第一章集合学生版

1、第一章 集合第一讲 集合的概念和关系【知识整合】(一)集合的概念1. 1集合的概念集合：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体。元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元1.2集合的表示为了书写方便，通常用大写拉丁字母A，B，C，D，表示集合；用小写拉丁字母a,b,c,d,表示元素。如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A在以后的学习中，有些集合是我们经常要用到的：N：自然数集，即全体非负整数组成的集合（非负整数集），包括0； N+或N*：正整数集，即全体正整数组成的集合，不包括0 ；Z：整数集，即全体整数组成的集合；Q：有

2、理数集，即全体有理数组成的集合；R：实数集，即全体实数组成的集合。正整数集的表示，在N右上角加上“*”号或右下角加上“+”号。例1用“”或“”填空：1 N ， -3 N ，0 N ，2 N；1 Z ， -3 Q ，0 Z ，2 R；1.3集合的性质确定性：集合中的元素必须是确定的互异性：集合中的元素必须是互不相同的无序性：集合中的元素是无先后顺序的例2下列各对象可以组成集合的是（ ）（A）2、2、3、4、6、6 （B）某校2002-2003学年度笫一学期全体高一学生（C）高一年级视力比较好的同学 （D）与无理数相差很小的全体实数例3以下四种说法正确的是( )A. “实数集”可记为QB. 由“a

3、,b,c,d”构成的集合与由“c,d,b,a”构成的集合是两个不同的集合C. “我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定例4选择正确的序号：不大于3的正有理数；我校高一年级所有高个子的同学；全部长方形；全体无实根的一元二次方程。四个条件中所指对象不能组成集合的 。(二)集合的表示方法2.1 集合的表示方法列举法，描述法和韦恩图（veen图）是表示集合的常用方式。列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于大括号“ ”内如果两个集合所含的元素完全相同（即A中的元素都是B中的元素，B中的元素也都是A中的元素），则称这两个集合相等，例如：北京,天津,上海,重庆=上海，北京，天

4、津，重庆。有限集含有有限个元素的集合叫有限集无限集含有无限个元素的集合叫无限集空集不包含任何元素的集合，记作描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成的形式，大括号中竖线前写的是表示这个集合元素的一般符号，竖线后写出的是这个集合中元素所具有的共同特征。如x|x为中国的直辖市，x|x为young中的字母，x|x<-3，xR韦恩图（图示法）：画一条封闭曲线,用它的内部来表示一个集合。常用于表示不需给具体元素的抽象集合。对已给出了具体元素的集合也当然可以用图示法来表示。如: 集合1,2,3,4,5用图示法表示为:集合北京,天津,上海,重庆用图示法表示为：例5 用列举法表示

5、下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；（3）由120以内的所有质数组成的集合。(三)集合的基本关系3.1子集的概念上述每组中的集合A，B具有的关系可以用子集的概念来表述。子集：一般地，对于两个集合A、B， 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集。记作 AB(或BA)读作 “A包含于B”（或“B包含A”）3.2 集合相等和真子集的概念如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），此时集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等记作 A=B真子集：如果集合A

6、B，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA），读作A真包含于B（或B真包含A）例6写出集合a,b的所有子集，并指出哪些是它的真子集。例7下列命题：（1）空集没有子集；（2）任何集合至少有两个子集；（3）空集是任何集合的真子集；（4）若A，则A，其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【典例精析】1. 简答（1）什么是集合？什么是集合中的元素？（2）常用的数集有哪些？记号各是什么？（3）集合中的元素有哪些特征？（4）数0是自然数N中的元素吗？2. 试用列举法和描述法表示下列集合（1）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合（2）由大于10小

7、于20的所有整数组成的集合3. 已知a满足aM则1+a1-aM且a±1,a0，若3M,写出M中的其他元素。4. 集合A是由a+2，(a+2)2，a2+3a+3组成的集合，若1A，求实数a的值。5. 集合(x,y)|y=x2+1与集合y|y=x2+1是同一个集合吗？6. 在集合A=1,a2-a-1,a2-2a+2中,a的值可以是（ ）A0B1C2D1或27. 已知P=0，1，M=xxP，则P 与M的关系为（ ）8. 判断下列表示是否正确：(1)aa； (2)aa,b；(3)a,bb,a； (4)-1,1-1,0,1；9. 已知A=x|-2x5；B=x|a+1x2a-1，BA，求实数a的

8、取值范围10. 设集合A=xx2+4x=0,B=x|x2+2a+1x+a2-1=0,aR，若BA，求实数a的值。11. 若xR则x、x2-x、x3-3x能够组成集合吗？为什么？【重点题型强化】1. 集合y|y=x2，xR；(x，y)|y=x2，xR ；s|s=(t-1)2，tR；m|m=n+1，n-1，其中表示同一集合的是 （只填序号）2. 若集合M=a,b,c中元素是ABC的三边长，则ABC一定不是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形3. 用列举法表示下列集合：（1）a|0a<5，aN；（2）(x,y)|0x2,0y<2，x,yZ（3）“mathemati

