具有维纳_哈默斯坦模型结构非线性系统的一种辨识方法

1、第9期2009年9月电子学报ACTAELECTRONICASINICAVol.37No.9Sep.2009具有维纳2哈默斯坦模型结构非线性系统的一种辨识方法胡钋(武汉大学电气工程学院,湖北武汉430072)摘要:本文综合应用相关分析法、多维z变换、2哈默斯坦模型结构非线性系统的方法.采用这种方法,维纳2以分别进行辨识估计,算法简单,数据量小.大量仿真结果表明,.关键词:维纳2哈默斯坦模型;非线性系统;中图分类号:TP271A037222112(2009)0921907206ProcedureforNonlinearSystemsCharacterizedbyWiener2Hammerstein

2、ModelsHUPo(SchoolofElectricalEngineering,WuhanUniversity,Wuhan,Hubei430072,China)Abstract:AnewidentificationprocedureforthenonlinearsystemswhichcanbedescribedbyWiener2Hammersteinmodelsisproposedbyusingcorrelation,multidimentionalztransform,deconvolutionandasimpleleastsquaresalgorithm.Twolinearsub2sy

3、stemsandnonlinearsystemsinmodelscanbeidentifiedandestimatedseparatelywiththisprocedure.Calculationissimple,anddataarefewer.Simulationresultsillustratethevalidityoftheproposedalgorithm.Keywords:Wiener2Hammersteinmodels;nonlinearsystems;identification1引言维纳2哈默斯坦模型是用以描述众多科学技术领域中所涉及到的大量非线性系统以及工业过程、有着非常13

4、重要应用的一种模型结构.例如,在通信理论中称之为带通非线性网络并且可以用来模拟大功率放大器等.对于具有维纳2哈默斯坦模型结构的非线性系统,其辨识方法有时域和频域两种方法,在时域方法上,早期,Billings提出了一种辨识方法59,但是,该方法计算过程比较复杂,1992年,Yoshine等又提出了一种方10法,计算量仍然很大;在频域方法上,Hosam等采用双谱法11,MichaelWeiss和AiHuiTan分别应用多频输入12和频域线性插值13的方法.前一种方法是通过输出序列的双谱来进行辨识,后两种方法则都要测量所要辨识系统的沃尔特拉核,因而均不是十分直接便利的辨识方法.本文在研究现有辨识结构

5、为维纳2哈默斯坦模型的非线性系统方法的基础之上,提出了一种新的简单、快收稿日期:2007205208;修回日期:2008207208速的辨识方法,这种方法对三个子系统分别进行时域辨识,辨识过程非常简单且辨识准确,解决了现有时域和频域辨识方法计算复杂、辨识难度较大且准确度不高的问题.2线性子系统的辨识算法具有维纳2哈默斯坦模型结构的非线性系统如图1所示,其中L1和L2分别代表两个线性时不变子系统,其单位冲激响应分别为g(t)和k(t),输入输出关系为v(t)=g()e(t-)du(t)=k()z(t-)d(1)(2)ZNL代表一个无记忆(静态)非线性子系统,其输入输出特性可以用一个多项式表示为N

6、z(t)=p=0v(t)pp(3)(2)和(3)可以得出图1所示非线性系统由式(1)、的输入e(t)与输出y(t)之间关系为© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 1908电子学报2009年xx y(z1,z2)=n=0C2k(i)g(n-q=0i=0i)g(q-i)z1z2i)z2-q-n-q=C2y(t)=u(t)+n(t)Ni=0k(i)g(n-n=0i)z1-nq=0g(q-=p=0)Pk(p=C2g(1)g(p)i=0)z1)z2g(qk(i)(

7、z1z2)g(n-i-n-qn=0q=0=C2G(z1)G(z2)K(z1z2)(12)+n(t)e(t-d1)e(t-p)d1pd(4)式(4)中,n(t)表示系统输出附加噪声.当系统输入e(t)为非零均值高斯白噪声,即有e(t)=x(t)+b(x(t)为零均值高斯白噪声,b为e(t)的均值)时,令( y(t)=y(t)-ty(t)表示输出信号y(t均值高斯白噪声信号t)n(t)统计独立,即有)=0,(6)n(t)x(t-则x(t)与 y(t)的一阶和二阶互相关函数为)=Ex(t-) y(t)=C1x y(由式(11)和(12)可得()()()=x CG(z1z2)y(z1z2)13)G(z

8、)G(z)()=limC1zG(z1z2)x y(z1z2)(13)(14)(14)可得limxx y(z1,z2)zz2limG(z2)z=G(z1)limx C1limG(z1z2)y(z1z2)(15)z2由于所讨论的线性子系统L1和L2均为物理上可实现的因果系统,因而g(n)和k(n)应分别满足g(n)=g(n)u(n)k(n)=k(n)u(n)(16)(17)g(-)dk(7)和y(t)1)x(t-2) xx y(1,2)=Ex(t-=C2)g(-)g(-)d(8)k(1(17)中,u(n)为单位阶跃序列.因此,由式(9)式(16)、和(10)可知,x y(m)和xx y(n,q)也

