基本不等式经典教案【强烈推荐】

1、7.4 基本不等式【考试会这样考】1.利用基本不等式求最值、证明不等式；2.利用基本不等式解决实际问题.【复习备考要这样做】1.注意基本不等式求最值的条件；2.在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用.基础知识自主学习 a+ b基本不等式Ob<:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.(a+b> 2牺)注意：(1)此结论运用前提：一正、二定、三相等2.(2)连续使用基本不等式时，要使等号成立的条件相同。几个重要的不等式(1)a2+b2>2ab(a, bC R).(2)a+a>2(a, b 同号)(3)abw : a2 + b(4)a b 2,2 j (a,

2、 b C R).22<1 1 一十 U a ba b 2,2 (a, bC R).a2 + b223.利用基本不等式求最值问题已知x>0, y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x乂时，x+y有最小值是 加.(简记：积定和最小)(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当 x=y时,xy有最大值是 勺.(简记：和定积最大)题型一直接使用例1. (1)函数y=x+-(x> 0)的值域为()x、A. (8, 2U 2, +8 ) B . (0, +oo)C. 2, +oo )D. (2,)解析：选C =x0,y = x+1>2,当且仅当x=1时取等号.x(2)

3、.已知 m>0, n>0,且mn=81,则m+ n的最小值为()A. 18B. 36C. 81D. 243解析：选A . m>0, n>0,m+ n>2jmn= 18.当且仅当 m=n=9时，等号成立.一4(3) .已知x<0,则f(x) = 2 + x+ x的最大值为 解析：(3) ,x<0, .一 x>0,.f(x) = 2 + +x = 2- ：4x+(-xj. - - 4x+ (- x)>2=4,当且仅当一x=T4x,即x = 2时等号成立.f(x)=2 g+(x )l< 2 4= 2,f(x)的最大值为一2.2 5,练习1.

4、 (1)已知x>0, y>0, 1g x+1g y=1,则z=x+ y的取小值为 .解析：由已知条件1g x+lg y=1,可得xy= 10.y= 5时等号则2+y>2、曰=2,故|+yin = 2,当且仅当2y= 5x时取等号-又xy=10,即x=2, 成立.答案：2(2)已知x, y为正实数，且满足 4x+3y=12,则xy的最大值为 .答案：3解析:12=4x+3y>2/4xX3y,xyw 3.当且仅当4x= 3y,I4x+3y= 12,x 3即-2, y=2时取=.题型二连续使用基本不等式例2、已知1og2a+1og2b>1,则3a+9b的最小值为 .由

5、10g2a + log2b 比 1 得 log 2(ab)> 1,即 ab>2,3a+9b= 3a+32b>2X 3a9b(当且仅当 3a= 32b,即 a= 2b 时取等号).又 a+ 2b>24b>4(当且仅当a=2b时取等号), .-.3a+9b>2X32=18.即当a=2b时,3a +9b有最小值18.1练习2.已知a >0,b >0则4a+b + -的最小值为()一 abA.2 B.2,2C.4D.5试题分析：4a+b 十一 之2x/4ab=4>/ab + J 之2>/4=4 jab. ab. ab题型三除法例3、当x>

6、; 0时，则2x ,一 f(x) = x27的取大值为答案x0, f(x)-22=2-<2= 1,x2+11 2'x十一xX2练习3.求y =-4的最大值x 1题型四构造和定例4、已知0vx<1 ,则x(3 3x)取得最大值时x的值为1 A31B.2C.4答案 B解析.x(3-3x)=3x(1-x)<3x+ 1 x 2_ 372 广 4.,1一一一当x=1 x,即x = 2时取等号.练习4.求f (x) = Jx(1 2x)的最大值五 ,2答案 4题型五构造同分母4例5、（1）、右x>1 ,则x+的最小值为x-1解析：x+= x-1 + 4-F 1>4+

