2021年北师大初中数学九上《2-0第二章一元二次方程》教案1

1、课 题2.1 、花边有多宽（一）课 型 新 授 课1要求学生会根据具体问题列出一元二次方程。通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的提出，让学生列出方程，体会方程的模型思24教学目标想，培养学生把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。2. 通过教师的讲解和引导，使学生抽象出一元二次方程的概念，培养学生归纳分析的能力。教学重点一元二次方程的概念教学难点如何把实际问题转化为数学方程本课通过丰富的实例：花边有多宽、梯子的底端滑动多少米，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。学生在以前学情分析的学习中已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入的理解。通过本

2、节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效学生模型。教学后记教 学内 容及 过程教师活动学生活动一、通过实例引入新课1. 在开始新的一个单元的时候，要向学生讲清楚本单元的主要内容和总体目标，这样可以让学生对本单元的内容做到整体把握和概览。2. 进人本单元的第一节：花边有多宽? 板书课题，明确本节课的中心任务。3. 播放“花边有多宽”的课件，说明题目的条件和要求，课件要求制作得精美并且可以清楚得显示出各个量之间的关系。4. 给学生时间思考：如何明确并用数学式 子表示出题目中的各个量? 让学生在思考后把教材补充完整。P41页的填空题5让学生回答他们的答案是什么，给予点

3、评，让学生核对答案，可以以学生举手示 意的方式掌握全班的情况。6. 继续进行下二个问题：板书P41 页的等式，提出问题：你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗 ?7. 趁热打铁，让学生把教材p42 页的填空1. 认真听讲， 对本单元 ( 一元二次方程 )有了一个较好的总体认识， 为新的内容的学习作好准备。2. 进入良好的学习状态，在教师的引导下顺 利进入到新课的学习中， 新颖的标题也引起了学生的兴趣； 3很有兴趣地观看课件，对“花边有多宽” 的问题产生了很强的探究的欲望，但大部分学生不知道如何找到解决问题的方法，新的任务与原来的认知结构发生冲突。4. 对照图形

4、( 示意图 ) 认真思考，找到各个元素的数量关系，比较顺利地把填空题补充完整。5. 回答： 长为 8 2x。宽为 5 2x，根据题意可得方程 (8 2x)(5 2x) 18。6正整数是学生最熟悉的内容，五个连续整数的性质引发了学生的兴趣和探究的欲望，受到前面题目的启发， 可能会想到可以通过设未知数列方程来求解。 7积极认真地填空，大部分学生可以顺利完成 。 8回答老师的问题；并基本正确，做对的同学举手示意，方便老师掌握情况。题补充完整。 8让学生说出自己的答案，点评，其他学生核对自己的答案。可以以学生举手示意的方式掌握全班的情况。 9简单点评上面两个问题的解答情况，转入下一个问题。播放“梯子的

5、底端滑动多少米”的课件，说明题意，课件制作得要求可以清楚看出滑动的线段。10. 设置悬念：有的同学猜测是1 米，到底是多少，我们后面来看一看。为后续学习做好铺垫。让学生把教材上的填空题补充完整。11. 让学生说出他们的答案，点评，其他学生核对自己的答案；可以以学生举手示意的方式掌握全班的情况。 12肯定学生的表现：大家自己的探索已经很好地打开了第二章“一元二次方程” 的大门，相信同学们这一章会通过自己的学得很好。二、一元二次方程的概念 1板书刚刚得到的三个方程，让学生观察它们有什么共同的特点 ?2. 给学生必要的提示：我们曾经学习了元一次方程，同学们可以类比着它的要点来看看这些方程有什么特点。

6、3. 让学生用自己的语言回答这三个方程有 什么共性。 4肯定学生的回答，让学生继续观察它们 还有没有其他的共性 ?比如： 从整式和分式的角度，展开来整理后的形式的角度。可 以让同桌两个进行交流。5. 让学生用自己的语言他们的新发现。6. 允许学生用自己的语言表述，对学生的回答要善于引导，让学生的认识更清楚。7对学生所说的各个情况进行总结，尤其注意学生容易漏掉的二次项系数不为0 的要点，给出一元二次方程的要点和定义。9. 对于这个问题也很感兴趣，有的猜测可能梯子底端滑动的距离和梯子顶端滑动的距离一样，都是 1 米，但不能充分说明。10. 不知道 1 米对不对， 到底是多少米， 产生了想一探究竟的