9、cs”中字母构成的集合。4. 写出集合1,2,3,的所有子集。5. 设x,yR，A=(x,y)|y-3=x-2；B=(x,y)|y-3x-2=1，则A，B的关系是 6. M=m|m=2k,kZ,X=x|x=2k+1,kZ,Y=y|y=4k+1,kZ,则( )A .x+yM B .x+yXC .x+yY D .x+yM 7. 用“”或“”填空：（1）A=x|x2-x=0，则1 A，-1 A；（2）B=x|1x5，xN，则1 B，1.5 B；（3）C=x|-1<x<3，xZ，则0.2 C，3 C8. 设集合A=x|1x3，B=x|x-a0，若A是B的真子集，求实数a的取值范围。9. 设

10、A=1，2，B=x|xÍA，问A与B有什么关系？并用列举法写出B。10. 设A=x,y，B=1，xy，若A=B，求x,y11. 数集A满足条件：若aA，则11 a A (a1)若2A,试求出A中其他所有元素。自己设计一个数属于A，然后求出A中其他元素。从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆地证明你发现的这个道理。第二讲 集合的交、并、补运算【知识整合】1.1 并集的概念并集：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作AB,(读作“A并B”).即AB=x|xA,或xB例1 设A=4,5,6,8, B=3,5,7,8,求AB例2 设集合

11、A=x|-1<x<2,集合B=x|1<x<3求AB.1.2 交集的概念交集：一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作AB,(读作“A交B”),即AB=x|xA,且xB.例3 新华中学开运动会,设A=x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学B=x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学,求AB.例 4 设平面内直线l1上的点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系。1.3 全集和补集的概念全集：一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.例如，在实数

12、范围内讨论集合时，R便可看做一个全集U。补集：对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集。记为CUA（读作“A在U中的补集”），即CUA=x|xU,且xA补集可用Venn图表示为:例5 不等式组2x-1>03x-60，的解集为A，U=R，试求A及CUA，并把他们分别表示在数轴上。1.4 集合之间的关系（1）对于空集，我们规定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。（2）任何一个集合是它本身的子集，即AA（3）传递性：对于集合A、B、C，如果AB，BC，那么AC1.5 交集和并集的性质交集的性质：(1) AA=A(2)

13、 A=A(3) AB=BA(4) ABA,ABB(5) AB则AB=A并集的性质：(1) AA=A(2) A=A(3) AB=BA(4) AAB,BAB,ABAB(5) AB,则AB=B补充性质：1. CardAB=CardA+CardB-Card(AB) (容斥原理)，其中CardA表示集合A中元素的个数。2.CUAB=CUACUB3. CUAB=CUACUB 1.6 区间的表示方法为了叙述方便，在以后的学习中，我们常常会用到区间的概念。设a，bR ，且a<b，规定 a,b=x|axb， (a,b)= x|a<x<b， a,b)=x|ax<b， (a,b= x|a&l

14、t;xb， (a,+)=x|x>a， (-,b)=x|x<b， (-,+)=R。a,b，(a,b) 分别叫做闭区间、开区间；a,b)，(a,b叫做半开半闭区间；a，b叫做相应区间的端点。符号“+”读作“正无穷大”，符号“-”读作“负无穷大”。【典例精析】1. 填表ABABAABBACUAACUAAACUACUA2. 设U=x|x是小于9的正整数,A=1,2,3B=3,4,5,6,求CUA,CUB.3. 下列说法正确的有（ ）A. 若U=四边形，A=梯形，则CUA =平行四边形B. 若U是全集，且AÍB，则CUAÍCUB C. 若U=1，2，3，A=U，则CUA=

15、f 4. 已知A=x|x2-px-2=0，B=x|x2+qx+r=0且AB=-2,1,5，AB=-2，求p,q,r的值。5. 设A=-4,2a-1,a2，B=a-5,1-a,9，已知AB=9，求a的值，并求出AB。6. 已知A=x|x2-3x+2=0，B=x|x2-ax+a-1=0，若AB=A，求实数a 的值。7. 设集合A=x|-2<x<-1x|x>1，B=x|axb，若AB=x|x>-2，AB=x|1<x3，求a，b的值8. 设集合A=-1,1,3，B=a+2,a2+4，AB=3，则实数a的值为 9.设U=0,1,2,3，A=xU|x2+mx=0，若CUA=1

16、,2，则实数m= 10. 若U=Z，A=x|x=2k,kZ，B=x|x=2k+1,kZ，则CUA= CUB= 【重点题型强化】1. 设集合A=|2a-1|，2，B=2，3，a2+2a-3且CBA=5，求实数a的值。2. 已知全集U=1，2，3，4，5，非空集A=xÎU|x2-5x+q=0，求CUA及q的值。3. 设集合A=x|(x-1)2<3x+7，xR，则集合AZ中有 个元素。4. 已知集体A=x|x1,B=x|a,且AB=R，则实数a的取值范围是_。5. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .6. 已知全集U=R，集合A=x|x2x=0，B=x|1<x<1，则AB=（ ）A.0