7、1 = 5.x 1x1当且仅当x- 1=上，即x= 3时等号成立. 答案：5x 1（2）、若正实数a,b满足1+1=1，则，+工的最J他 a ba -1 b -1答案 16一一.。11练习5.设a>b>0,则a +ob+aab7?取小值是（）A . 1 B.2 C.3 D.4答案D=a( a b)211211a + 而 + ab = a ab+ ab+ 石+b)Hr-H abH2、/afa b v： + 2a(a b)ab j a(ab),1abr = 2+2=4. ab一,1-.1 rr-当且仅当 a（a- b）=广且ab=,即 a= 2b时,a（ab）ab题型六常数的代换等号成

8、立.1 2,例6已知a>°, b>°,且a+f 求a+b的取小化错因两次基本不等式成立的条件不一致.实录a>0, b>0,且 a+b=1,：ag 呼)=4.又a+Q2 *,而 ag 1,1 2- 1 2 一一 - a+b> 2y8= 442,故 a+b的取小值为 4y2.1.:4,ab正解. a>0, b>0,且 a+b=1,1212-+ - (a+ b) a b a ba+ b= 1,当且仅当lb 2ab 2a av=3+2.c b 2a、一=1+ 2+ >3 + 2 a b练习6. （1）、若正数24A.yx,答案,. x

9、>0, y>0,即a=啦-1, b=2啦,1 2 ,一一时，a+b的最小值为y满足x+ 3y= 5xy,贝U 3x+ 4y的最小值是b.28C. 53+2 2.D. 6由 x+3y=5xy 得5 (+3 '=1. -3x+4y=5： (3x+4y) , + x j= 5!3+ 4+9+12y 工 13 . 3x , x 55 y13 , 1、/一十一 x55噜=5（当且仅当x = 2y时取等号），3x+4y的最小值为5.（2）、已知 x>0, y>0, x+ 2y+2xy=8,A . 3题型七分离常数B. 4则x+2y的最小值是（）C9D.1122例7、函数y=

10、x2（x>i）的最小值是（）x 1D. 2A. 2V3+2B. 2m2 C. 2m解析：选 A x>1 ,，x1>0.,_ x2+ 2_ x22x+ 2x+2_ x22x+1 + 2(x1 什 3y x 1x 1x 1JX-12+2”1 产=x1+、2 x 1x 1>2 W1号 -当且仅当x- 1= -卜2=2明+2.x 1,即x= 1 +5时,、x2 +1 一练习7.求丫= x_L.的最小值.x2-1答案2.2A组专项基础训练一、选择题（一， 一一 q,一一1、已知x>0,函数y=x+ 一的取小值是（）xA . 2 B.4 C.6 D.8答案及解析：C2、当xC

11、R时，x+3的取值范围是（）XA .（8, 4 B. （-oo5 - 4） U （4, +8） C.4, +*）D. （-oo5 - 4 U 4 , +*）答案及解析：D3、在下列函数中，最小值是2的是（）A .尸94 （xw0）B.ylgx+- （1<X<1O）5 yigxC . y=3 +3 （xe R）D . y=sinx+：smx2答案及解析：.C4、若a, bC R,且ab>0,则下列不等式中，恒成立的是（）A . a2+b2> 2abB. a+b>2Vfib C. +tD D.a b y ab a b答案及解析：.D5、若b为实数，且a+b=2,则3a

12、+3b的最小值为（）A . 18B. 6 C . 2a D . 2M答案及解析：.B6、已知x>0, y>0,且2x+y=1,则xy的最大值是（）答案及解析：B一 （O +h） 27、函数y =（a b） （ab0）的最小值为 ab1A. 4 B.1 C . 4 D .6 2答案及解析：C18、函数 y=x +5（x>1）的取小值为x -1A. 5B. 6C 7D.8答案及解析：.D4 39、已知正数x,y满足一 + =1 ,则x+3y的最小值为x yA . 5 B . 12 C答案及解析：.D10、.若 x>0, y>0,且 x+3y=2,A. 2,11则一十

13、的取小值是（x 3yD 2 . 3答案及解析：A1 2 ，.11、设a >1 , b >0 ,若a +b =2 ,则十一的取小值为 a-1 bA. 4、2 B. 6 C. 3 2 2D. 2、. 2答案及解析：C12、已知f x ="士，其中x>0,则f x的最小值为x+1KA . 1B. 2V2 - 2C.D. 7c答案及解析：.B13、已知直线ax+by = 1经过点（1,2）,则2a + 4b的最小值为（）A. .2 B. 2 2C.4 D.42答案及解析：.Bx2-1一 .14、函数y =.的最小值为（x2-2另讲：函数x2 5V-2x 4的最小值为（A.