7、欲望， 为后面的学习做好了心理准备。 按照老师的要求， 比较顺利地把填空题补充完整。11. 回答老师的问题， 基本正确， 做对的同学举手示意，方便老师掌握情况。12. 受到老师的表扬和鼓励， 自信心及学习的兴趣都大增， 以很好的状态投入到下面的学习中。1观察三个方程的特点，但因为问题的指向性不是很明确， 因此有些茫然。 2得到启发， 从未知数的个数、 未知数的最高次数出发观察它们的共性，容易看出它们都只有一个未知数 ， 最 高 次 数 是 2 。3回答：都只含有一个未知数，未知数的最高 次 数 是 2 4继续观察三个方程的特点，容易看出它们都是整式方程， 把式子展开， 经过移项、 合并同类项等

8、化成相似形式的式子， 经过交流学生认识得更加清楚。 5回答：都是整式方程，并且都可以化成一个二次加一个一次再加一个常数的形式。6听取老师的点评和说明，进一步理清自己的 思 路 。 7认真体会老师的思路，老师是如何总结抽象概括的。记下一元二次方程的要点和定义。8给出一般的一元二次方程的形式，强调二次项系数不为 0 的要点， 说明二次项、一次项、常数项和二次项以及一次项系数的含义。9让学生指出三个方程的二次项、一次项、常数项和二次项、次项的系数。8认真听讲，掌握一般的一元二次方程的形式和二次项系数不为0 的要点，清楚二次项、一次项、常数项以及二次项和一次项系数的含 义 。9顺利指出三个方程的二次项

9、、一次项、常数项以及二次项、一次项的系数。10复习总结，布置作业。作业： P47，习题 2.2 ： 1、210总结本节内容，记下作业。板书设计：一、一元二次方程的概念二、例题三、练习课题2.1 、花边有多宽（二）1. 探索一元二次方程的解或近似解2. 培养学生的估算意识和能力课型新授课教学目标3.经历方程解的探索过程，增进对方解的认识，发展估算意识和能力教学重点探索一元二次方程的解或近似解教学难点培养学生的估算意识和能力教学方法分组讨论法教学后记教学 内容及过 程学生活动三、梯子底端滑动的距离x(m) 满足方程222(x+6)+7 =102（1） 你能猜出滑动距离x(m) 的大致范围吗？（2）

10、 x 的整数部分是几？十分位是几？x0x 2+12-1x 155所以 1xo ，8 2x o，5 2x 0（2）x 可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？为什么？（3）完成下表从左至右分别 11，4.75 ，0， 4， 7，9x00.511.522.52x 13x+112地毯花边 1 米， 另，因 8 2x 比 5 2x多 3，将 18 分解为 6 3， 8 2x=6，（4）你知道地毯花边的宽x(m) 是多少吗？还有其x=1他求解方法吗？与同伴交流。(x 十 6) 2 十 7 2 10 2 ，即 x 2 十 12x 一 15 0所以 1 x 2x 的整数部分是1，所以 x 的整数部分是l ，

11、十分位是 1也就是 x +12x 15=0进一步计算x x 2+12x1.11.21.31.4注意：（ 1）估算的精度不适过高。（2）计算时提倡使用计算器。-0.50.842.293.769四、课堂练习课 本 P46 随 堂 练 习 1 五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数分别是多少吗?15所以 1.1x022当 b 4ac 0 时，得b x+2a = b 4ac24a2= 2b 4ac 2a注意：符号 x=b b 4ac2a2一般地，对于一元二次方程ax +bx+c=0 (a 0)22当 b 4ac 0 时，它的根是 x=2 bb 4ac2a注意：当 b 4

