知识点33圆的基本性质2017(解答题)

1、三、解答题1., (2017四川成都，20, 10分)如图，在 ABC中，AB AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D, 交CA的延长线于点 E ,过点D作DH AC于点H ,连接DE交线段OA于点F .(1)求证：DH是圆。的切线；(2)若A为EH的中点，求-EF的值；FD(3)若EA EF 1 ,求e O的半径.OD ,得证，或者思路分析：(1)连接OD,因为DH AC于点H ,只需证明OD/AC,即可得到DH再连接AD,利用直径所对的圆周角为直角，证明/(2)通过证明 AEFs ODF，可得到EFFDODA+ / ADH= 90°也可；AE AE，再利用OD是祥BC的中位线

2、，等腰4DEC的性质，求出 ODAC的比值，进而求得 空 的值；FD(3)由EA= EF, OD/ EC,可得ODF和4BDF都是等腰三角形，设 e O半径为r ,则DF= OD= r,所以BF= BD = DC= DE= DF+ EF= r+1, AF= ABBF= 2r(r+1)= r1.通过 BFDs EFA,即可求出 r.解：(1)连接OD ,. OB OD,， OBD是等腰三角形，OBD ODB ,又 AB AC，一 ABC ACB ，ODB OBD ACB , OD /AC , . DH AC, . DH OD , DH是e O的切线；(2)E B, E B C, . EDC是等腰

3、三角形，AC,点A是EH中点，设AEx, EC 4x ,贝U AC 3x,连接 AD ,由 ADB 900 ,即 AD BD ,又 ABC是等腰三角形，D是BC中点,13 OD/-AC,OD -x, =22. OD/AC, E ODF,E ODFOD是ABC中位线,在AEF和ODF中,OFD AFEAEFs ODF.EF AE AE x 2 . EF 2 fd od,od 3- 3' TD 3 x2(3)设e O半径为r ,即OD OB r, EF EA, EFA EAF ,又OD/EC, FOD EAF,则 FODEAF EFA OFD , ：. DF OD r ,DE DF EF

4、r 1, BD CD DE r 1, BDE EAB, BFD EFA EAB BDE , BF BD , BDF 是等腰三角形，BF BD 1 r , AF AB BF 2OB BF 2r 1 r r 1,在 BFD 与 EFA 中 BFD EFA，: BFDs EFA, B EEF BF 1 r 11；51.5 人 , ，解得r ,2 (舍)FA DF r 1 r22 .综上，eO的半径为5.22. （2017安徽中考20. 10分）如图，在四边形 ABCD中，AD= BC, / B= / D, AD不平彳T于BC,过点C作CE/ AD交 ABC的外接圆 O于点E,连接AE.（1）求证：四

5、边形 AECD为平行四边形；（2）连接 CO,求证：CO平分/ BCE思路分析：（1）由于CE/ AD,通过证AE/ DC得到四边形 AECD为平行四边形；（2）连接OB, OE,通过证 OCE OCB 得至ij/ ECO= / BCO,得证.解：（1）根据圆周角定理知/ E=/ B,又.一/ B=/ D,E=/D,又.AD/CE,，/D+/DCE= 180°,/ E+ / DCE= 180°,AE/ DC, 四边形 AECD为平行四边形.（2）连接 OE, OB,由（1）得四边形 AECD为平行四边形，AD= EC, = AD= BC,EC= BC, / OC= OC,O

6、B= OE, .OCE OCB (SSS, . / ECO= Z BCO,即 OC平分/ ECB3. （2017四川内江，27, 12分）如图，在。O中，直径CD垂直于不过圆心 O的弦AB,垂足为点N,连接AC, 点E在AB上，且AE= CE（1）求证：AC2= AE - AB;（2）过点B作。的切线交EC的延长线于点P,试判断PB与PE是否相等，并说明理由；（3）设。O半径为4,点N为OC中点，点Q在。0上，求线段PQ的最小值.A思路分析：（1）要证AG=AEAB,可连接CB,通过证明 CAE-BAC即可；（2）先根据已知判断出 PB与PE 可能相等，欲证明 PB= PE,可通过证明/ PB

7、E= / PEB即可；（3）根据“两点之间，线段最短”可得当 Q运动到 PO与。O的交点时，线段 PQ能取得最小值，再根据勾股定理等知识点可求得其最小值.解：（1）如图，连接 BC, CD，AB,CB= CA,/ CAB= / CBA.又 AE= CE,/ CAE= / ACE ./ ACE=Z ABC. / CAE=/BAC, CAES BAC.ACABAEc _,即 AC2 = AE- AB.AC(2) PB= PE理由如下：如图，连接 BC, BD, OB. CD是直径， ./ CBD=90° .BP 是。O 的切线，/ OBP= 90° . ./ BCD+/D=/P

