在高三复习中如何把握重要不等式

1、在复习中准确把握两个不等式 佛山市顺德区郑裕彤中学 徐新宏不等式是一个最基本也很重要的不等式，它本身的应用较广泛。虽然在新课标的高考中对不等式证明的要求已大大降低，但这并不说明可以放弃。它的一些变形式散见于课本和一些参考资料中，利用这些变形式能较容易地解决一些问题。另外，在广东高考数学理科卷的填空题中有“三选二”的形式，其中有涉及不等式选讲（选修45）的内容，主要的就是柯西不等式的应用。在重要不等式和柯西不等式的应用中，一定要抓准高考中会出现的题型(大都是以客观题形式出现)，特别是求最值问题。在利用不等式求最值时，一定要注意等号成立的条件，否则就会出错。本文挖掘重要不等式和柯西不等式以及它们的

2、一些变形在解题中的应用。这样不仅可以针对高考题型做好准备，而且不会做无用功。一、重要不等式：。变形之一：（当且仅当时取“=”号。）这个不等式也称为基本不等式。这个变形式就是前一个不等式的推论。其中，限制条件可以放宽为是非负实数。变形之二：（当且仅当时取“=”号）变形之三：（当且仅当时取“=”号）二、柯西不等式：若都是实数，则，当且仅当时，等号成立（这是二维形式的柯西不等式）。设是实数，则，当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立（这是一般形式的柯西不等式）。在使用柯西不等式时，一定要根据它的结构特点，直接使用或灵活地配凑出其固有的形式，其规律性是较明显的。下面略举几例来说明它们的应用。同学们可以

3、自己判断使用了什么形式的不等式。例1. （2004年高考湖北文史卷）已知，则有（ ）A最大值 B 最小值 C最大值1 D最小值1解：。=当且仅当，即时，上式等号成立。因为在定义域内，所以最小值为1。例2（2006年高考重庆卷）若，且，则的最小值为（ ）A B C D 解：由已知条件有。（当且仅当即时，取“=”号）。 所以。故选D。例3、（2004年高考重庆文史卷）已知，则的最小值是_。解析：解法一：（不等式法）2=。当且仅当等号成立 。解法二：（三角代换法）令。（同学们自己验证等号成立的条件）。 例4（某地2007模拟试题）某工厂年产量第二年增长率为，第三年增长率为，则这两年平均增长率满足（

4、）A B C D解析：设原产量为A，则有利用变形二有 。故选B。例5（2005年高考重庆卷）若是正数，则的最小值是（ ）A.3 B. C.4 D.解析：由变形三可以把和放在一起，这样就可以解下去。-（*）而由变形一有：（当且仅当时，两个式子中的等号都成立）。此时，（*）式中的等号也同时成立故当且仅当时，的最小值是=4。选（C）。例6、(惠州市2008届高三第二次调研考试)已知实数满足，,则的最大值为_。解析：由已知条件，很容易想到公式，显然有，即有（当且仅当时，等号成立。）则的最大值为。值得说明的是，在没有学习柯西不等式之前用重要不等式也是可以解决此题的，但不少同学可能是这样做的：因为，所以，

5、即有。所求的最大值是2。这个结果肯定是不对的，请同学们思考错误的原因。例7、（2007年广州市一模）设为正数，且，则的最小值是_.解析：这种类型的解题规律较明显，只要把和结合在一起，即把两式相乘即可。下面给出两种解法：A、（当且仅当时，等号成立）。即有。故填。B、，即有（当且仅当时，等号成立）。故填。练习：（2007年山东高考题）函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为_.提示：先求出定点A的坐标（-2，-1），又点A在直线上，则。可仿照例7来做。例8（某地2008年高考模拟题）设，则的最小值是（ ）A B. C. D.分析：此题可能首先想到令，把代入，用判别式法来解，但要注意是有限制条件的。在能否取到最小值时，要验证存在的条件才行。这个解法还是较麻烦的。也能想到把化为，用椭圆的参数方程进行三角代换来解。但经过观察，我们发现有关系，因而想到要用好这个关系则简洁很多。解：利用变形三有： 即有，的最小值是-4。当且仅当，即，=时，取得最小值为-4。故选（B）。