12、ac0 7121 x=21即： x 1=9, x2 = 22例：解方程： 2x +7x=42解：移项，得 2x +7x 4=0这里， a=1 , b=7 , c= 4学生小结22 b 4ac=7 4 1 ( 4)=810步骤 : (1)指出 a、b、 c2 x=7812 2= 7 94（ 2）求出 b 4ac(3) 求 x1即:x 1=2,x 2= 4（ 4）求 x 1, x 2三、巩固练习：P58 随堂练习： 1、2看课本 P56 P57，然后小结四、小结：（ 1）求根公式： x= bb 4ac222a（ b 4ac 0）这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法公式法。（ 2）利用求根公式解

13、一元二次方程的步骤五、作业：（一） P59习题 2.61、 2（二）预习内容：P59 P61板书设计： 一、复习二、求根公式的推导三、练习四、小结五、作业（ 1）求根公式的推导， 实际上是“配方”与“开平方” 的综合应用。对于a0 ，知4a 2 0 等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理。（ 2）应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式， 并写出 a、b、c 的数值以及计算 b 2 4ac 的值。当熟练掌握求根公式后， 可以简化求解过程课题2 4分解因式法课型新授课1. 能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。教学目标2. 会用分解因式（提

14、公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。教学重点掌握分解因式法解一元二次方程。教学难点灵活运用分解因式法解一元二次方程。教学方法讲练结合法教学后记教学 内容及过 程学生活动一、回顾交流 课堂小测 用两种不同的方法解下列一元二次方程。学生练习。1.5x2-2x-1=02.10(x+1)2 -25(x+1)+10=0观察比较： 一个数的平方与这个数的3 倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？注：课本中， 小颖、小明、小亮的解法由学生在探讨中比较，对照。概念：课本议一议，让学生自己理解。分析小颖、小明、小亮的解法：小颖：用公式法解正确；小明：两边约去 x，是非同解变形

15、，结果丢掉一根， 错误。小亮：利用“如果ab=0，那么 a=0 或 b=0”来求解，正确。分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。解：（ 1）原方程可变形为：5x 4x=0 x(5x 4)=0x=0 或 5x=4=02二、范例学习例：解下列方程。 x 1=0 或 x2=451. 5x2 =4x2. x-2=x(x-2)想一想(2) 原方程可变形为x 2 x(x 2)=0 (x 2)(1 x)=0你能用几种方法解方程x-4=0,(x+1)22-25=0 。x 2=0 或 1 x=0 x 1=2， x 2=1三、随堂练习随堂练习 1 、2 拓展题 分解因式法解方程： x 3 -

16、4x 2 =0。四、课堂总结利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键， 因此，要熟练掌握因式分解的知识，通过提高因式分解的（ 1）在一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因式时，就可用分解因式法来解。（ 2）分解因式时，用公能力，来提高用分解因式法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法。五、布置作业P62习题 2.71、2板书设计：式法提公式因式法一、复习 二、例题 三、想一想四、练习 五、小结 六、作业课题25为什么是 0.618课型新授课1. 经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程

17、解决实际问题的一般步骤。教学目标2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。教学重点掌握运用方程解决实际问题的方法。教学难点建立方程模型。教学方法讲练结合法教学后记教学内 容及 过 程学生活动一、回顾交流 课堂小测 1、用适当的方法解一元二次方程。（ 1） 5x(x-3)=21-7x（ 2）9(x-1 ) 2 =4(2x+1)23学生演板（ 3） 2x 2 -5x+1=0（4） 3x 2 +7x+2=02、问题情境：同学们还记得黄金分割吗？你想知道黄金分割中的黄金比是怎样求出来的吗？与同伴交流。0.618如图，如果点。AC = ABCB，那么点 C 叫做线段 A

18、B 的黄金分割AC方程一边为零，另一边可分解为两个一次因式23、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解？ 二、范例学习ACCB由AB= AC，得 AC=ABCB设 AB=1， AC=x ，则 CB=1 x22 x =1 (1 x)即： x +x 1=0注意：黄金比的准确数为解这个方程，得 1+5 155 12，近似数为 0.618.x 1=2, x2=2（不合题意，舍去）AC 1+5所以：黄金比AB=2 0.618例 1： P64 题略（幻灯片）（ 1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里？（ 2）已知军舰的速度是补给船的2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船

