物理必修2万有引力典型例题分析

1、1天体的质量与密度的估算1 .下列哪一组数据能够估算出地球的质量A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离B.地球表面的重力加速度与地球的半径C.绕地球运行卫星的周期与线速度D.地球表面卫星的周期与地球的密度 解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。设地球的质量为M卫星的质量为mi卫星的运行周期为T,轨道半径为r2 2 3根据万有引力定律：GMmm- =m4rr得：M=32r可见A正确 r2T2GT2一 2 -： r而丫=由知C正确 T对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R由于P =可结合得：PT2可见D错误4 二 R3G32球表面的物体，其重力近似等于地球对

2、物体的引力 由mg = G雪得：M=R2G可见B正确2普通卫星的运动问题我国自行研制发射的“风云一号” “风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12h, “风云二号”是同步轨道卫星，具运行轨道就是赤道平面 ，周期为24 h。问： 哪颗卫星的向心加速度大？哪颗卫星的线速度大？若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空， 那么“风云一号”下次通过该岛上 空的时间应该是多少？解析：由开普勒第三定律T2Jr3知：“风云二号”卫星的轨道半径较大2Mmv又根据牛顿万有引力定律 G =ma=m一得:rra = G?，可见

3、“风云一号”卫星的向心加速度大，v = JGM ,可见“风云一rr号”卫星的线速度大，“风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h,即第二天上午8点钟。【探讨评价】 由万有引力定律得:一 MGMa=G 苫，v=qr，【3】同步卫星的运动下列关于地球同步卫星的说法中正确的是：A、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上R通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24hG不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上DX不同通讯卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。解析：同步卫星运动的周期与地球自转周期相同，T=24h

4、,角速度一定根据万有引力定律Gm = mr得知通讯卫星的运行轨道是一定的，离开 r T地面的高度也是一定的。地球对卫星的引力提供了卫星做圆周运动的向心力，因此同步卫星只能以地心为为圆心做圆周运动，它只能与赤道同平面且定点在赤道平面的正上方。故 B正确，C错误。不同通讯卫星因轨道半径相同，速度大小相等，故无相对运动，不会相撞，A错误。由GMm=ma=mL知：通讯卫星运行的线速度、向心加速度大小一定 rr故正确答案是：B D【4】“双星”问题天文学中把两颗距离比较近，又与其它星体距离比较远的星体 叫做双星，双星的间距是一定的。设双星的质量分别是m、m2,星球球心间距为L。问：两星体各做什么运动？两

5、星的轨道半径各多大？两星的速度各多大？解析：本题主要考察双星的特点及其运动规律由于双星之间只存在相互作用的引力，质量不变，距离一定，则引力大小 一定，根据牛顿第二定律知道，每个星体的加速度大小不变。因此它们只能 做匀速圆周运动。由牛顿定律Gmm=mB2ri=m2。2r2得：包=更 又 L2m1r1 +2 = L解得：r1r2m 1 - m 2三L由得:Gm2 rl2: m2 1L L(m1 m2)Gm1r2L2二 m1,L(m1 m2)【5】“两星”问题1、T2, (TYT2),且某时如图是在同一平面不同轨道上运行的两颗人造地球卫星。设它们运行的周期分别是刻两卫星相距最近。问:两卫星再次相距最

6、近的时间是多少？两卫星相距最远的时间是多少？解析：本题考察同一平面不同轨道上运行的两颗人造地球卫星的位置特点及 其卫星的运动规律依题意，TlV3 r r, r由开普勒第二定律知，卫星在椭圆轨道上的运动速度大小不同，近地点Q速度大，远地点速度小，即：V2V2/卫星由近地轨道向椭圆轨道运动以及由椭圆轨道向同步轨道运动的过程中，2引力小于向心力， GMm- = m,卫星做离心运动，因此随着轨道半径rr r增大，卫星运动速度增大，它做加速运动，可见：V2Vl, V3V；因此：/V2VlV3 V271“连续群”与“卫星群”土星的外层有一个环，为了判断它是土星的一部分，即土星的“连续群” ， 还是土星的“