8、BG/OBC= 90° . . OB=OC, Z OBC= / OCB. ./ PBC= / D. . / A=Z D, .PBC= / A. / ACE= / ABC, . /PEB= /A+/ACE / PBN= /PBG/ABC, ./ PEB= / PBN.PE= PB.（3）如图，连接 PO交。O于点Q,则此时线段PQ有最小值.N 是 OC的中点，ON=2. OB=4, . OBN= 30° , .PBE= 60°PE= PB,. PEN是等边三角形. ./ PEB= 60° , PB= BE.22 =2<3 .在 rbon中，bn= J

9、ob2on2 =J42.CN 22在 RtCEN 中，EN= = 一= - Mtan 6033BE= BN+EN= 843 .38 PB= BE=3 .3o oo 8 4. .PQ=PO OQ= OB2 PB2 OQ . 42 ( 3)2 4.21 4.4. (2017山东临沂，23, 9分)如图,BAC的平分线交VABC的外接圆于点 D, ABC的平分线交 AD于点E.(1)求证：DE DB ;(2)若/ BAC= 90°, BD= 4,求那BC的外接圆半径思路分析：(1)利用角平分线的定义和圆周角的性质通过判定/EBD- /BED,得出结论；(2)根据等弧得出 CD的长，根据/

10、BAC= 90°得出BC为直径，进而利用勾股定理求得 BC的长度，进而得出那BC 外接圆半径的长度.证明：连接BD, CD. AD 平分/ BAC ./ BAD= / CAD又. / CBD= / CAD ./ BAD= / CBD BE平分/ ABC ./ CBE= / ABE/ DBE= / CBE+ / CBD= / ABE+ / BAD又. / BED= / ABE+ / BAD ./ DBE= / BEDBD= DE. / BAC= 90°BC是直径BDC= 90°. AD 平分/ BAC, BD= 4BD= CD= 4BC= VBD2+CD2 =4V2

11、半径为225.23. （2017四川德阳，23, 11分）如图，已知 AB、CD为。的两条直径，DF为切线，过 AO上一点N作NM，DF于M,连接DN并延长交。于点E,连接CE(1)求证： DMNA CED（2）设G为点E关于AB的对称点，连接 GD GN,如果/DNO = 45° ,。的半径为3,求DN2 GN2的值.思路分析：圆中直径和圆周角，垂径定理，勾股定理，三角形相似综合题.（1）证明两组角相等即可（2）构建等腰直角 HNO.由勾股定理求解.解：(1) . DF 为。的切线，D0± DF.又 NMLDF, . NM/ DO,，/MND = /NDC, CD 为。的

12、直 径，CED= 90° ,而/ NMD = 90° ,DMNA CED(2) G, E关于AB对称，. GN= EN,，DN 2 GN 2 DN 2 NE2 ,过O作OH垂直DE于点H,则由垂径 定理可得：HD=HE,由/ DNO= 45° ,可得 NHO为等腰直角三角形，设 NH= OH= M , NE= N,贝U HD= HE= M+N,在 RM HDO 中，(m n)2 m2 9 , . DN2 GN2 (2m n)2 m222DN2 GN2 29186. (2017江苏苏州，27, 10分)如图，已知 ABC内接于e O, AB是直径，点 D在e O上，

13、OD/ BC,过点D 作DEL AB,垂足为E,连接CD交OE边于点F.(1)求证： DOK ABC;(2)求证：/ ODF=/BDE;S 2(3)连接OC,设 DOE的面积为S,四边形BCOD的面积为S2,若* 求sinA的值.S27fW 27 If)思路分析：（1）利用两角对应相等，证明两三角形相似；（2）相似三角形对应角相等，同弧所对的圆周角相等；（3）转化角度，放在直角三角形 ODE中，即可求/ A的正弦值.解：（1） Q AB是。O的直径,ACB 90OQDE AB, DEO 90ODEO ACBQOD/BC, DOEDOE s ABC .(2) QDOEsABCODEA.Q A 和

14、BDC是Bc所对的圆周角,BDC,ODEBDC.ODFBDE .(3) QDOEsABC,DOES ABCODAB即 S ABC4s DOE4S1 ,QOAOBS BOCSABC即 S BOC2Si.QS27 , S2S BOCSDOBDBE 2s S S DBES DBE即OE2s3OB1-BE -OE ,22 ,-OD, sin A sin ODE 3,OE 2OD 37. 21. (2017湖北宜昌)(本小题满分8分)已知，四边形 ABCD中，E是对角线AC上一点，ED=EC ,以AE为 直径的OO与边CD相切于D, B点在OO上，连接OB.(1)求证：DE=OE ;(2)若AB/ CD