9、为因果序列,根据因果序列z变换的收敛域为z>Rx1,所以,若设z=z1z2,由z2则可以导出z,由于因果序列满足z由式(7)和(8)可以得出其对应的离散化表达式x y(m)=C1和i=0变换的初值定理,故而对式(15)应用该定理可得k(i)g(m-i)(9) (n,0)z1xxy-nx y(0)i)g(q-i)(10)=G(z1)C1(18)xx y(n,q)=C2i=0k(i)g(n-式(9)和(10)中k(n)、g(n)分别为由时不变维纳2哈默斯坦模型结构表征的离散非线性系统中两个线性子系统的单位冲激响应,为了方便起见,采样间隔T已归一化,即有T=1.在两个线性子系统均为有界输入有界

10、输6出稳定系统的条件下,C1、C2均为常数.对式(9)施行单边z变换,改变求和次序并令m-i=r可得在0的情况下对式(18)施行z反变换可得x y(0)C(n,)(19)g(n)=C2x y(0)式(19)即为离散非线性系统中线性子系统L1的辩识式.如果在式(13)两边令z1则可得()g(n)=C2x y(0)事实上,由式(10)可知有xx y(n,q)=xx y(q,n),即xx y(n,q)具有对称性,因此,以下所得出的关于L1的辨识式中都可以应用这一结论.显然,对于具有维纳2哈默斯坦模型结构的实际非线性系统而言,有可能会出现x y(0)=0,从而无法应用式(19)来辨识线性子系统L1的情

11、况.这时,可以利用离散信号的递推特性得出这种情况下g(n)的辩识式.利(16)和(17)可以得出用式(9)、x y(z)=C1=C1=C1m=0k(i)g(m-i=0i)i)z-rz-m-mi=0k(i)g(m-m=0i=0k(i)zg(r)z-ir=0=C1G(z)K(z)(11)对式(10)施行二维单边z变换,改变求和次序且令n-i=n,q-i=q可得x y(0)=C1i=0k(i)g(-i)=C1k(0)g(0)(20)(16)和(17)则可得出由式(10)、xx y(n,0)为© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publ

12、ishing House. All rights reserved. 第9期胡钋:具有维纳2哈默斯坦模型结构非线性系统的一种辨识方法1909xx y(n,0)=C2i=0k(i)g(n-i)g(-i)(21)K(z)=(z)(z)=z=zK(z)C1G(z)C1G(z)(33)=C2k(0)g(0)g(n)由式(20)可知,若x y(0)=0,则有k(0)=0和/或g(0)=0,由式(21)可知,这时有xx y(n,0)=0.假设x y(m)(16)和(17)满足0,则由式(9)、xy(0)=0,但x y(1)可得1由左移序列的单边z变换公式以及k(0)=0可知,当线性子系统L1的辩识结果为g

13、(n-1)即与实际系统L1相差一个时间延迟因子时,线性子系统L2的单位冲激响为k(n+1),它与实际系统L2相差一个时间超前因子,因此,对于整个维纳2哈默斯坦模型来说,延迟的总数等于零.这样,对于具有维纳2哈默斯坦模型结构的非线性系统来说,其输入xn)与输出y(n)的关系保,由式(26)所得出的(n27)-)是等价的,两者均不,这也符合关于维纳2哈默斯坦模型结构唯一性的理论研究结果14,因而是正确的.事实上,由具有维纳2哈默斯坦模型结构的离散非线性系统的输入输出关系式:y(l)=u(l)+n(l)Nx y(1)=C1=i=0k(i)g(1-i)=C1k(0)g(1)+C1k(1)g(0)C1k

14、(0)g(1),g(0)=0(22)C1k(1)g(0),k(0)=0(23)(16)和(17)可以求出由式(10)1xx y(n,1)=C2i=0k(i)g1i)=2k(0)g+k)g(0)g(n-1)C2k(1)g(0)g(n-1),k(0)=0(25)于是,由式(22)和(24)可得L1的辨识式为g(n)=()C2x y(1)()C2x y(1)(26)=C2k(0)g(g(n),g(0)=0(24)=p=0k(r)g(q1)g(q)Ppr=0q1=0qp=0p由式(23)和(25)则可得g(n-1)=(27)这样,在0的情况下,线性子系统x y(0)=0,x y(1)L1有两个辩识结果