7、卫星群”，可以通过测量环中各层的线速度 v与该层到土星中心的 距离R之间的关系来判断：A若V8R,则该层是土星的连续群 B若v2R,则该层是土星的卫星群C若v28R,则该层是土星的卫星群 D若vh，则该层是土星的连续群R解析：该环若是土星的连续群，则它与土星有共同的自转角速度，v=oR,因止匕v 0c R2该环若是土星的卫星群，由万有引力定律 GM2 = m 土得：v2ocl 故A、 RRRD正确【8】宇宙空间站上的“完全失重”问题假定宇宙空间站绕地球做匀速圆周运动，则在空间站上，下列实验不能做成 的是：A、天平称物体的质量B 、用弹簧秤测物体的重量C、用测力计测力D 、用水银气压计测飞船上密

8、闭仓内的气体压E、用单摆测定重力加速度 F、用打点计时器验证机械能守恒定律解析：宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动时，地球对飞船的引力提供了向心加速GM=ma,可见a=GM rr对于飞船上的物体，设F为“视重”，根据牛顿第二定律得:Mm-F解得：F=0,这就是完全失重在完全失重状态下，引力方向上物体受的弹力等于零，物体的重力等于引 力，因此只有C、F实验可以进行。其它的实验都不能进行。【9】黑洞问题“黑洞”问题是爱因斯坦广义相对论中预言的一种特殊的天体。它的密度很 大，对周围的物质（包括光子）有极强的吸引力。根据爱因斯坦理论，光子是有 质量的，光子到达黑洞表面时，也将被吸入，最多恰能绕黑洞表面做圆周

9、运动。 根据天文观察，银河系中心可能有一个黑洞，距离可能黑洞为6.0X1012m远的星 体正以2.0 x 106m/s的速度绕它旋转，据此估算该可能黑洞的最大半径是多少？ （保留一位有效数字）解析：设光子的质量为 m,黑洞的质量为 M黑洞的最大可能半径为 R,光 子的速度为c根据牛顿定律GM2=mU得：对银河系中的星体，设它的质量为m, R R它也在绕黑洞旋转2因止匕6粤二mv! r rv由解得：R = - r : 3 10 mc101宇宙膨胀问题在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做“宇宙膨胀说”，这种学说认为万有引力常量G在缓慢地减小，根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中 地球的公转

10、情况与现在相比较，公转半径如何变化？公转周期如何变化？ 公转线速度如何变化？要求写出必要的推理依据和推理过程。解析：设M为太阳的质量，m为地球的质量，r为地球公转的半径，T为地 球公转的周期，v为地球公转的速率。根据GM9=mY得：GJ - F引nGMJ-GMm-me 一地球做离心 r rrr r运动一轨道半径r T一星球间距增大一宇宙膨胀一很久以前地球公转半径比现在要小“22 3mM根据G 丁 r44 二 rGJ、r T - T T 一很久以前地球公=m -2- r 得：T =T2, GM2根据：GM2=mL知：vr r转周期比现在要小|GM GJ、r T-v J 一很久以前地球公转 r的速

11、率比现在要大111月球开发问题科学探测表明，月球上至少存在氧、硅、铝、铁等丰富的矿产资源。设想人类开发月球，不断地月球上的矿藏搬运到地球上， 假定经过长时间开采以后，月 球和地球仍看做均匀球体，月球仍然在开采前的轨道运动，请问：地球与月球的引力怎么变化？月球绕地球运动的周期怎么变化？月球绕地球运动的速率怎么变化？解析：由万有引力定律FnGM；结合数学知识得：M+m之2vMrMm 1） 之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心，如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的， 试求此球形空腔球心的深度和空腔的体 积。【解析】（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为 P的岩石，则该地

