西工大最优控制课程 导论

1、最优化与最优控制最优化与最优控制例例1 1 火车快速运行问题。设有一列火车从甲地出发，火车快速运行问题。设有一列火车从甲地出发，要求算出容许的控制使其到达乙地的时间最短。要求算出容许的控制使其到达乙地的时间最短。火车的运动方程火车的运动方程)(tuxm ( )u tM式中，式中， 是火车的质量，是火车的质量， 是火车的加速度，为使是火车的加速度，为使旅客舒适，其值有限制。旅客舒适，其值有限制。 是产生加速度的控是产生加速度的控制作用（即推力），其值也应有限制，设制作用（即推力），其值也应有限制，设x )(tum一、最优控制问题举例一、最优控制问题举例选择选择 使使 为最小。为最小。)(tu)(

2、uJ初始条件初始条件00( )x tx0( )0 x t终端条件终端条件ffxtx)(0)(ftx 性能指标性能指标00)(ttdtuJfttf例例2：登月舱软着陆的最小燃料问题：登月舱软着陆的最小燃料问题)(u)()()(u)(v)(v)(tktmgtmtttth 运动方程运动方程参数说明：登月舱质量参数说明：登月舱质量m(t)，不含燃料时的质量不含燃料时的质量M，所载燃料，所载燃料质量质量F。高度。高度h(t)，登月时的初，登月时的初始高度始高度h0，初始垂直速度，初始垂直速度v0.发动机推力发动机推力u(t)，重力加速度，重力加速度g一、最优控制问题举例一、最优控制问题举例0)(0)(

3、fftvthmax)(0utu )(ftmJ 末端条件末端条件控制约束控制约束性能指标性能指标FMmvvhh )0()0()0(00初始条件初始条件二、最优控制二、最优控制 在生产过程、军事行动、经济活动以及人类的其在生产过程、军事行动、经济活动以及人类的其它有目的的活动中，常需要对被控系统或被控过程施它有目的的活动中，常需要对被控系统或被控过程施加某种控制作用以使某个性能指标达到最优，这种控加某种控制作用以使某个性能指标达到最优，这种控制作用称为最优控制。制作用称为最优控制。二、最优控制二、最优控制 ,),(0ftttttUtXfX其中， 为 维状态向量， 为 维控制向量， 为 维向量函数，

4、它可以是非线性时变向量函数，也可以是线性定常的向量函数。状态方程必须精确的知道。( )X tn( )U tm( ),( ),f X t U t tn （1）建立被控系统的状态方程）建立被控系统的状态方程二、最优控制二、最优控制 而到达终端的时刻而到达终端的时刻 和状态和状态 则因问题而异。则因问题而异。ft()fX tn 一个动态过程对应于一个动态过程对应于 维状态空间中从一个维状态空间中从一个状态到另一个状态的转移，也就是状态空间中的状态到另一个状态的转移，也就是状态空间中的一条轨线。在最优控制中初态通常是知道的，即一条轨线。在最优控制中初态通常是知道的，即00( )X tX（2）确定状态方

5、程的边界条件）确定状态方程的边界条件()ffX tX（1-19）例如，在流水线生产过程中，例如，在流水线生产过程中， 是固定的；在飞机是固定的；在飞机快速爬高时，只规定爬高的高度快速爬高时，只规定爬高的高度 ，而，而 是自由的，要求是自由的，要求 越小越好。终端状态越小越好。终端状态 一般属于一个目标集一般属于一个目标集 ，即，即ft()ffX tXft0ftt( )fX tS当终端状态是固定的，即当终端状态是固定的，即 时，则目标集退时，则目标集退化为化为 维状态空间中的一个点。而当终态满足某些维状态空间中的一个点。而当终态满足某些约束条件，即约束条件，即()ffX tXn这时这时 处在处在

6、 维状态空间中某个超曲面上。若维状态空间中某个超曲面上。若终态不受约束，则目标集便扩展到整个终态不受约束，则目标集便扩展到整个 维空间，维空间，或称终端状态自由。或称终端状态自由。()fX tnn(),0ffG X tt （3）确定控制作用的容许范围）确定控制作用的容许范围 ，即，即 是是 维控制空间维控制空间 中的一个集合。例如，控中的一个集合。例如，控制飞机的舵偏角是受限制的，控制电机的电流是制飞机的舵偏角是受限制的，控制电机的电流是受限制的，即有受限制的，即有 。这时控制作用属于一。这时控制作用属于一个闭集。当个闭集。当 不受任何限制时，称它属于一个不受任何限制时，称它属于一个开集。处理

