西安交大西工大 考研备考期末复习 工程数学积分变换 Laplace积分变换

1、工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换第二章第二章 Laplace积分变换积分变换& 1. Laplace变换的概念变换的概念& 2. Laplace变换的性质变换的性质& 3. Laplace逆变换逆变换& 4. 卷积和卷积定理卷积和卷积定理& 5. Laplace变换的应用变换的应用工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换tf (t)Otf (t)u(t)e-btO工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换1. Laplace变换的概念变换的概念定义定义1 设函数 当 有定义,而且积分( )f t0t 0( )(stf t edts- 是

2、一个复参量） 在 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为 s0( )( )stF sf t edt-我们称上式为函数 的拉普拉斯变换式 ,记做( )f t( )F s ( )f t叫做( )f t的拉氏变换,象函数.( )F s叫做的拉氏逆变换,象原函数,( )ft= ( )f t( )F s1( )F s-工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换例例2 求单位阶跃函数 的拉氏变换 u t解解 0( )( )1sttt edt- 1t 例例1 求单位脉冲函数 的拉氏变换 t解解 011( )00sts tu tedteRe sss- - 1u ts工程数学（二）工程数学（二）积

3、分变换积分变换1.2 拉普拉斯变换存在定理拉普拉斯变换存在定理 若函数( )f t满足下列条件 在0t 的任一有限区间上连续或分段连续, 0t 时, ( )0f t 成立,则函数 的拉普拉斯变换( )f t0( )( )stF sf t edt- 的增长速度不超过某一指数函数,亦即存在常数 当t 时, ( )f t0,M 及0C ,使得 0c tf tMet 在半平面在半平面Re(s)c上一定存在上一定存在, 并且在并且在Re(s) c的半平的半平面内面内, F(s)为解析函数为解析函数.工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换MMectf (t)tO注注1:大部分常用函数的大部分常用函数

4、的Laplace变换都存在变换都存在(常义下常义下);注注2：存在定理的条件是充分但非必要条件：存在定理的条件是充分但非必要条件. . 工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换例例3 求函数 的拉氏变换 ( )k tf te.kR1ktesk-解解 ()001( )ktsts k tf te edtedtRe sksk- 21( )( )ttu ts例例4 求单位斜坡函数 的拉氏变换 000ttt u ttt解解 200111( )00sts tstttedtteedtRe ssss- 1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换一些常用函数的拉普拉斯变换 工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变

5、换例例5 求正弦函数 的拉氏变换 ( )sin)f tktkR ( 00020201( )sinsin1sincos01cos1cossin0stststststststf tktedtktdesektkektdtsektdtsektkektdts- - - - -解解 则22200sinsinststkkk tedtk tedtss-所以 22sin0kktRe ssk 工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换即22sinkktsk同理可得22cossktsk如 22sin204tRe ss 2cos309stRe ss 工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换1.4 周期函数的拉普

6、拉斯变换周期函数的拉普拉斯变换 这是求周期函数拉氏变换公式 ()f tT( )(0)f tt 当 在一个周期上连续或分段连续时,则有( )f t 是周期为( )f tT的周期函数,即可以证明:若01( )1 t Tss Tf t edte- ( )f t工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换1.5 利用利用Laplace变换表求函数的变换表求函数的Laplace变换变换 的拉式变换的拉式变换、求、求例例tttf3sin2sin6 的拉式变换的拉式变换、求、求例例btbtebtsincos27- - - - - -4sinbtebt)1)(25(1222 sss)22(2222bbsss

7、工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换2.Laplace变换的性质变换的性质2.1 线性性质线性性质 11212( )( )( )( )F sF sf tft-bb, b设为常数则1( )F s1( )f t 2( )F s2( )f t 1212( )( )( )( )f tftF sF sbb 工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换2.2 相似性质相似性质若= ( )F s( )f t0a 则()f at1sFaa1( )()sFaf ata-2.3 平移性质平移性质（1）象原函数的平移性质(延迟性质) ，有非负实数，则对任一时，且当若00tftsFtfL-tfL sFes-

