第十章 结构的动力计算

1、1v结 构 动 力 计 算 的 特 点 和 内 容v单自由度体系的自由振动和强迫振动v多自由度体系的自由振动和强迫振动v无 限 自 由 度 体 系 的 自 由 度 振 动v近似法求自振频率v矩阵位移法求自振频率2 结构动力学是结构力学的一个分支，着重研究结构动力学是结构力学的一个分支，着重研究结构对于动荷载的响应（如位移、应力等的时间历结构对于动荷载的响应（如位移、应力等的时间历程），以便确定结构的承载能力和动力学特性，或程），以便确定结构的承载能力和动力学特性，或为改善结构的性能提供依据。为改善结构的性能提供依据。10-1 动力计算概述31、结构动力计算的特点和内容动荷载与静荷载的区别 动荷

2、载：大小、方向或位置随时间而变， 静荷载：大小、方向或位置不随时间而变，而且变得很快或变得很慢衡量荷载变化快慢的标准是结构的自振频率。与静力计算的区别。两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡（动平衡），荷载内力都是时间的函数。建立的方程是微分方程。动力计算的内容。研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。涉及到内外两方面的因素： 结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型。（自由振动） 荷载的变化规律及其动力反应。 （强迫振动）10-1 动力计算概述42.2.动荷载的分类动荷载的分类5偏心质量m,偏心距e,匀角速度惯性

3、力:P=m 2e,其竖向分量和水平分量均为简谐荷载.tP(t )tPt简谐荷载（按正余弦规律变化）一般周期荷载2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）PtP(t )ttrPtrP3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无 法事先确定。（如地震荷载、风荷载）2、动荷载分类。、动荷载分类。按起变化规律及其作用特点可分为：1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）63、动力计算中体系的自由度 实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。1. 集中质量法集中质量法2.

4、 广义坐标法广义坐标法3. 有限单元法有限单元法73、动力计算中体系的自由度把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。mmm梁m+m梁II2Im+m柱厂房排架水平振动时的计算简图单自由度体系三个自由度体系1. 集中质量法集中质量法8水平振动时的计算体系多自由度体系构架式基础顶板简化成刚性块(t)v(t)u(t)三个自由度三个自由度复杂体系可通过加支杆限制质量运动的办法确定体系的自由度9xy(x)将无限自由度体系化成有限自由度体系的另一种方法假设震动曲线niiixaxy1)()(221,., 为满足位移边界条件已知函数,称为形状函数, a1, a2, an为待定

5、的参数（广义坐标）。烟囱底部的位移条件:0, 0dxdyy于是近似设变形曲线为:13221.)(nnxaxaxaxyn个自由度体系简支梁的位移条件y(0)=0,y(l)=0于是近似设变形曲线为:nkklxkaxy1sin)(n个自由度体系2. 广义坐标法广义坐标法10几点注意：几点注意：1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集中质量数，可能比它多，也可能比它少。2）体系的自由度与其超静定次数无关。3）体系的自由度决定了结构动力计算的精度。4）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度，动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。113. 有限单元法有限单元法 先把结构

6、划分成适当（任意）数量的单元；先把结构划分成适当（任意）数量的单元； 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作为广义坐标；为广义坐标； 对每个广义坐标取相应的位移函数对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；（插值函数）； 由此提供了一种有效的、标准由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标化的、用一系列离散坐标表示无限自由度的结构体系。表示无限自由度的结构体系。要点：要点： 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。12单自由度体系动力分析的重要性单自由度体系动力分析的重要性具有

7、实际应用价值，或进行初步的估算。多自由度体系动力分析的基础。自由振动(固有振动)：振动过程中没有干扰力作用，振动是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。10-2 单自由度体系的自由振动13一、自由振动微分方程的建立（依据原理：达朗贝尔原理）mkky(t)y(t)m1、刚度法ymky从力系平衡角度建立的自由振动微分方程2、柔度法从位移协调角度建立的自由振动微分方程 取振动体系为研究对象，惯性力：=1/k.my.my.myfI.10-2 单自由度体系的自由振动14二、自由振动微分方程的解)(mkw)sin()(awtatysincos)(00wwwtvtyty)0(020yCyycossi