7、这两类问题的方法是不同的。开集。处理这两类问题的方法是不同的。 可称可称为容许集合，属于为容许集合，属于 的控制则称为容许控制。的控制则称为容许控制。mmR( )U tM( )U t( )U t （4）选定性能指标）选定性能指标 J 性能指标性能指标 是控制作用是控制作用 的函数，也就是的函数，也就是函数函数 的函数，这种以函数为自变量的函数称的函数，这种以函数为自变量的函数称为泛函，所以为泛函，所以 又称为性能泛函。有的文献中也又称为性能泛函。有的文献中也把性能指标称为代价函数、目标函数等等。把性能指标称为代价函数、目标函数等等。J( )U tJ( )U t按一定的方法计算出容许控制按一定的

8、方法计算出容许控制 将它将它施加于用状态方程描述的系统，使状态从初态施加于用状态方程描述的系统，使状态从初态转移到目标集转移到目标集 中的某一个终态中的某一个终态 ，并使性能，并使性能指标达到最大或最小，即达到某种意义下的最优。指标达到最大或最小，即达到某种意义下的最优。( )( )U t U t 0( )X t()fX tS 1、 积分型性能指标 （1）最短时间控制 （2）最少燃料消耗控制 （3）最少能量控制 fttdtttutxJ0),(),( fttfttdtJ00 fttmjjidttuJ01)( fttTdttutuJ0)()(拉格朗日问题拉格朗日问题（2）末值型性能指标）末值型性能

9、指标（3）复合型性能指标）复合型性能指标 二次型性能指标二次型性能指标),(ffttxJ fttffdtttutxttxJ0),(),(),( fttTTTdttutRtutxtQtxtFxtxJ0)()()()()()(21)()(21波尔扎问题波尔扎问题 学科内容：学科内容： 线性系统理论线性系统理论 非线性系统理论非线性系统理论 最优控制理论最优控制理论 最优状态估计最优状态估计 自适应控制理论自适应控制理论 系统辨识系统辨识数学工具数学工具：现代数学的内容，包括矩阵理论和泛函分析。：现代数学的内容，包括矩阵理论和泛函分析。着重研究线性系统中状态的观测着重研究线性系统中状态的观测与控制与

10、控制基本的分析与综合方法：状态空基本的分析与综合方法：状态空间法间法 使控制系统的性能指标实现最使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件与综合方法优化的基本条件与综合方法 在系统和环境的信息不完备的情况在系统和环境的信息不完备的情况下改变自身特性来保持良好工作品下改变自身特性来保持良好工作品质的控制方式。质的控制方式。 根据可获取的量测数据估计根据可获取的量测数据估计动态系统内部状态动态系统内部状态 根据系统输入输出时间函根据系统输入输出时间函数描述系统模型数描述系统模型 2、发展历程、发展历程19401940年维纳提出相对于某一个年维纳提出相对于某一个性能指标进行最优设计的概念性能指标进行最

11、优设计的概念19501950年米顿纳尔首先将这个概年米顿纳尔首先将这个概念用于研究继电器系统过渡过念用于研究继电器系统过渡过程时间最短问题程时间最短问题19571957年德来培尔研究内燃机消年德来培尔研究内燃机消耗最小问题耗最小问题 20世纪世纪50年代中期，空间技术的要求与推动年代中期，空间技术的要求与推动19531957贝尔曼贝尔曼动态规划方法动态规划方法贝尔曼贝尔曼Richard Bellman(19201984)Richard Bellman(19201984)美国数学家，美国全国科学院美国数学家，美国全国科学院院士，动态规划的创始人。院士，动态规划的创始人。19571957年出版专著

12、年出版专著动态规划动态规划，对控制理论结合数学界有深远对控制理论结合数学界有深远影响。影响。19561958年年庞德里亚金庞德里亚金最大（小）值原理最大（小）值原理庞特里亚金庞特里亚金 . . (1908)(1908)苏联数学家，极大值原理的创始人苏联数学家，极大值原理的创始人1960s，贝尔曼，卡尔曼等将状态空间法贝尔曼，卡尔曼等将状态空间法引入控制理论，引入控制理论，提出具有二次型性能指标的线提出具有二次型性能指标的线性状态反馈律给出最优调节器的概念。性状态反馈律给出最优调节器的概念。 卡尔曼卡尔曼 R.ER.ERudolf Emil Rudolf Emil Kalman(1930)Kal