15、,它们相差一个单位延时.根据z变换的位移性质可得Zg(n-1)u(n)=z-1G(z)(28)假设一般性地将线性子系统g(n)、k(n)以及输入输出的互相关函数 (z)、 K(z)和x y(m)的z变换分别记为Gx y(z),则由式(11)可知这时应有x (z) K(z)y(z)=C1G(29)e(l-q1-r)e(l-qp-r)+n(l)从时域也可以得出同样的结论:即任何两个具有维纳2哈默斯坦模型结构的非线性系统,在其它参数完全相同而仅线性子系统的时延情况不同的情况下,只要这两个非线性系统的时延总数相等,它们的输入输出关系也就相同.因此,在0的情x y(0)=0而x y(1)况下,可以应用式

16、(26)或(27)作为线性子系统L1的辩识式.进一步,如果实际系统有x y(0)=x y(1)=0,但(16)和(17)可以得出0,则由式(9)、x y(2)x y(2)为2x y(2)=C1i=0k(i)g(2-i)如果采用式(26)即g(0)=0时的g(n)作为L1的辩识结果,则有(30)G (z)=G(z)对比式(11)和(29)再应用式(30)可以对应求出线性子系统L2的单位冲激响应的z变换为()()(31) K(z)=K(z)C1G(z)C1G(z)而如果采用式(27)即k(0)=0时的g(n-1)作为L1的辩识结果,则有(32)G (z)=z-1G(z)同一个具有维纳2哈默斯坦模型

17、结构的非线性系统应该具有相同的输入输出关系,因此,对比式(11)和(29)并应用式(32)可以得出这时线性子系统L2的单位冲激响应的z变换为=C1k(0)g(2)+k(1)g(1)+k(2)g(0)(34)(22)和(23)可以得出由式(20)、x y(0)=x y(1)=0但0所对应的g(n)和k(n)的三种可能取值情x y(2)况:(1)g(0)=g(1)=0;(2)g(0)=k(0)=0;(3)k(0)=k(1)=0,对应地有C1k(0)g(2),g(0)=g(1)=0(35)x y(2)=C1k(1)g(1),g(0)=k(0)=0(36)C1k(2)g(0),k(0)=k(1)=0(

18、37)(16)和(17)又可求出由式(10)、2xx y(n,2)=C2i=0k(i)g(n-i)g(2-i)=C2k(0)g(2)g(n)+k(1)g(1)g(n-1)+k(2)g(0)g(n-2)© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 1910电子学报C2k(0)g(2)g(n),g(0)=g(1)=0(38)2009年C2k(1)g(1)g(n-1),g(0)=k(0)=0(39)C2k(2)g(0)g(n-2),k(0)=k(1)=0(40)利用式

19、(35)和(38)可以得出g(n)=()C2x y(2)(41)由式(36)和(39)以及式(37)和(40)可以分别得出C(n,)(42)g(n-1)=C2x y(2)和g(n-2)=C(n,)C2x y(2)(43)的待辨识非线性系统的输出y(i)与维纳2哈默斯坦模型结构的输出u(i)之间的误差,因此可得M(l)y(l)u(l)j=0kj)z(l-(l)(50)j)+按照关于式(26)和(27),(41)、(42)和(43).一般地,当x y(0) y)=x y(l-1)=0,但0,l<n时,L1的辩识式为x y(l)()g(n-m)=,m=0,1,lC2x y(l)(44)(p(=

20、0,N),有My(l)=j=0Mk(j)z(l-(l)j)+j=00+1v(l-k(j)j)+2v(l-j)+2当m=0时,有g(n)=()C2x y(l)(45)由式(44)可知,对应线性子系统L1的系统函数G(z)为G (z)=z-mN(l),l=1,2,L(51)+v(l-j)+N式(51)中,L为观测时长,即所得的输入输出数据点个数,将式(51)写成矩阵形式,有T(52)Y=+式(52)中0(1)y(1)G(z),m=0,1,l(46)(16)和(17)可以得出线性当辨识出g(n)后,由式(9)、子系统L2的辨识式为n-1()k(n)=g(0)C1-i=0Y=y(2)y(L,=1,=(

21、2)(Lk(i)g(n-i)(47)=j=0M为了简化常系数C1、C2在辨识中的问题,本文取C1=C2=1应用上述辨识式,即有k(j)Mj=0Mk(j)Mjk(j)=0jk(j)v(L-j)=0MMMg(n-m)=(),m=0,1,lx y(l)n-1i=0k(j)v(1-j)j=0Mk(j)v(2-j)j=0M22k(j)v2(1-j)jk(j)v(2-j)k(j)v(L-j)j=0=0j=0k(n)= yx(n)-g(0)kk(i)g(n-i)(48)MMMj=0k(j)vN(1-j)k(j)vN(2-j)k(j)vN(L-j)j=0j=0当g(0)=g(1)=g(m-1)=0,但g(m)