14、5 B. 2-2C.1D.2答案及解析：D.（不能用均值不等式）A215、函数y= x *2x*2 （x> 1）的图象最低点的坐标为（A . (1,2) B.(1,-2) C . (1,1) D. (0,2)答案D【解析】y =2x 111 八上=x+1+ >2,16、设a>0, b>0,且不等式A. 01 1 k -+ -Ha b a+ bB. 4>0恒成立，则实数k的最小值等于（）C. 一 4D. - 2解析：选C,11由一+1+, a b a+ bR0得2嘘士而曰=a+b+2"（a=b时取等号）,所以一号4<-4,因此要使k" 子值

15、成立，应有k"4,即实数k的最小值等于4.二、填空题1.若 x>0, y>0,且x+ y=18,则xy的最大值是所以xy<81,当且仅当x=y=9时，xy取到最大值81.答案 81解析 由于x>0, y>0,则x+ y> 2/xy,2 t 一 4t+ 12,已知t>0,则函数 y =1的最小值为 .2 ，,1t 4t+11一， 一答案 2 解析 ,t>0, .-.y=t=t + 1t4>24 = 2,且在 t= 1 时取等号.3、函数y=x+在（1，+°°）上取得最小值时 x的取值为（Z - 1答案：24.函数

16、y =mm2 1的值域为为-1答案：（0,- 25、若正数x, y满足x+3y=xy ,则3x+4y的最小值为答案：.256、已知函数f（x）=x+ x_（p为常数，且p>0）若f（x）在（1 , +8）上的最小值为4,则实数p的值为答案：9 解析：由题意得x 1>0, f（x） = x-1+p+ 1 >2p+1,当且仅当x=缶+1时取等号，因 4x 1为f（x）在（1, +川上的最小值为4,所以2标+1=4,解得p= 9.2 卜27、已知b>a>0,ab=2 ,则a的取值范围为 a -b1 .设0<a<b,则下列不等式中正确的是a + b a + b

17、A. a<b<Vab<-2-B. a<Vab<-2-<b()fa + bfa + bC. a< . ab<b<-2-D. . ab<a<-2<b答案 B解析_. a+ b_ _一- 0<a<b， - a< 2 <b, A、C 错误；,ab a= aa(bb Ja)>0, MP ,7ab>a, D 错误，故选B.2、如果 0<a<b<1,c ,1ab 1 .1. . 1,、P=log2 2，Q = 2(log2a+ 10g2b),11M=-1og2(a+ b),那么P,

18、Q, M的大小顺序是A. P>Q>M()B. Q>P>MC. Q>M>PD. M>Q>P. .一一 .一1a+ b 111答案 B 斛析 因为 P= log2 2 5 Q = 2(1og2a+1og2b),M = 11og1（a+b）,所以只需比较 a-b, Tab,，a+ b的大小，显然 g_b>yb.又因为abvjaTb（因为a +fa + b 1 , a、0 a + bj a + b tb 4 J，也就走 一<1）,所以Ma+b>2>4元,而对数函数当底数大于0且小于1时为减函数，故Q>P>M.3、函数y

19、=1oga（x+3）1 （a>0,且aw1）的图像恒过定点 A,若点A在直线 mx+ ny+1 = 0上，其中 m, n 均大于0,则1+2的最小值为（）m nA. 2B. 4C. 8D. 16答案 C解析点A（ 2, 1）,所以2m+n=1.所以工+2= （2m + n） + 24+ n+ 4m-> 8,当且仅当n=2m,即m = 1, n=1时等号成立.mnmn m n421 1 ,4、设x,y R, a>1, b>1，右 a =by=3,a+ b=2寸3,则y的取大值为（）31A. 2B.2C. 1D.2x . y11.答案 C 斛析 由 a=b'=3,得