13、man(1930)美国数学家和电气工程美国数学家和电气工程师。师。19601960年提出著名的年提出著名的卡尔曼滤波器卡尔曼滤波器1、最优化问题的实质 -求取极值 如：营养学问题，确定什么样的食谱既能满营养学问题，确定什么样的食谱既能满足人们健康所需的要求，又使价格最便宜；足人们健康所需的要求，又使价格最便宜； 在生产计划中，在一定人力、机器、原材料、在生产计划中，在一定人力、机器、原材料、资金条件下，如何安排生产，使生产成本达到资金条件下，如何安排生产，使生产成本达到最低最低2、最优化问题的三个基本要素：、最优化问题的三个基本要素： 优化变量、目标函数和约束条件优化变量、目标函数和约束条件一

14、、最优化问题例例1：最大利润问题：最大利润问题某工厂生产两种不同产品某工厂生产两种不同产品A，B，每种产品都要经过两个工，每种产品都要经过两个工艺过程艺过程A1，A2，各产品在各工艺过程所消耗的时间、各，各产品在各工艺过程所消耗的时间、各工艺过程每周可用工时和每件产品的单位利润如表：工艺过程每周可用工时和每件产品的单位利润如表：设备设备每件产品的加工时每件产品的加工时间间/h每周可用工时每周可用工时hABA11.5540A22440利润（元）2005003、最优化问题举例、最优化问题举例设二种产品每周计划产量分别为设二种产品每周计划产量分别为可获总利润为可获总利润为f.500200)(max2

15、1tsxxxf 2 , 1, 040424055 . 12121 jxxxxxj2, 1xx优化变量优化变量目标函数目标函数约束条件约束条件特点：目标函数与优化变量都是线性的特点：目标函数与优化变量都是线性的 给定厚度和密度的金属板设计一个长方体容给定厚度和密度的金属板设计一个长方体容器，使其体积一定的条件下重量最轻器，使其体积一定的条件下重量最轻321133322211.minxxxVtsxxcxxcxxcJ 约束条件约束条件特点：目标函数与优化变量都是非线性的特点：目标函数与优化变量都是非线性的是金属板厚度和密度有关的系数是金属板厚度和密度有关的系数容器的长宽高容器的长宽高321321,x

16、xxccc实际问题所提出的实际问题所提出的最优化问题最优化问题大体有两类：一类是求大体有两类：一类是求函数的极值函数的极值，另一类是求，另一类是求泛函的极值泛函的极值。 求函数极值的最优化方法可称为求函数极值的最优化方法可称为数学规划数学规划，包括，包括线性线性规划规划和和非线性规划非线性规划，一般处理的是，一般处理的是静态问题静态问题。有约束、无约束；有约束、无约束；等式约束，不等式约束等式约束，不等式约束随机性、确定性随机性、确定性；解析式模型，图；解析式模型，图变量不是时间的函数变量不是时间的函数1、几个名词、几个名词 （1）可行解可行解-满足约束条件的一组解称为可行解，它可满足约束条件

17、的一组解称为可行解，它可以有无穷多个。以有无穷多个。 （2）可行解域可行解域-约束条件包含的范围，即变量满足约束约束条件包含的范围，即变量满足约束条件的可行范围，由无穷多个可行解组成。条件的可行范围，由无穷多个可行解组成。（3）最优解最优解-使指标函数为极值的可行解。最优解在可使指标函数为极值的可行解。最优解在可行解域内。行解域内。（4）指标函数等高线指标函数等高线-由指标函数值相等的点构成的直由指标函数值相等的点构成的直线或曲线（对于非线性指标函数时为曲线）。线或曲线（对于非线性指标函数时为曲线）。.500200)(max21tsxxxf 2 , 1, 040424055 . 12121 j

18、xxxxxj（1）最优解不唯一）最优解不唯一0, 015053602106max21212121 xxxxxxxxJ由于指标函数等高由于指标函数等高线与线与AD平行，此平行，此时时AD上所有点均上所有点均为最优值。为最优值。（2）可行解域无界）可行解域无界0, 03312max21212121 xxxxxxxxJ指标函数极大值为指标函数极大值为无穷大，极小值为无穷大，极小值为左顶点左顶点（3）可行解域不存在）可行解域不存在0, 0302103max21212121 xxxxxxxxJ约束条件所确定的约束条件所确定的区域不重合区域不重合3、线性规划问题的求解、线性规划问题的求解单纯形方法单纯形方