19、航行了多少海里？（结果精确到 0.1 海里）解：（ 1）连接 DF，则 DF BC， AB BC，AB=BC=200海里 AC= 2 AB=2002 海里， C=45 1学生理解领会，参与分析。 CD=2AC=1002 海里DF=CF，2 DF=CD2 DF=CF=2CD=22 1002 =100 海里所以，小岛 D 和小岛 F 相距 100 海里。（ 2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x 海里，AB+BE=2x海里222EF=AB+BC（ AB+BE） CF=（ 300 2x）海里在 Rt DEF中，根据勾股定理可得方程： x整理得， 3x2 1200x+100000=0=100+(

20、300 2x)解这个方程，得： x1=20010063 118.4x2=200+10063( 不合题意，舍去 )所以，相遇时，补给船大约航行了118.4海里。三、随堂练习课本随堂练习1 探索题 某商场一月份销售额为70 万元， 二月份下降 10%，后改进管理，月销售额大幅度上升， 四月份的销售额达112 万元， 求三月、四月平均每月增长的百分率。四、课堂总结列方程解应用题的关键在于找未知量与已知量之间的相等关系，正确合理地建立模型。在分析数量关系时，一般可采用一些辅助手段，如“列表法” 、“译式法”、“图示法”等。五、布置作业课本练习 1、 2板书设计：学生独立练习。方程解应用题的三个重要环节

21、：1、整体地， 系统地审清问题；2 、把握问题中的等量关系；3、正确求解方程并检验解的合理性。一、黄金分割二、例题三、练习四、小结五、作业第二章一元二次方程复习（复习可以根据学生实际情况用1 2 课时进行）一、一元二次方程的概念1、一元二次方程的一般形式ax 2+ bx + c= 0 （ a0 ）例 1：关于 x 的方程(a + 3) x|a|- 1 + 5 x -2 = 0 是一元二次方程，求a 的取值范围。策略： 看到一元二次方程，就应该要注意到：是否存在着二次项，二次项系数是否为零2、一元二次方程的根策略：抓住一点：只要是方程的根，代入方程之后等式仍然成立。出题一、根据方程根的定义例 2

22、：如果x = 4 是一元二次方程x2 -3x - a 2= 0 的根，那么常数 a的值。出题点二、根据多项式的只判断一元二次方程的根二、一元二次方程的解法。1、一元二次方程解法之间的比较方法( x + a)2 = bb0x + a =b简单，能直接配方的公式法后，再展开验证是否正确先计算ax 2 + bx + c = 0b 2 - 4ac0x = - bb- 4ac2a2直接不能观察出用何种方法b 2 - 4ac 的值，正负不要弄错例 3：请写出一个两个根分别是1， -2 的一元二次方程。例 4：已知关于这个根是x 的两方程 x 2 + mx + n = 0 和 x 2 + nx + m =

23、0 只有一个相同的根，则。3、两种题型的结合例 5、已知关于x的方一元二次方程(m + 2) x2 + mx +m2 - 4 = 0 有一个根是0，则m =。解法化解成的形式方程有解的条件可以得到的简化式适用情况备注因式分AB = 0无A = 0或 B = 01、平方差2、提取公适当地运用十字相称法解因式法开平没有一次x2 = aa0x =a开平方方项加绝对值法配数字比较配成完全平方之2例 6：解下列一元二次方程（1） 9(x + 1)2 -16( x -2) 2 = 0（ 2） 3(4 x- 9) =2(2 x - 3)2（3） 4 y 2- 16 = 0（4） x-4 x -5 = 02（