8、n)(21wwtCtCtyy(t)ty0y0y(t )tv0/v0/TtaaT/)(0akyym .02yyw.)0(010wvCvy .15)sin()(awtatysincos)(00wwwtvtyty001vytgwa22020,vyaw0cosavw0sinayasincoscossintatawawa振幅:初始相位角:三、结构的自振周期)sin()(awtaty)2(wty)2(sin(awwta)2sin(awta周期函数的条件: y(t+T )=y(t )sin()(awtaty是周期函数,且周期是:w2T频率: w21Tf每秒钟内的振动次数.圆频率: fTw222秒内的振动次数

9、.无阻尼自由振动是简谐振动16自振周期计算公式的几种形式：gstD2gWd2md2km2T w2圆频率计算公式的几种形式：stgDWgdmkwmd1其中是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。k使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。st=W在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移。计算时可根据体系的具体情况，视、 k、 st 三则中哪一个最便于计算来选用。一些重要性质：（1）自振周期与 且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅 a。（2）自振周期与质量的平方根

10、成正比，质量越大，周期越大（频率于小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率于大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。（3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。W是质是质点的重力点的重力17例1：图示三根单跨梁，EI=常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三则者的自振频率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1）求EIl4831dP=13l/165l/32P=1l/2EIlllllEIl7687)325216322(6132

11、1dEIl768732dEIl19233d311481mlEImdw32277681mlEImdw3331921mlEImdw据此可得：1 2 3= 1 1.512 2 结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。18l/2l/2ml/2l/2k1ACB3396)2/(12lEIlEIQCB3396)2/(12lEIlEIQCAQCAQCB3192lEIQQkCBCA3192mlEImkw例例2:求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。EIEIEI1=mlh13EI/h26EI/h26EI/h2k12EI/h33EI/h3315hEIk315mhEImkw19274l272l9l113

12、lEIlllllEIl43745)9327432(613311d311543741mlEImdwl/32l/3m例例3例例4l/2lm12lEIlllllllEI8)3222212322221(1311d31181mlEImdw201例例5解法1：求 k=1/hMBA=kh = MBCk1hmI=EIBAClhEIlEI33lmhEImk2113w23lhEIk1h解法2：求 EIlhhlhEI33221211d21131mlhEImdw21例例6lEImk1k11k11k33lEI解：求 k3113lEIkkmkmklEI3311w对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果让振动体系沿振动方向发

13、生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方便。312lEI一端铰结的杆的侧移刚度为：33lEI两端刚结的杆的侧移刚度为：22对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方便。312lEI一端铰结的杆的侧移刚度为：33lEI两端刚结的杆的侧移刚度为：23 强迫振动（受迫振动）：结构在荷载作用下的振动。ky(t)ymkyP(t )mP(t )P(t )m弹性力ky、惯性力和荷载P(t)之间的平衡方程为:单自由度体系强迫振动的微分方程my.)(.)(atPkymy.my

14、.10-3 单自由度体系的强迫振动24 1、简谐荷载：tmFtAwsinsin)(22tmFtAtAwsinsinsin22tAysin)(22wmFAtytmFystwwwsin)1 (1sin)1 (22222dwFmFyst2单自由度体系强迫振动的微分方程特解：.mtFyywsin2.10-3 单自由度体系的强迫振动25最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移）。tyystwsin1122特解可写为：通解可写为：tytCtCystwwwsin11cossin2221设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：0,12221CyCstww)sin(sin1122ttyy

15、stwww过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）按自振频率振动按荷载频率振动26平稳阶段：tyystwsin1122最大动位移（振幅）为：22max11wstyy22max11wstyy动力系数为：1023123w重要的特性：f当/0时,1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。f当0/1，并且随/的增大而增大。f当/1时,。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75/1时,的绝对值随/的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。27 当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各截面的内力、

16、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的动内力和动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可。 例：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1 求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩。2mEImkPsint2m解：1)求kEIl212148321dddEIlEIlEIl192519248333d131116.13451921smlEImdw2)求552. 11122wmEIlPPy35333max1075. 51090192451020552. 11925d3)求ymax, MmaxmkNlPM.04.314205