15、,求证：四边形 ABCD是菱形.思路分析：(1)利用切线的性质构建直角三角形，进而运用等角的余角相等求证相等的边;(2)先证一组对边相等，借助平行得到平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形求证解：(1)证明：连接OD,.CD是。O 的切线，OD± CD .2+/3=/ 1 + /COD=90°又 DE=EC / 2=/ 1 ,，/3=/COD,DE=EO(2) OD=OEOD=ED=OE ./ 3=ZCOD=ZDEO=60° / 2=/ 1=30°, ,. OA=OB=OE 而 OE=DE=ECOA=OB=DE=EC又 AB/ CD,Z 4= Z

16、12=Z 1=/4=/OBA=30 . ABO。 CDEAB=CD四边形ABCD是平行四边形/ DAE= 1 / DOE=3021 = / DAECD=AD四边形ABCD是菱形.8. (2017 湖南株洲，25, 12分)如图，AB为。的一条弦，点C是劣弧AB的中点，E是优弧AB上一点，点 F在AE的延长线上，且 BE= EF,线段CE交弦AB于点D.(1)求证：CE/ BF;(2)若线段BD的长为2,且EA： EB： EC= 3 ： 1 ： 75 ,求 BCD的面积.(注：根据圆的对称性可知 OC，AB)解：(1) C为温的中点，1 = /3, BE= EF,/ F= / 4,/ F+ /

17、4+/ BEF= / 1 + Z 3+BEF= 180° , /1 = /3, /F= /4,Z 1 = / F,CE/ BF;(2) / 1 = / CBA Z 1 = 7 3, .3 = / CBA,.CBgACEE .里=也，即空=更，CE BE BD BEBD= 2, CE： BE=/：1,CB-= J5,即 CB= 2遥.21 = / 3, Z 2=Z C, .ADEsACBEL,. AD = AE ,3 一,即 AD= 6,5CB CECB= 2 J5 , AE： CE= 3 ： 回 -AD2,5 . AB=AD+ BD= 8. c为AB的中点， OCX AM, .BM=

18、1ab=42， RtACMB, / CMB= 90° , C= 2,5, BM=4,CM= 2,-11、， SkbcBD - CM= - X 2 X 2= 2.9.13. (2017安徽中考5分)如图，已知等边 那BC的边长为6,以AB为直径的。O与边AC, BC分别交于D, E两点，则劣弧 De错误！未定义书签。的长为答案:解析：连接OD, OE,易证 ODE是等边三角形，/ DOE= 60。，又OD=3AB=3,根据弧长公式劣弧 De错2误!未定义书签。的长为60一318010. 20. (2017安徽中考10分)如图，在四边形 ABCD中，AD= BC, /B=/D, AD不平

19、行于BC，过点C作CE/AD交祥BC的外接圆。于点E,连接 AE.(1)求证：四边形 AECD为平行四边形；(2)连接 CO,求证：CO平分/ BCE思路分析：（1）由于CE/ AD,通过证AE/ DC得到四边形 AECD为平行四边形；（2）连接OB, OE,通过证 OC白 OCB得至ij/ ECO= / BCO,得证.解：(1)根据圆周角定理知/ E=/ B,又.一/ B=/ D,E=/D,又.AD/CE,，/D+/DCE= 180°,/ E+ Z DCE= 180°, AE/ DC, 四边形 AECD为平行四边形.(2)连接OE,OB,由(1)得四边形 AECD为平行四

20、边形，AD= EC,= AD= BC,.EC= BC,/OC= OC,OB= OE, .OCE OCB (SSS, . / ECO= Z BCO,即 OC平分/ ECB11. 23. (2017 宁夏，9 分)将一副三角板 RtA ABD与 RtAC目其中 / ABD=90°，/D=60°，/ACB=90°，/ABC=45° )如图摆放，RtABD中/D所对直角边与 RtACB斜边恰好重合.以 AB为直径的圆经过点 C,且与AD相交于点E,分别连接EB, EC.（1）求证：EC平分/ AEB;(2)求SVACE的值. SVBEC思路分析：（1）在等腰直角

21、三角形 ABC中，易知AOBC;在圆中，利用圆心角定理和圆周角定理得出“在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等”，故可以推得“/ AEG/BEC; （2）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等“，4ACE与 BEC的面积比值问题可以转化成AE与BE的两底边之比；另一方面，在R4AEB中，利用特殊角/ EAB是30°,它的正切函数值 而得出BE与AE的比值.3(1)证明： /ACB=90°, Z ABC=45°, 4ACB是等腰直角三角形,AC=BC / AEC=Z BEC,EC平分/ AEB,得证；(2)解： 如图所示，作 CMXAE, CN± BE,垂足分