19、法-G. B. Dantzig 在在可行域的顶点可行域的顶点中搜索最优点中搜索最优点从可行解域的顶点出发，向邻近顶点运动，如此继续，直至从可行解域的顶点出发，向邻近顶点运动，如此继续，直至检查出基本可行解为最优解为止。检查出基本可行解为最优解为止。线性规划的基本定理：线性规划的基本定理：（1）线性规划问题的可行域是凸集。）线性规划问题的可行域是凸集。（2）线性规划问题的最优值一定可行域）线性规划问题的最优值一定可行域凸集凸集的某个的某个顶点上达到。顶点上达到。S为凸集：为凸集：S为为n维欧式空间中一个点集，对维欧式空间中一个点集，对S中任意两个不同点，连中任意两个不同点，连线上的一切点仍属于线

20、上的一切点仍属于S。4、Matlab优化工具箱中优化工具箱中 求解线性规划的函数为求解线性规划的函数为linprog（）（）例题例题 f=-7;-9;-8; A=4.2,6.1,5.3;0.4,0.7,0.3;1.1,1.9,1.4; b=8300;3700;4100; lb=zeros(3,1); x,fval=linprog(f,A,b,lb);说明：为应用该函数，需将最大值问题变为最小值求解说明：为应用该函数，需将最大值问题变为最小值求解不等式约束不等式约束等式约束等式约束.897)(max321tsxxxxf 3 , 2 , 1, 041004 . 19 . 11 . 137003 .

21、 07 . 04 . 083003 . 51 . 62 . 4321321321 jxxxxxxxxxxj1、目标函数和约束条件至少有一个是非线性。、目标函数和约束条件至少有一个是非线性。常见的非线性规划常见的非线性规划-二次型二次型最优性条件最优性条件-局部极小点的一阶必要条件局部极小点的一阶必要条件设函数设函数 在点在点x处可微，且处可微，且x为局部极小点，则必有为局部极小点，则必有梯度梯度可将求极值问题化为求可将求极值问题化为求x使满足使满足AxxxfT )()(xf0)( Xf 0)(0)(1nxxfxxf 一般而言该一般而言该n维方程组是非线性的，难以用维方程组是非线性的，难以用解析

22、法求解，因此一般用数值方法直接求极值。解析法求解，因此一般用数值方法直接求极值。迭代法基本思想：给出极小点的一个初始估计迭代法基本思想：给出极小点的一个初始估计X0，计算一系列，计算一系列Xk（1，2，），希望点列），希望点列Xk的极限的极限X*为为f（x）的极小点。）的极小点。点列获得方法：最速下降法，牛顿法等点列获得方法：最速下降法，牛顿法等 0)(0)(1nxxfxxf2、Matlab优化工具箱中，求解无约束非线性规优化工具箱中，求解无约束非线性规划的函数为划的函数为fminsearch（）和（）和fminunc()例：求例：求Function f=myfun(x) f=3*x(1)2+

23、2*x(1)*x(2)+x(2)2;X0=1,1;%初始值初始值x,fval=fminunc(myfun,x0);22212123)(minxxxxxf3、有约束非线性规划、有约束非线性规划 有约束问题取得的最优解可能是局部最优，并有约束问题取得的最优解可能是局部最优，并且与初始点有关。一般求解有两类方法：且与初始点有关。一般求解有两类方法：（1）间接解）间接解 将约束问题转换为无约束问题，如将约束问题转换为无约束问题，如拉格朗日乘子法，消元法等拉格朗日乘子法，消元法等（2）直接解）直接解 在可行域内选取各点的目标函数，在可行域内选取各点的目标函数，找到最小点，如随机试验法，线性逼近法找到最小

24、点，如随机试验法，线性逼近法拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法（1）等式约束）等式约束构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数2、不等式约束、不等式约束引入松弛因子，约束函数变为引入松弛因子，约束函数变为目标函数为目标函数为. .)(mintsxfLlxhl, 2 , 1, 0)( LlllxhxfxL1)()(),( . .)(mintsxfMmmmmxgxfxL12)()(),(Mmxgm, 2 , 1, 0)(Mmxgmm, 2 , 1, 0)(2 Matlab优化工具箱中，求解有约束最优化的函数为优化工具箱中，求解有约束最优化的函数为fminbnd(), fmincon(), fseminf(),

25、quadprog(), fminimax()例例:求取求取约束条件约束条件初始位置初始位置Function f=myfun(x)F=-x(1)*x(2)*x(3);X0=10;10;10;A=-1,-2,-2;1,2,2;b=0;27;x,fval=fmincon(myfun,x0,A,b)321)(minxxxxf27220321xxxTx101010)0(2722022321321xxxxxx典型问题：典型问题：TSP问题问题，背包问题背包问题，作业调度问题，作业调度问题难以抽象出合适数学解析式的优化问题难以抽象出合适数学解析式的优化问题可采用经验推理、人工智能、专家系统等方法可采用经验推