8、)(1 - - - - -tfsFeLs工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换例1 求函数)0( 10)(-bbtbtbtu的拉氏变换解 因为 1( )( )u tF ss 所以 1()sbu tbes- （2）象函数的平移性质(位移性质)( )()ate f tF s a-a为实常数,则 ( ),F s ( )f t若工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换解 因为 22sinkktsk所以 22sin()atkektsak- ( 为正整数). 例2 求 sin,atekt-n工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换2.4 微分性质微分性质（1）象原函数的微分性质 ( )( )

9、(0)f tsF sfRe sC- (则( ),F s ( )f t若( )12(1)( )( )(0)(0)(0)nnnnnfts F ssfsff- -特别地,当(1)(0)(0)(0)(0)0nffff-时,( )( )( )nnfts F s 工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换例3 求 的拉氏变换（m为正整数）。 mf tt 10000,!mmfffftm-由于而 ()1! ;mftmmu tms一方面 LLL mts另一方面；mmL fL t111!(Re0).mmsmmsssmmL tL t工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换（2）象函数的微分性质若( )F s

10、-则( )tf t( ),F s ( )f t从而 ( )( )tf tF s -1( )( )F stf t- -例4 求函数sintkt解 因为 22sinkktsk所以,222222sindkkstktdssksk -工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换2.5 积分性质积分性质0( )( )tF sf t dts10( )( )tF sf t dts-若则( ),F s ( )f t（1）象原函数的积分性质 一般地0001( )( )tttnn dtdtf t dtF ss 次次例5 求 的拉氏变换. 0costf ttdt220111coscos11tstdttss ssLL工

11、程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换（2）象函数的积分性质 一般地( )( )nsssn f tdsdsds F st 次次( )( )sf tF s dst 则且积分 收敛若( ),F s ( )f t( ) sF s ds例6 求0sin ttdtt工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换常用函数的常用函数的Laplace变换变换( )1t 1ktesk-1!nnnts22sinkktsk22cossktsk工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换作业：作业：P79 1（2）（）（3）（）（8） 2（1） P92 1（1）（）（5）（）（10）（）（12）5（1）（）（5）（

12、）（10） 6（3）（）（6）工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换 - - jjstdsesFjtfb bb b )()(21Laplace反演变换反演变换 （Laplace反演积分）反演积分）3.1 Laplace反演积分反演积分 积分路线中的实部积分路线中的实部 b b 有一些随意有一些随意, 但必须满足但必须满足的条件就是的条件就是e- -b btf (t)u(t)的的0到正无穷的积分必须收敛到正无穷的积分必须收敛. 计算复变函数的积分通常比较困难计算复变函数的积分通常比较困难, 但当但当F(s)满足满足一定的条件时一定的条件时,可以用留数方法进行计算可以用留数方法进行计算.3.

13、Laplace逆变换逆变换工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换3.2 利用留数求拉氏逆变换利用留数求拉氏逆变换 定理定理: 1211,()( )0,1( )Re ( ) ( ),2( )Re ( ) ( ),0njststkstks ssF ssF sF s e dss s F s esjf ts s F s estbbbb -jkk nn 若是函数的所有奇点 适当选取 使所有奇点全在Re(s) 的范围内，且当时，则有即：工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换RO实轴实轴虚轴虚轴LCRb b+jR为奇点为奇点b b解析解析步骤：步骤： kssF的所有奇点）找出1 nkkstses

14、Fstf1,Re2 ）工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换 0,Rezzfs：求留数求留数补充补充）根据定义1 10,Re- czzfs 0),(Res200zzfzfz的可去奇点，则为）若 zfzzzzfzfzzz0000lim),(Res 3-的一级极点，则为）若 zfzzdzdmzzfmzfzmmmzz011000lim!11),(Res 4-级极点，则的为）若 000000),(Res , 0, 05zQzPzzfzQzPzzQzPzQzPzf则都解析，若在及，）设工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换21( ).(1)F ss s-例1 求的逆变换 21021( )Re

15、,0Re,11d1elime(1)d11limee1( ee )1e (1)(0).ststststssstststttf ts F s es F s ess stssttt- - - -练习练习:求求 的逆变换的逆变换1)(2 sssF解：解：工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换例例3 已知已知 211sF ses-求求( )f t解解所以所以 sin11f ttu t- 121sin1ts- 01000( )() (),1steF sf t t u t tt- 工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换221111( )(1)1F ssssss-121( )(1)f tss-所以