22、别为点 M,点N, /ACB=90°,AB是直径，/AEB=90°,即 EB± AD;在 R4ADB 中，/ ABD=90 °, / D=60 °,Z DAB=30 °,在 RAEB 中，/ AEB=90 °, / DAB=30 °,EB .3tan Z DAB=tan30 = ,AE 3 EC 平分/ AEB,又 CM LEA, CNI± EB,CM=CN,1 八AE MC 匚9,3Wace2 AESVBEC1BE CN BE212. (2017四川凉山，25, 5分)如右图，已知四边形 ABCD内接于

23、半径为4的eO中，且 C 2 A,则 BD _.D （第25题图）【答案】4 . 3【解析】连接 OD、OB,过点O作OFBD,垂足为F,，DF= BF, / DOF= / BOF,二四边形 ABCD内接于。O,/A+/C= 180° , ./C=2/A, .-/ A= 60° , / BOD= 120° , / BOF= 60° , OB= 4, ，BF= OB - sin/BOF= 4Xsin60° = 2 杂，BD= 2BF= 4、/3 .也可以用正弦定理得到：四边形ABCD内接于。O,A+/C= 180° , 1. / C=2

24、/A, . /A=60°BD= 2Rsin60° = 4 313. (2017广西百色，25, 10分)已知ABC的内切圆。与A® BC AC分别相切于点 D、E、F,若Ef = De ,如题1(1)判断4ABC的形状，并证明你的结论；(2)设AE与DF相较于点M,如图2, AF=2FC=4求AM的长.【解析】(1)等腰三角形.证明：.AC AB> BC是切线，AF=AD, CF=CE BE=BD, / CFO=Z CEO=90.°连接 CO, BO,则 CFe ACEQ/ COF=Z COE同理 / BOE之 BOD,弧 EF哪 DE,/ EOF

25、=/ EOD,/ COE=Z BOE,又/COE=/ BOE, OE=OEACOE BOE,CE=BE CF=CE BE=BDCF=BQ AF=AD, AC=AB,即 ABC是等腰三角形.(2)AC=AD, CE=BEAE± BC, /FAO=/ DAO, AF=AD,. FM=DM, FMXDM,. AE过圆心 O, DF/ BC,6=DF: 4,. AF: AC=DF: BC,即 4:DF=8 ,3FM=4 ,3 AM AF2 FM 214. 21. （2017年武汉，21, 8分）（本题8分）如图， ABC内接于。O, AB= AC, CO的延长线交 AB于点D. （1）求证：

26、AO平分/ BAC;（2）若 BC= 6, sin/BAC= 3 ,求 AC和 CD 的长.5思路分析：（1）根据等腰三角形和圆的对称性，这里证明手段比较多， 比如连接OB,构造三角形全等；（2）由sin/BAC= sin/COH= 3,可考虑延长 AO构造直角三角形，结合三角函数及勾股定理OG AC的长，进而过5D作AO垂线利用三角形相似或三角函数值求出OD的长即可.(1)证明：连接 OB,.”。二人。，B0= CO, AB= AC.AOBZ AOC, ./ BAO= / CAO),即 AO 平分/ BAC(2):如图，过点 D作DK,AO于K.由(1)知 AO>± BC,

27、OB=OC, BC= 6BH = CH= - BC= 3, Z COH= - / BOC,22/ BAC= 1 / BOC, / COk / BAC2在 RtCOH 中，/ OHC= 90°HC 3,sin/COH= = _, . CH= 3,4 , ，AH=AO+ OH=4+5=9,.CO= AO=5，CH= 3, OH3tan / COH= tan / DOK= 4在 RtAACH 中，/ AHC= 90° ,AH = 9, CH= 3，tan/CAH=CH 1AH 3,A C 310 由(1)知/ COH= / BOH,DK= 3a,1tan / BAH= tan /

28、 CAH= 一 设3,1在 RtA ADK 中 tan / BAH= -3在 RtA DOK 中 tan / DOK=OK= 4a,. .a=包, 13AC = 3 v10DO=5a, AK= 9aDO= 5a =,CD= 9013A0= OK+ AK= 13a=5CD=OC+ OD=5+ H15.（2017贵州六盘水,25, 10分）如图,MN是。的直径，MN=4,点 A 在 OO ±, /AMN = 30° , B/An的中点，P是直径MN上一动点.（1）利用尺规作图，确定当 PA+ PB最小时P点的位置（不写作法，但要彳留作图痕迹 ）.思路分析：（1）画出点A关于MN的对称点A',连接A' B,与MN的交点即为点P.(2)利用/ AMN = 30°得/ AON=Z A' ON = 6