24、5） x2 - 22x -3 = 0（ 6） 2x- 4 x -6 = 0（7） 25 x2+ 10x + 1 = 02、公式法中的问题一元二次方程的根情况：A ： b 2 -4ac0一元二次方程有两个不相等的实数根2B： b- 4ac = 0一元二次方程有两个相等的实数根2C： b- 4ac0一元二次方程无实数根注意：所有问题能用这些条件的前提是：这个方程必须是一元二次方程。运用上面的性质来求方程中字母的取值范围例 7：当 k 为何值时，关于 x 的一元二次方程( k -1) x2+ 2kx + k= 0 有实数根。变式一：当 k 为何值时，关于 x 的一元二次方程(k -1) x2+ 2

25、kx + k= 0 有实数根。变式二：当 k 为何值时，关于 x 的方程(k -1)x 2+ 2kx + k= 0 有两个不相等的实数根。变式三：当 k 为何值时，关于 x 的一元二次方程(k -1) x2+ 2 kx + k= 0 无实数根变式四：当 k 为何值时，关于 x 的方程(k -1)x 2+ 2kx + k= 0 有两个相等的实数根。变式五：当 k 为何值时，关于 x 的一元二次方程(k -1) x2+ 2 kx + k= 0 只有一个实数根。变式六：当 k 为何值时，关于 x 的方程(k -1) x 2+ 2kx + k= 0 只有一个实数根。三、一元二次方程的应用针对方程的解题

26、手段，抓住题中一些量的关系，自己发现题中的公式。1、盈利问题： （可列表来分析）例 8：星星超市经销某种品牌食品，购进该商品的单价为每千克2 元，物价部门规定该商品销售单价不得高于每千克7 元，也不得低于每千克2 元。经市场调查发现，销售单价定为每千克7 元时，日销售为60 千克；销售单价每降低0.1 元，日均多售出2千克。（1） 该商品销售单价定为每千克多少元时，该商品日利润总额为300 元？（2） 该超市为提高销售量，决定让利消费者，当该商品销售单价定为每千克多少元时，该商品的日利润总额为240 元？2、平均增长率问题（注意：是那段时间的平均增长率）例 9：某校坚持对学生进行近视眼的防治，

27、近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视人数的75%，那么这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少( 精确到 1%)？例 10：某省 2006 年治理水土流失面积400km 2，并逐年加大治理力度，每年治理水土流失面积比前一年增长相同的百分点，到2008 年底，这三个月共治理流失面积1324 km 2， 求该省 200620008 年每年治理水土流失面积比前一年增长的百分数。3、数字问题（设合理的未知数，会让题目变得简单）例 11：一个两位数，个位数字与十位数字之和是5， ? 十位上的数字与个位上的数字对调后所得的数与原数相乘，得736，求这个两位数4、面积问题（利用面积

28、公式）例 12：如图，要在长 100m ，宽 90m 的长方形绿地上修建宽度相同的道路，6? 块绿地面积共 8 448m 2，求道路的宽5、线段问题， （灵活运用勾股定理、直角三角形的面积）例 13：如图， AB BC ，AB=10cm ，点 M 以 1cm/s 的速度从点 A 开始沿 AB 边向点 B 运动，点 N 同时以 2cm/s 的速度从点 B 开始沿 BC 边向点 C 运动，则当点 M 运动多少时间时， BMN? 的面积等于 24cm 2？一、填空题第二章一元二次方程检测题1、一元二次方程(1 + 3 x)( x -3) =2 x2 + 1 化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系

29、数为：，常数项为：。2、当 m时，方程 (m2- 1)x2 -mx + 5 =0 不是一元二次方程。3、方程3x 2= x 的解是。4、若方程kx 2 -9 x + 8 =0 的一个根为 1，则 k =，另一个根为。225、若方程为。x2 -3x +m = 0 有两个相等的实数根，则 m =，两个根分别6、 x2+ 3x += ( x +) ； x2 -+ 2 = ( x)。7、直角三角形的两直角边是34，而斜边的长是 15 ，那么这个三角形的面积是。8、已知二、选择题2x 2+ 3x + 1的值是 10，则代数式4 x2+ 6 x + 1的值是。21、下列方程中，一元二次方程是（）（A） x 2 + 1x 2（B） ax+ bx （C） (x -1)(x + 2) = 1（D） 3 x2 -2 xy -5 y 2 =