20、：x= loga3 y=logb3,由 a>1 , b>1 知 x>0, y>0, 一+- = log3a+log3b = x ylogaab< log3晨上j= 1,当且仅当a=b=#时"="成立，则；+ ；的最大值为1.5、已知正数x, y满足x+ 2f2xy< ?（x+ y）恒成立，则实数入的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选 B 依题意得 x+22xy<x + （x+ 2y）=2（x+y）, 即七警y忘2（当且仅当x=2y时取等号），即x + 2必y的最大值是2；又 后x+2V2xy因此有 归2,即入的最小

21、值是2.x+yx+y6、圆x2+y2+2x4y+1 = 0关于直线2ax-by+2=0 （a, bCR）对称，则ab的取值范围是（）A.一巴 41b.0,1c.（ 11, °）D. J：）答案 A解析 由题可知直线 2axby+2=0过圆心（1,2）,故可得a+b=1,又因ab<，-b尸；（a=b 时取等号）.故ab的取值范围是8, .14,7、已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5,右存在两项am, an使得斤=4al,则m+酒取小值为()3a.25B.3D.不存在q2-q-2= 0,解得 q=2.皿1 4 1故-卜一 =-(m+ n)m n 6')瞿:+沁当且

22、仅当4mm时等号成立.解析：选A 设正项等比数列an的公比为q,由a7=a6+2a5,得 由历;=4ai,即 2m+ 92 =4,得 2m+n 2=24,即 m+n=6.8、已知 x> 1, y> 1,且(x+1) (y+1) =4,贝U x+y 的最小值是()A. 4B. 3C. 2D. 1答案及解析：.C 二、填空题.111,1、函数y=a (a>0,且aw 1)的图象恒过te点 A,右点A在直线 mx+ ny- 1 = 0(mn>0)±,则后+ n的取小 值为.解析：因y=ax恒过点(0,1),则A(1,1),又A在直线上，所以 m+n=1(mn>

23、0).1 , 1 m+ n 1故一+ -=m n mn mn1，1一一 ,答案：4m + n、= 4,当且仅当 m=n = 5时取等 2、已知直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于A、B两点，若动点 P(a, b)在线段AB上，则ab的最大值 是.1答案：2 解析：.(2,0), B(0,1),0<b<1,由 a + 2b=2,得 a=2 2b,ab=(2-2b)b=2(1 -b) b<2 2b，=2.12.一 .一 11.当且仅当1 b=b,即b=2时等3成立，此时 a=1,因此当b = , a=1时，(ab)max3、2已知 a>b>0,贝U a2+16b(a

24、 b)的最小值是答案 16,. a>b>0, .,.b(a-b)<4,当且仅当a= 2b时等号成立.b a ba.a2+>a2+=a2+64>a2 64 = 16,当且仅当a= 2近时等号成立. a当 a=242, b=42时,a2+谭万心得最小值佃4、若正实数x, y满足2x+y+ 6=xy,则xy的最小值是 .答案 18解析 由x>0, y>0,2x + y+ 6 = xy,得xy>24而+ 6(当且仅当2x= y时，取“ = ”), 即(M)2 2*向6>0,(Vxy- 3V2) (而+ *)>0.又Wy。，.yxy>3，

25、2,即 xy> 18. .xy 的最小值为 18.25、设x, y, z为正实数，满足 x2y+3z= 0,则 上的最小值是 .xz一一. x* 3z答案：3 解析：由已知条件可得y=-22 x2+ 9z + 6xz所以xz= F9z x"+ 6x=4伊介64 23,当且仅当x=y= 3z时，y取得最小值3.6、已知x,xzyC R,且?足 x2+2xy+4y2=6，贝U z=x2+4y2 的取值范围是故答窠为% 12,7、已知a, b为正实数，且满足a2+b2-4=ab,则ab的取值范围是答案：（0,4而加货,二;"1 上网工,4/年之”.2当且忸当工=2响取等号一1/ （#+加）'