），故选D.考点：三角函数图像与性质7C【解析】试题分析：执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=0.5,S=S-m=0.5, =0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循环，执行第2次，S=S-m =0.25, =0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环，执行第3次，S=S-m =0.

8、125, =0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循环，执行第4次，S=S-m=0.0625, =0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，执行第5次，S=S-m =0.03125, =0.,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，执行第6次，S=S-m=0., =0.,n=6,S=0.t=0.01,是，循环，执行第7次，S=S-m=0., =0.,n=7,S=0.t=0.01,否，输出n=7，故选C.考点：程序框图8A【解析】试题分析： 或 考点：函数求值9B【解析】试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球

9、的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为=16 + 20，解得r=2，故选B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式10C【解析】试题分析：设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为（），由已知知（）在函数的图像上，解得，即，解得，故选C考点：函数求解析式及求值116【解析】试题分析：由题意得，因为，即，所以数列构成首项，公比为的等比数列，则，解得考点：等比数列的概念及等比数列求和121【解析】试题分析： .考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、

10、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得 .13【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线： ，平移直线，当直线:z=3x+y过点A时，z取最大值，由解得A（1,1），z=3x+y的最大值为4.考点：简单线性规划解法14【解析】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|AF|=|PA|+|AF|+，由于是定值，要使APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、共线，（3,0），直线的方程为，即代入整理得，解得或(舍)，所以P点的纵坐标为，=.15（1）；（2）1【解析】试题分析：（1）由，结合正弦定理可得： ，再利用

11、余弦定理即可得出（2）利用（1）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出试题解析：（1）由题设及正弦定理可得又，可得由余弦定理可得（2）由（1）知因为，由勾股定理得故，得所以的面积为1考点：正弦定理，余弦定理解三角形16（1）见解析（2）3+25【解析】试题分析：（）由四边形ABCD为菱形知ACBD，由BE平面ABCD知ACBE，由线面垂直判定定理知AC平面BED，由面面垂直的判定定理知平面AEC平面BED；（）设AB=x，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示出来，在RtAEC中，用x表示EG，在RtEBG中，用x表示EB，根据条件三棱锥EACD的体积为63求出x，即可求

12、出三棱锥EACD的侧面积.试题解析：（）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，因为BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED（）设AB=x，在菱形ABCD中，由ABC=120，可得AG=GC=32 x,GB=GD=x2.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EG=32 x.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=22x.由已知得，三棱锥E-ACD的体积VEACD=1312ACGDBE=624x3=63.故x=2从而可得AE=EC=ED=6.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25

13、.考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力17（）适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型（）（）46.24【解析】试题分析：（）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（）令，先求出建立关于的线性回归方程，即可关于的回归方程；（）()利用关于的回归方程先求出年销售量的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（）根据（）的结果知，年利润z的预报值，列出关于的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.试题解析：（）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归

14、方程类型. （）令，先建立关于的线性回归方程，由于=，=563-686.8=100.6.关于的线性回归方程为，关于的回归方程为.（）()由（）知，当=49时，年销售量的预报值=576.6，. （）根据（）的结果知，年利润z的预报值，当=，即时，取得最大值.故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识18（1）；（2）2【解析】试题分析：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+

15、1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解试题解析：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1故由，解得： 故当，过点A（0，1）的直线与圆C： 相交于M，N两点（2）设M；N，由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程，可得，由，解得 k=1，故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径所以|MN|=2考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算19（）当时， 没有零点；当时， 存在唯一零点.（）见解析【解析】试题分析：（

16、）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；（）由（）可设在的唯一零点为，根据的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式.试题解析：（） 的定义域为， .当时, ， 没有零点；当时，因为单调递增， 单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时， ,故当时， 存在唯一零点.（）由（），可设在的唯一零点为，当时， ;当时， .故在单调递减，在单调递增，所以当时， 取得最小值，最小值为.由于，所以.故当时， .考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.20（）见解析（）

17、60【解析】试题分析：（）由圆的切线性质及圆周角定理知，AEBC，ACAB，由直角三角形中线性质知DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证DEC+OEB=90，即OED=90，所以DE是圆O的切线；（）设CE=1,由得，AB=，设AE= ，由勾股定理得，由直角三角形射影定理可得，列出关于的方程，解出，即可求出ACB的大小.试题解析：（）连结AE，由已知得，AEBC，ACAB，在RtAEC中，由已知得DE=DC，DEC=DCE，连结OE，OBE=OEB，ACB+ABC=90，DEC+OEB=90，OED=90，DE是圆O的切线. （）设CE=1，AE= ,由已知得AB=， ，由射影定理可得， ，解得=，ACB=60.考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理21(1)cos=2,22cos4sin+4=0；(2)12【解析】试题分析：（1）将x=cos,y=sin代入C1,C2的直角坐标方程，化简得cos=2，22cos4sin+4=0；（2）将=4代入22cos4sin+4=0，得232+4=0得， 所以|MN|=2，进而求得面积为12.试题解析：（1）因为x=cos,y=sin，所以C1的极坐标方程为cos=2，C2的极坐标方程为22cos4sin+4=0（2）将=4代入22cos4sin+4=0得232+4=0得， 所以|MN|=2因为C2的半径为1，则C2MN