16、L1e(0).ttt- - -1-1-121-11= LLLsss+13.4 利用部分分式法求有理分式的拉氏逆变换利用部分分式法求有理分式的拉氏逆变换 例例4:求求 的逆变换的逆变换)1(1)(2 sssF工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换所以所以解解练习练习: 已知已知 11F ss s求求( )f t解解 11111F ss sss-所以所以 1tf te- -例例5 已知已知求求( )f t)4)(2)(1(22268)(23 sssssssF)4)(2)(1(14121)(2 ssssssFttteeetsFL42143)()(- - - - - - 4423111 - -

17、sss工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换1. 当当F(s)是真有理分式时，可直接应用公式求其是真有理分式时，可直接应用公式求其 逆变换逆变换. 2.当当F(s)是非真有理分式时，先用长除法将其分解是非真有理分式时，先用长除法将其分解 为多项式和有理式之和，然后再求其逆变换为多项式和有理式之和，然后再求其逆变换.总结总结:工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换4.4.卷积与卷积定理卷积与卷积定理4.10,)上的卷积定义上的卷积定义 1( )f t2( )f t12120( )()( )()tff tdff td -若函数1( ),f t2( )f t满足, 时都为零,0t 称为函

18、数1( ),f t2( )f t在 上的卷积.0,)工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换 .sin 121的拉氏卷积与求函数例ttfttf解解:根据定义根据定义分部积分一次分部积分一次,可得可得 - - tdttt0)sin(sin ttdtttdtttttsin)cos(0)cos()sin(sin00- - - - - - - - 练习练习:求的求的Laplace卷积卷积atet 工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换()0000002:eedeed1eedeeede1eee1e(e1)1(e1)ttata tataattttataaaattataatatatattaataa

19、taataa- - -例1解:工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换4.2 卷积的性质卷积的性质 fggffghfgfhfghfghA fgAfgfAgA交换律：加法分配律：结合律：数乘：为常数工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换4.3 Laplace变换的卷积定理变换的卷积定理 12112212121211212( ),( )( )( ), ( )( ),( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )f tftLaplaceL f tF s L ftF sf tftLaplaceL f tftF sF sLF sF sf tft定理：假定满足变换存在的条件，且则的

20、变换存在，且有或注：卷积公式可用来计算逆变换或卷积注：卷积公式可用来计算逆变换或卷积.工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换例21221( ),( ) .(25)F sF sss-求L 2222)1(1)( ssF - - - - -tesLesLtt2sin2122212)1(1221221 - - - -22122112)1(22)1(2)(sLsLsFLtetett2sin212sin21- - - )2cos22(sin161)2cos)24(cos(810tttedttettt- - - - - - - - - - - - - -ttdtee0)()(2sin)(2sin(41

21、 解：解：工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换例3 1221( ),( )(1)F sF sss-求L11122111( )sin1F sttss- -解法 ：LLL1112200000112( )sin1sin()cos()cos()cos()sin()sintttttF sttsstddttts dsttstt- - - -解法 ：LLL解法解法3: ttiesFsiesFsesFssFLstststsin,)(Re,)(Re0 ,)(Re)(1- - - - - -工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换 - -032cos1tdttet求求例例5.1 利用利用Laplace

22、变换变换计算广义积分计算广义积分一、一、 形如形如 - -0)(dtetfst222)4(42cos - - ssttL解：由于解：由于故故1695)43(43)3(2cos22203 - - - -Ftdttet)(sF 5.Laplace变换的应用变换的应用练习：求练习：求 - -02dttet41 工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换二、二、 形如形如 0)(dtttf例例2求求 - - - -02dtteett 0sindttt 0211dss20arctan s 00sinsindstLdttt解：解：练习：练习：2ln 0)(dstfL工程数学（二）工程数学（二）积分变换积分变换5.2 微分、积分方程微分、积分方程Laplace变换法求解变换法求解象原函数象原函数（方程的解）（方程的解）象函数象函数微积分方程微积分方程象函数的象函数的代数方程代数方程取Laplace逆变换取Laplace变换解代数方程 首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方程程