26、理、人工智能、专家系统等方法算法包括禁忌搜索算法、模拟退火算法、遗传算法、算法包括禁忌搜索算法、模拟退火算法、遗传算法、蚁群优化算法、神经网络、拉格朗日松弛算法等蚁群优化算法、神经网络、拉格朗日松弛算法等TSP问题问题问题说明：设有问题说明：设有n+1个城市，分别用个城市，分别用0，1，2n来表示，来表示，从城市从城市i到城市到城市j的距离为的距离为dij，一个推销员从城市，一个推销员从城市0出发，出发，到达其它任一城市一次且仅仅一次，然后回到城市到达其它任一城市一次且仅仅一次，然后回到城市0，如，如何选择行走路线，使总的路程最短？何选择行走路线，使总的路程最短？旅行商问题特点：旅行商问题特点

27、：1、实际很多应用问题可转化为该问题，如物资、实际很多应用问题可转化为该问题，如物资运输路线，管道铺设等；运输路线，管道铺设等；2、难于求解，可从事、难于求解，可从事有效求解算法有效求解算法的研究的研究设有设有n种物品，每一种物品数量无限。第种物品，每一种物品数量无限。第i种物品每件种物品每件重量为重量为wi公斤，每件价值公斤，每件价值ci元。现有一只可装载重元。现有一只可装载重量为量为W公斤的背包，求各种物品应各取多少件放入公斤的背包，求各种物品应各取多少件放入背包，使背包中物品的价值最高。背包，使背包中物品的价值最高。可以用整数规划模型来描述。设第可以用整数规划模型来描述。设第i种物品取种

28、物品取xi件件（i=1,2,n，xi为非负整数为非负整数)，背包中物品的价，背包中物品的价值为值为z，则，则为非负整数为非负整数nnnnnxxxWxwxwxwtsxcxcxcZ,.max2122112211 6、算法复杂性、算法复杂性算法的时间复杂性函数是问题输入长度的函数，例冒算法的时间复杂性函数是问题输入长度的函数，例冒泡排序法对个数为泡排序法对个数为n的整数排序，最坏情形的时间的整数排序，最坏情形的时间复杂度为复杂度为222) 1()(2nnnnnf时间复杂度为时间复杂度为)(2nO算法的时间复杂性函数很多情况下为下列函数之一：算法的时间复杂性函数很多情况下为下列函数之一：)(),!()

29、,(),2(),(),log(),(),(loglog2nnnnOnnnOOnOnnOnOnO以上按时间复杂度增大排列以上按时间复杂度增大排列存在某个以输入长度存在某个以输入长度n为变量的多项式函数为变量的多项式函数p(n)，使时，使时间复杂性函数为间复杂性函数为O（p(n)）,称为多项式时间算法，如称为多项式时间算法，如)5(),10(),(836nOnOnO算法的复杂度算法的复杂度 是指数函数，是无望求解的是指数函数，是无望求解的 NP问题问题图中曲线图中曲线y=y(x)y=y(x)如何选取，才如何选取，才能在满足边界弧长为定值的条件能在满足边界弧长为定值的条件下，使该图形的面积实现最大下

30、，使该图形的面积实现最大 20)()(dxxyyJyx020)2()0(,)()(1 yyCxyxyy面积面积其中其中 dxy2021弧长约束弧长约束7、泛函最优问题、泛函最优问题如图所示，在重力作用下，物体由如图所示，在重力作用下，物体由(0,0)(0,0)点点至至(x1,y1)(x1,y1)点，路径点，路径y=y(x)y=y(x)如何可使所用时如何可使所用时间为最短？间为最短？(0,0)xy(x,y)(x1,y1)设设t时刻物体速度为时刻物体速度为v，则，则)(221)(122xgyvmvxmgydxdtydtdsv (0,0)xy(x,y)(x1,y1)xxyT)( 102)(21minminxyydxxgyyT该问题即求取该问题即求取函数关系函数关系 102222)(21)(21)(221)(1xdxxgyyTdxxgyydtxgyvmvxmgydxdtydtdsv则则 空间实际上就是一个集合，且该集合中的元素之间具有空间实际上就是一个集合，且该集合中的元素之间具有某些特定的联系和性质。某些特定的联系和性质。1、线性空间、线性空间 在非空集合在非空集合X中规定了元素的加法和数乘线性运算，加法中规定了元素的加法和数乘线性