12、区重力加速度便回到正常值,因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力GM?=mAg来计算，式中的m是Q点处某质点的质量，M是填充后球r形区域的质量，M =凶而r是球形空腔中心。至Q点的距离r =4d2 +x2 g在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小.Q点处重力加速度改变的方向沿 OQJ向，重力加速度反常Ag，是这一改变在竖直方向联立以上式子得.：g =2G d3/2 ,(d2x2)(2 )由式得，重力加速度反常Ag，的最大值和最小值分别为G V6(g max =6. 一G：Vd- -g min _2. 2 x3/2(d L )d20 由提设有(Ag Lx

13、 = k8、9g :min =6联立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为d -L, Vk2/3 -1L2k、G：(k2/3 -1)答案：(1)G Nd22 3/2 ，(d x )；(2) d =_L_ V 一_L2k_.k2/3 -1 , G?(k2/3 -1)21、(2009北京高考)已知地球半径为 R,地球表面重力加速度为g,不考虑地 球自转的影响。(1)推导第一宇宙速度vi的表达式;(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h,求卫星的运行周期T。【解析】(1)设卫星的质量为m,地球的质量为M,Mm _在地球表面附近满足G菽=mg得GM =R2g卫星做圆周运

14、动的向心力等于它受到的万有引力mtMm-GR2式代入式，得到Vi=；Rg(2)卫星受到的万有引力为F =GMm(R h)2 (R h)2由牛顿第二定律F=m空2（R+h）、联立解得T= （R + h）t2Rig答案：（1） vjR（2） T= i（R + h）3R g22、（2009天津高考）2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系 中央的黑洞“人马座 A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体 S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50 X 102天文单位（地球公转轨道 的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15

15、.2年。（1） 若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50父102天文单位的圆轨道，试 估算人马座A*的质量M是太阳质量M的多少倍（结果保留一位有效数字）；（2） 黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。 由于引力的作用，黑洞表面处 质量为m的粒子具有势能为E=-G地（设粒子在离黑洞无限远处的势能为零），R式中M R分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量 G=6.7x10-11N m/kg2,光 速c=3.0 x 108m/s,太阳质量M=2.0父1030kg,太阳半径R=7.0m10E 不考虑相对 论效应，利用上问结果，在经典力学范

16、围内求人马座 A*的半径R与太阳半径Rg之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。【解析（1） S2星绕人马座A做圆周运动的向心力由人马座 A对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为侬，角速度为，周期为T,则G必mS2 = mS202rr2二_ 切=T2=mE E设地球质量为ml,公转轨道半径为E,周期为Te,则G如mEE21 r 、2综合上述三式得Ma=工TE Ms 1幅八一式中Te=1年u=1天文单位 代入数据可得M2 = 4M106Ms1 2 cMm22)-mc G 0 2GM A 可得Ra ：二一4 c2RRA :二 17依题意可知R = Ra , M = Ma代入数据得Ra 1.2

17、1010 mRs23、（2008宁夏高考）天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特 征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一周 定点分别做匀速圆周运动，周期均为 T,两颗恒星之间的距离为r,试推算这个 双星系统的总质量。（引力常量为0【解析】设两颗恒星的质量分别为 m、m,做圆周运动的半径分别为八r2,角 速度分别为幽也。根据题意有 W=W2 一+2=根据万有引力定律和牛顿定律，有 Gmm2 = m1W12r1Gm m1w2r1rr联立以上各式解得r1 = m2r 根据解速度与周期的关系

18、知m1 m2w/i =w2 =/联立式解得m1 , m2 = -4-2 r3T2G24、（2008全国高考）我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息， 让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得 的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m地球和月球的半径分别为R和R,月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为 r和1,月球绕地球转动的周期为 To假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨 道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能 到达地球的时间（用 M m R R、r、J和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影）【解析】设探月卫星的质量为m,万有引力常量为G根据万有引力定律有Mm八 mm0/G = m( riTi式中，Ti是探月卫星绕月球转动的周期-2- r设卫星的微波信号被遮挡的时间为 t,则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，应Ti二式中，a =/ CO A, B=/CO Bo由几何关系得rcosa = RR1r1 cos B = R 由式得t = yM-rV (arccos