第五章第3讲　平面向量的数量积

1、抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考第第3讲平面向量的数量积讲平面向量的数量积抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点梳理考点梳理1两个向量的夹角两个向量的夹角同向同向反向反向ab抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，它们的夹角为，它们的夹角为，我们把数量，我们把数量|a|b|cos 叫做向量叫做向量a和和b的数量积的数量积(或内积或内积)，记作，记作_.规定：零向量与任一向量的数量积为规定：零向量与任一向量的数量积为_.数量积数量积ab等于等于a的长度的长度|a|

2、与与b在在a的方向上的投影的方向上的投影_的乘积的乘积2平面向量的数量积平面向量的数量积3平面向量数量积的几何意义平面向量数量积的几何意义ab|a|b|cos |b|cos 0抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)eaae_；(2)非零向量非零向量a，b，ab_；4平面向量数量积的重要性质平面向量数量积的重要性质|a|cos ab0|a|2(1)ab_(交换律交换律)；(2)(a)b_(为实数为实数)；(3)(ab)c_.5平面向量数量积满足的运算律平面向量数量积满足的运算律ba(ab)a(b)abacbc抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3

3、年高考年高考设向量设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则ab_，由此得到由此得到x1x2y1y20 x1x2y1y26平面向量数量积有关性质的坐标表示平面向量数量积有关性质的坐标表示x2y2抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考对于数量积的复习应重视以下几个方面对于数量积的复习应重视以下几个方面(1)由于几何意义和坐标意义是平面向量的两个最本质特由于几何意义和坐标意义是平面向量的两个最本质特征，所以平面向量的数量积常结合平面向量基本定理考查征，所以平面向量的数量积常结合平面向量基本定理考查这两个特征这两个特征(2)认真理解数量积的定义及其几何意义，理解投影

4、的概念认真理解数量积的定义及其几何意义，理解投影的概念及其实质，对于数量积的坐标表示，要注意与两向量共线及其实质，对于数量积的坐标表示，要注意与两向量共线表示的区别求两向量的数量积，包括定义法和坐标法两表示的区别求两向量的数量积，包括定义法和坐标法两种形式种形式【助学助学微博微博】抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(3)明确运用数量积可以解决的问题，如求长度明确运用数量积可以解决的问题，如求长度(范围范围)、求、求夹角、解决垂直问题等，并重视数量积在三角函数、解析夹角、解决垂直问题等，并重视数量积在三角函数、解析几何等知识中的应用几何等知识中的应用(4)题型主要

5、以填空题为主，属容易题，预计今后高考对数题型主要以填空题为主，属容易题，预计今后高考对数量积的考查仍将是考查的重点和热点量积的考查仍将是考查的重点和热点抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案4考点自测考点自测抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考2(2012扬州第二次调研扬州第二次调研)已知单位向量已知单位向量a，b的夹角为的夹角为 120，那么，那么|2axb|(xR)的最小值是的最小值是_抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案

6、44(2012苏锡常镇联考苏锡常镇联考)已知已知|a|6，|b|3，ab12，则向量则向量a在向量在向量b方向上的投影为方向上的投影为_抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案8抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考向一考向一向量的数量积向量的数量积答案答案24抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法总结方法总结 当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已

7、知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识识抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)(2012盐城市二模盐城市二模)设向量设向量a，b，c满足满足abc0，(ab)c，ab，若，若|a|1，则，则|a|2|b|2|c|2的值是的值是_考向二考向二利用平面向量数量积求夹角与模利用平面向量数量积求夹角与模抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3

8、年高考年高考抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【训练训练2】 (2011扬州调研扬州调研)已知非零向量已知非零向量a，b，c满足满足abc0，向量，向量a，b的夹角为的夹角为120，且，且|b|2|a|，则向，则向量量a与与c的夹角为的夹角为_所以所以ac，即，即a与与c的夹角为的夹角为90.答案答案90抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例3】 (2012无锡期末考试无锡期末考试)已知已知ABC的角的角A、B、C所所对的边分别是对的边分别是a、b、c，设向量，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)考

9、向三考向三利用数量积解决向量平行、垂直问题利用数量积解决向量平行、垂直问题抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)解解由题意可知由题意可知mp0，即，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab.即即(ab)23ab40.ab4(ab1舍去舍去)方法总结方法总结 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值在计算数量积时要注程，通过解方程求出其中的参数值在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是利用向量的坐标形式求数量意方法的选择：一种方法是利

10、用向量的坐标形式求数量积；另一种方法是利用向量数量积的计算公式求数量积积；另一种方法是利用向量数量积的计算公式求数量积抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)(2011辽宁卷改编辽宁卷改编)若若a，b，c均为单位向量，且均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则，则|abc|的最大值为的最大值为_考向四考向四平面向量数量积坐标表示及应用平面向量数量积坐标表示及应用抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考

11、答案答案(1)6(2)1方法总结方法总结 建立直角坐标系，用向量的坐标运算求解有关建立直角坐标系，用向量的坐标运算求解有关问题，多数情况下较为方便问题，多数情况下较为方便抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案5抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考 近几年高考对平面向量的考查突出了近几年高考对平面向量的考查突出了“创新性创新性”与与“灵灵活性活性”，其实质可以归源于平面向量的几何特征和代数特，其实质可以归源于平面向量的几何特征和代数特征通过建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求与向量征通过建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求与向量有

12、关的值或最值、范围问题，往往较为方便通过向量的有关的值或最值、范围问题，往往较为方便通过向量的坐标，可以建立函数模型坐标，可以建立函数模型(代数或三角函数代数或三角函数)，用函数性质，用函数性质或基本不等式求解或基本不等式求解热点突破热点突破15 充分利用向量的坐标表示求与向量有关的充分利用向量的坐标表示求与向量有关的 综合性问题综合性问题抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考审题与转化审题与转化 第一步第一步：通过建系，运用坐标法来解题比：通过建系，运用坐标法来解题比较简单较简单规范解答规范解答 第二步第二步：法一以：法一以A为原点，为原点，AB所在直线所在直线为为x轴，轴，AD所在直线为所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设轴建立平面直角坐标系，设F(x,2)，抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住6个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考反思与回顾反思与回顾 第三步第三步：本题考查了向量的数量积运算、向：本题考查了向量的数量积运算、向量的坐标运算及向量加减法的几何表示等知识，试题难度量的坐标运算及向量加减法的几何表示等知识，试题难度较大考查了学生运用已学知识解决问题的能力较大考查了