17、52. 141)(41max28 例 17-3 有一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psint。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。梁长l=4m. 解：1）求自振频率和荷载频率 SQlEIg13434 .57400359807480101 . 24848Sn13 .526050014. 326022）求动力系数88. 54 .573 .5211112222wEIPlEIQlystst

18、484833maxDDWlPQWPlWQl4)(44maxstgDw175.6MPa 必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。I22b3570cm4357039.739.71.35可见，对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。52.3/57.4=0.91325149.2292、一般荷载一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的动力反应来推导c瞬时冲量的动力反应设体系在t=0时静止，然后 有瞬时冲量S作用。P(t)tP瞬时冲量S引起的振动可视为由初始条件引起的自由

19、振动。由动量定理：tPSmvD00mtPmSvD000yt tmStywwsin)( t ttttmStywwsin)()(sinwwtmSsincos )(00wwwtvtyty30c任意荷载P(t)的动力反应P(t)tDdPdS)(时刻的微分冲量对t瞬时(t )引起的动力反应:)(sin)(wwtmdPdy初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移公式:wwdtPmtyt)(sin)(1)(0(Duhamel 积分)（17-15）初始位移y0和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式:wwwwwdtPmtvtytyt)(sin)(1sincos)(000t31c几种荷载的动力反应

20、1）突加荷载 tPttP当当,0, 0)(0P(t)tPwwdtPmtyt)(sin)(1)(0wwdtPmtyt)(sin1)(00)cos1 ()cos1 (20tytmPstwwwyst=P0=P0/m2ysty(t)t023质点围绕静力平衡位置作简谐振动2)(maxstytyystyst322）短时荷载 ututPttP, 00,0, 0)(0P(t)tPu阶段(0tu)：无荷载，体系以t=u时刻的位移 和速度为初始条件作自由振动。)cos1 ()(uyuystwuyuvstwwsin)(sincos )(00wwwtvtyty)(sinsin)(cos)cos1 ()(utuyutu

21、ytyststwwww)cos)(costutystww或者直接由Duhamel积分作wwdtPmtyt)(sin)(1)(0wwdtPmtyu)(sin1)(00)cos)(cos20tutmPwww)2(sin2sin2utuystww33另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。P(t)tPP(t)tPuP(t)tPu)cos1 ()(tytystw)(cos1 ()(utytystw当0 u)cos1 ()(tytystw)(cos1 (utystw)cos)(costutystww)2(sin2sin2utuystww34单自由度体系的强迫振动(无阻尼)1、简谐荷载稳态反应：tyy

22、stsinm tFyywsin2.2wdmFFyst荷载幅值引起的静位移2211w动力系数位移稳态反应为与动荷载同频率的简谐振动。两者同时达到幅值。ymtmymyIst22sin:惯性力惯性力与位移同方向同时达到幅值。stymI2max动内力计算：当动荷载作用在质点且与质点运动方向一致时，内力动力系 数与位移动力系数相同。动内力幅值为：Md=Mst Mst是动荷载幅值引起的静内力。 当动荷载不作用在质点或与质点运动方向不一致时，内力动力 系数与位移动力系数不相同。需先求出惯性力幅值，将其作用 在质点上，与动荷载幅值共同作用，按一般静力计算方法求内 力。35一般荷载作用下的动力反应利用瞬时冲量的

23、动力反应推导wwdtPmtyt)(sin)(1)(0(Duhamel 积分)（17-15）1）突加荷载 tPttP当当,0, 0)(0P(t)tP)cos1 ()(tytystwyst=P0=P0/m2质点围绕静力平衡位置作简谐振动2)(maxstytyysty(t)t023ystyst362）短时荷载 ututPttP, 00,0, 0)(0P(t)tPu阶段(0tu)：20wmPyst)2(sin2sin2)(utuytystww37ysty(t)t023T最大动反应1）当 u T/2 最大动位移发生在阶段)cos1 ()(tytystwstyy2max2）当 u T/2 最大动位移发生在

