生活中的优化问题举例

1、3.4生活中的优化问题举例温故知新1. 在区间上的最大值是（ ）A. -2 B. 0 C. 2 D. 4【答案】C【解析】，令可得0或2（2舍去），当10，当01时，0，所以当0时，（）取得最大值为2.2.设M，m分别是函数在上的最大值和最小值，若，则A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定【答案】A【解析】因为，所以为常数函数，故.互动课堂知 识 构 建知识点一 利用导数解决生活中的实际问题1.在生产实践及科学实验中，常遇到质量最好、用料最省、效益最高、成本最低、利润最大、投入最小等问题，这些问题通常称为优化问题.2. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：（1）分析实际问题中各量之

2、间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系；（2）求函数的导数，解方程；（3）比较函数在区间端点和使的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值.【疑难点拨】1.在求实际问题的最大值、最小值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去，在写函数的解析式时要注明函数的定义域；2.在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值； 3.利用导数解决优化问题的基本思路：建立数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案要 点 探 究类型一 关

3、于面积、体积的最值问题例1如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值【思路】根据题意建立坐标系，确定梯形的高，得到面积表达式，然后再借助于导数求其最值.【解析】（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为点的纵坐标满足方程，解得，其定义域为（II）记，则令，得因为当时，；当时，所以是的最大值因此，当时，也取得最大值，最大值为即梯形面积的最大值为【点评】在求有关面积、体积最大值问题时，应先从文字信息中找出相关量

4、（如边长、半径等），列出表达式，进而利用导数求解. 类型二 用料最省问题例2（2009湖南卷）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元. （）试写出关于的函数关系式； （）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？【思路】 弄懂题中所涉及问题中的余下工程费用的组成由桥墩和桥面组成，将桥墩与桥面的费用分别表示出即可.【解析】 （）设需要新建个桥墩，,所以 =. （） 由（）知， 令，得，

5、所以=64, 当064时0. 在区间（64，640）内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小.【点评】解决实际优化问题时，要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示的同时，还要确定关系式中自变量的定义区间.类型三 利润最大问题例3（2009汉沽一中月考文）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元，销售价是元，月平均销售件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）.()写出与的函数关系式；()改进工艺后，确定

6、该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.【思路】收入减去成本可得出利润函数，再用导数求最大利润【解析】 ()改进工艺后，每件产品的销售价为，月平均销售量为件，则月平均利润（元），与的函数关系式为 . ()由得，（舍）, 当时；时， 函数 在取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.【点评】在实际问题中，遇到函数在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值.当堂体验1.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】

7、设高hcm,底半径为rcm,+=400.又体积V=h， 则V=（400-）h，令=0，得唯一极值点h=.2.进货原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出。已知这种商品每个涨价一元，其销售数就减少20个，所获得利润最大时售价应为 （ ）90 95 100 105 【答案】A【解析】 设售价为元时利润为，此时售量为当时，（元）。即售价为95元时获利最大，其最大值为4500元.3. 若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（ ）【答案】A【解析】对称轴，直线过第一、三、四象限.4.用以长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地面积最大值为 .【答案】16 【解析】设矩形长

8、为xm,则宽为（8-x）m, 矩形面积s=x(8-x) (0x8)， 令=8-2x=0,得x=4，所以=16（）.课时作业一、选择题1内接于半径为R的圆的矩形，周长最大值为（ ）A. 2R B. 3R C. 4R D. 4R【答案】D A【解析】设矩形边长为a,b.ABC=,则 周长L=4R(sin+cos) (00),为使利润最大，应生产（ ） A9千台 B8千台 C6千台 D.3千台【答案】C【解析】.3.欲制作一个容积为立方米的圆柱形储油罐（有盖），为能使所用的材料最省, 它的底面半径与高分别为 ( )底面半径为0.5米，高为1米 底面半径为1米，高为1米 底面半径为1米，高为2米 底面

9、半径为2米，高为2米【答案】C【解析】设圆柱的底面半径为，高为，表面积为，则由题意有：， 且，则，令，得.当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 所以，当时，函数有极小值也是最小值（平方米），所以当底面半径为1米，高为2米时，所用材料最省. 4.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元。如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人(不到100人不组团),要使旅行社的收费最多?, 旅游团组团人数为 ( ) 130； 140； 150； 160【答案】C【解析】设参加旅游的人数为x，旅游团收费为y 则依题意有

10、=1000x-5（x-100）x （100x180） 令得x=150又， ，所以当参加人数为150人时，旅游团的收费最高，可达112500元.由于参加旅游的人数x为整数，即函数不连续，不适合采用求导数的方法解决本题.二、填空题5.要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为 .【答案】1800m3【解析】设长为，则宽为，仓库的容积为V则，令得，当时，；当时，时，.6. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积为最大，则其高应为_.【答案】【解析】 kh20设圆锥底面半径为r，高为，则，圆锥体积一天，令得，当时，；时，时，V最大，当应填.三、解答

11、题7.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时，利润L最大？【解析】收入，利润，令，即，求得唯一的极值点答：产量为84时，利润L最大8.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？【解析】设船速度为时，燃料费用为元，则，由可得，总费用，令得，当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，当时，取得最小值，此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小 选做题9.设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知，其中温度的单位是，时间的单位是小时中午12:00相应的t=0，中午12:00以后相应的t取正数，中午12:00以前相应的t取负数（如早上8：00相应的t=-4，下午16：00相应的t=4）若测得该物体在早上8:00的温度为8，中午12:00的温度为60，下午13:00的温度为58，且已知该物体的温度早上8:00与下午16:00有相同的变化率.（1）求该物体的温度T关于时间t的函数关系式；（2）该物体在上午10:00到下午14:00这段时