22、0,m=(16)和(17)取C1=1得出这1,2,n时,利用式(9)、种情况下k(n)的一般估计式为式(51)中v(l)由下式估计得到Rv(l)=j=0n-1e(j)g(l-j)(53)k(n)= yx(n+m)-g(m)i=0k(i)g(n+m-i)(49)根据最小二乘法,由Lminl=1(y(l)-u(l)2(54)3非线性子系统的辨识在得到了两个线性子系统的辨识结果g(n)、k(n)之后,无记忆非线性子系统的参数值p(p=0,1,2,N)可以通过最小二乘法进行估计.在图2中,(i)表示具有维纳2哈默斯坦模型结构可以求取使误差平方和最小的p(p=0,1,2,N)值,由无约束凸优化问题最优解

23、的充要条件可知,式(54)的最优解为=(T) Y(55)式(55)中符号()表示伪逆运算,由奇异值分解方法得到.© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 第9期胡钋:具有维纳2哈默斯坦模型结构非线性系统的一种辨识方法1911下面证明取系数C1=C2=1进行辨识的正确性.假设图2中维纳2哈默斯坦模型结构中线性子系统L1、L2的系统模型以及非线性子系统的参数分别为g(l)=g(l),k(l)=k(l),p(p=0,1,2,N),则有(3)最小二乘法:该方法使辨识

24、结果与精确模型之间的误差平方和最小:minE=(h3-Ch)T(h3-Ch)(64)v=e3g=e3(g)N由(56)(57)=0得dCTz=p=0ppvC=Thh3(65)u=z3k=z3(k)(58)h:C×于是有u=z3(k)=Np=0p3(k)pvN当得出每个线性子系统的倍乘数后,对于非线性子系p,p=0,1,p=p/2,N.p=0p(e3(g)Np3(k)()按照所提出的辨识方法可以对仿真辨识结果与理论值进行对比考察.设线性子系统L1和L2的系统函up=0(e3ppNgp3k(60)对于图2中的维纳2哈默斯坦模型结构,有数G(z-1)和K(z-1)以及非线性子系统的输入输出

25、关系分别为,1-015×z-1L2:K(z-1)=,-1+1-018×z1-013×z-1ZNL:z(n)=v(n)+v2(n)+015×v3(n)up=0p(e3g)p3k(61)L1:G(z-1)=式(60)表明,在模型的输入输出关系保持相同的条件N下,其三个参数,pp=0是互为相关的.对比式p(60)、(61)可知,当p=p,p=0,1,2,N时,模型NN参数分别为g,k,pp=0和g,k,pp=0的两个系统是等效的,即两者的输入输出关系保持不变.为了书写可取任简洁,式(56)(61)中均省略了时间变量,、意非零值.图3中,短划线g、k分别代表g(

26、n)、k(n)的理论值;长划线一点和长划线两点ig0,ig1分别代表应用式(19)和(27)得出的g(n)的辨识值,长划线一点ik则为k(n)的辨识值.4辨识结果的评价为了简化常系数C1,C2在辨识中的问题,本文是在C1=C2=1的情况下对线性子系统进行辨识的,这时所得到是其形状特性,可以通过由下面的方法得到一个常数,再将辨识结果倍乘该常数后与精确模型对比以考察线性子系统的辨识情况.为此,假设维纳2哈默斯坦模型中线性子系统的精确模型为h3(对系统精确的h(t)在与辨识结果对应时刻抽样后所得的序列),在C1=C2=1条件下的辨识结果为h,本文实验了下述三种方法:(1)最大值法:该方法使辨识结果和

27、精确模型在最大值处重合,有3C=maxhh:C×h(2)平均值法:该方法使辨识结果与精确模型的平(62)表1实例中非线性子系统参数理论值与估计值的比较0,1,2,3的理论值0,1,2,3的估计值0,1,1,015010811,110464,110619,015571与现有辨识方法513的辨识结果比较可知,本文所提出的辨识算法更为简单、快速、准确和有效.6结语均值相等,有3C=sumhh:C×h(63)具有维纳2哈默斯坦模型结构的非线性系统是一种应用非常广泛的系统,对此,本文采用了与现有的几种© 1994-2010 China Academic Journal El

28、ectronic Publishing House. All rights reserved. 1912电子学报2009年辨识算法完全不同的思路与方法,即综合应用相关分析法、多维Z变换、解卷积、最小二乘法和无约束凸优化问题最优解提出了一种新的简单辨识方法,大量仿真结果表明,这种方法简单、快速、准确有效.由于线性模型、维纳模型以及哈默斯坦模型均为维纳2哈默斯坦模型的子模型,所以本文提出的这种方法可以直接应用于具有上述三种模型结构的系统辨识,因而是一种适用于具有这一类结构特性系统的有效辨识算法.参考文献:1薛振框,李少远.MIMO非线性系统的多模型建模方法J.电子学报,2005,33(1):52-

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