24、阶段=2)2(sin2sin2)(utuytystww2sin2maxuyystw2sin2uw21, 221,sin2TuTuTu当当Tu1/611/22动力系数反应谱(与T 和之间的关系曲线)383）线性渐增荷载 rrrttPttttPtP当当,0,)(00P(t)tP0tr这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求:rrrstrrstttttttytttttyty当当,)(sinsin11,sin)(wwwww 对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有很大的关系。其动力系数的反应谱如下：3901.02.03.04.0TtrtrP0动

25、力系数反应谱动力系数介乎1与2之间。如果升载很短，tr4T,则接近于1,即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。40ty 钢筋混凝土楼板自由振动试验曲线 因为在振幅位置结构的变形速度为零（动能=0），故在振幅位置的变形势能就代表体系全部机械能。振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗。 振动过程中引起能量损耗的因素称为阻尼。阻尼对振动的影响41忽略阻尼影响时所得结果 能不能 反映实际结构的振动规律。大体上大体上忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振

26、幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。f产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内 摩擦；周围介质的阻力。f阻尼力的确定：总与质点速度反向;大小与质点速度有如下关系： 与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 与质点速度无关（如摩擦力）。f粘滞阻尼力的分析比较简单，(因为 R(t)=Cy ).其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。42f考虑阻尼的振动模型ykykmP(t )P(t )y动平衡方程：1、有阻尼的自由振动wwmcmk2,( 阻尼比）)1(2wl0222wwll)( ltCety设解为：特征方程为：1)1（低

27、阻尼）情况21wwwwlrri其中tCtCeyrrtwwwsincos21tyvtyeyrrrtwwwwwsincos000c)2317(.022yyyww.)2217(.)(tPkycymy.cy.my.43000220020)()sin(yvytgyvyataeyrrrtwwawwawwae-ttyty低阻尼y- t曲线无阻尼y- t曲线阻尼对自振频率的影响.而随www,12r 当0.2,则0.96r/1在工程结构问题中0.011 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。2、有阻尼的强迫振动单独由v0引起的自由振动：（低阻尼体系，1）瞬时冲量dS=Pdt=v0m所引起的振动，可视为 以v0=P

28、dt/m， y0=0为初始条件的自由振动：tveyrrtwwwsin0tmPdteyrrtwwwsin将荷载P(t)的加载过程 看作一系列瞬时冲量举例)(sin)()(wwwtemdPdyrtr总反应wwwdtemPtyrttr)(sin)()()(0tyvtyerrrtwwwwwsincos000P(t)tddPdS)(t1=cr47（1）突加荷载P0)sin(cos1 )(20ttemPtyrrrtwwwwww低阻尼y- t曲线无阻尼y- t曲线ysty(t)t02345y(t)t02345静力平衡位置具有阻尼的体系在突加荷载作用下，最初所引起的最大位移接近于静位移yst=P0/m2的两倍

29、，然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡位置。48（2）简谐荷载P(t)=Fsint设特解为：y=Asint+Bcost 代入（17-34）得：222222222222224)(2,4)(wwwwwwmFBmFAsincos21tCtCeyrrtwww+Asint+Bcost齐次解加特解得到通解：自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时间而变.结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。y=Asint+Bcost=y

30、Psin(t)21122222222)(1)(2,4121wwawwtgABtgyBAystP振幅:yp，最大静力位移yst=F/k=F/m2stPyy2122222241ww)3417(sin22tmFyyyww.tytyppaacossinsincos49stPyy2122222241ww动力系数与频率比/和阻尼比有关4.03.02.01.001.02.03.0/=0=0.1=0.2=0.3=0.5=1.0几点讨论：随增大曲线渐趋平缓， 特别是在/=1附近的 峰值下降的最为显著。当接近时，增加的 21 共振时共振时 很快，对的数值影响 也很大。在0.75/1.25 (共振区)内，阻尼大大地减 小了受迫振动的位移，因此, 为了研究共振时的动力反映, 阻尼的影响是不容忽略。在 共振区之外阻尼对的影响 较小，可按无阻尼计算。50max并不发生在共振/=1时， 而发生在， 由y=yPsin(t) 可见， 只要有阻尼位移总滞后荷载 P=Fsint一个 相位角， w2112112ma