2022-2023学年福建省厦门某中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省厦门一中八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共9小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列各组数中能作为直角三角形三边长度的是（）

A.1,2,3B,2,3,4C.3,4,5D.4,5,8

2.下列二次根式中是最简二次根式的是（）

A.V03B.V7C.V12D.

3.华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数

法表示为（）

A.7xIO"B.7xI。-，c.0.7x10-9D.0.7x10-8

4.下列计算正确的是（）

A.（—a）2=—a2B.a4-r-a=a4C.2a2+a2=3D.a3-a4=a7

5.如图，长方形4BC0的顶点4,B在数轴上，点4表示-1,DC

AB=3,4。=1.若以点4为圆心，对角线4c长为半径作弧，

-2-I0I23

交数轴正半轴于点M,则点”所表示的数为（）

A.V10-1B.V10C.V10+1D.V10+2

6.一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从4城到8城需t小时，如果该车的速度每小时增加"千

米，那么从4城到8城需要小时.（）

A驯R6°，c—^―D—

vv+60jv+60-60

7.如图，在△ABC中，AB=AC,乙4=120。，如果。是BC的中点，DE1AB,垂足是E,

那么AE：BE的值等于（）

8.如图，在平面直角坐标系中，4（1,0）,8（0,2）,BA=BC,

^ABC=90°,则点C的坐标为（）

A.（2,4）

B.（3,2）

C.(4,2)

D.(2,3)

9.如图，在△ABC中，乙4=120。，48=47=2旧51，点「从点8开始以1。6/5的速度向

点C移动，当A/BP为直角三角形时，则运动的时间为()

A.3sB.3s或4sC.1s或4sD.2s或3s

二、填空题(本大题共9小题，共36分)

10.计算下列各题：

化简：①5°=—;

②3-2=_；

③(-2a)2-_；

⑤脩尸=_；

⑥g=一；

⑦心一；

@(x-1)(%+2)=—.

11.分解因式：

①/y-9y=一；

(2)—m2+4m-4=__.

12.若代数式疝=！有意义，贝卜的取值范围是.

13.一个多边形的内角和是720。，这个多边形的边数是

14.若分式占的值为0,则实数x的值为.

15.如图，在直角坐标系中，4D是RM04B的角平分线,

已知点。的坐标是(0,—4),48的长是14,则△力BD的面积

为一.

16.已知关于x的方程导=3的解是负数，则m的取值范围为一.

17.如图，D是等边三角形4BC中B4延长线上一点，连接CD,E是BC上

一点，且DE=DC,若BD+BE=63CE=273，则这个等边三角形

的边长是.

18.如图，RtaABC中，ZC=90°,BC>AC,以4B,BC,AC三边为边长的三个正方形面

积分别为S1，S2,S3.若△48C的面积为7,Si=40,则S2-S3的值等于—.

三、解答题(本大题共9小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(本小题分)

计算：

(1)V24-V18XJi;

(2)(2%+y)2—(x+y)(x—y).

20.(本小题分)

(1)先化简再求值：W+(-三—1),其中x=2.

x+27+2,

(2)解方程：芸+;=1.

21.(本小题分)

如图，在△4BD和△4CD中，4B=4C,BD=CD.

⑴求证：AABD^&ACD；

(2)过点。作DE〃/1C交4B于点E,求证：A/IED是等腰三角形.

22.(本小题分)

如图AABC的三个顶点的坐标分别是4(1,3),8(2,1)，c(4,2).

(1)点4,B,C关于x轴对称点的坐标分别为4—,当—，6—,在图中画出△ABC关

于x轴对称的△力iBiG；

(2)△ABC面积等于—.

次

23.(本小题分)

在A4BC中，4。垂直平分BC,点E在BC的延长线上，且满足4B+B0=0E,求证：点C在

线段4E垂直平分线上.

BDCE

24.(本小题分)

如图，已知RtAABC,NC=90。，

(1)用尺规作图法在线段4c上求作一点D,使得。到AB的距离等于DC(不写作法保留作图痕迹

)；

(2)若4B=5,BC=3,求AD的长.

25.(本小题分)

南山区某道路供水、排水管网改造工程，甲工程队单独完成任务需40天，若乙队先做30天后，

甲乙两队一起合作20天就恰好完成任务.请问：

(1)乙队单独做需要多少天才能完成任务？

(2)现将该工程分成两部分，甲队用了x天做完其中一部分，乙队用了y天做完另一部分，若工、

y都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到70天，那么，两队实际各做了

多少天？

26.(本小题分)

阅读下面的情景对话，然后解答问题：

老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.

小华：等边三角形一定是奇异三角形/

小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？

(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角

形"，是真命题，还是假命题？

(2)在Rt△力BC中，两边长分别是a=5近、c=10,这个三角形是否是奇异三角形？请说明

理由.

(3)在中，ZC=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若Rt△ABC是奇异三

角形，求a：b：c的值.

27.(本小题分)

(1)如图1,在4ABC中，点。，E,F分别在边BC,AB,AC上，乙B=乙FDE=zC,BE=DC.求

证OE=DF；

(2)如图2,在△ABC中，BA=BC/B=45。，点分别是边BC、AB上的动点，且4F=2BD,

以DF为腰向右作等腰△£>£1/,使得DE=DF,NEDF=45。，连接CE.

①试猜想线段DC,BD,BF之间的数量关系，并说明理由.

②如图3,己知AC=3,点G是4c的中点，连接E4,EG.求EA+EG的最小值.

答案和解析

1.【答案】c

解：412+22432,不能作为直角三角形三边长度，不符合题意；

8.22+32羊42,不能作为直角三角形三边长度，不符合题意；

C.32+42=52,能作为直角三角形三边长度，符合题意；

D42+52482,不能作为直角三角形三边长度，不符合题意.

故选：C.

直接根据勾股定理的逆定理进行判断即可.

本题考查考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个

三角形就是直角三角形.

2.【答案】B

解：•.•眉=骞，V12=2V3，2=%

10\22

故选:B.

根据最简二次根式的意义求解.

本题考查了最简二次根式，理解最简二次根式的解题的关键.

3.【答案】A

解：0.000000007=7x10-9,

故选：A.

直接用负整数指数科学记数法表示即可.

本题考查了负整数指数科学记数法,对于一个绝对值小于1的非0小数,用科学记数法写成ax10-"

的形式，其中1<|a|<10,n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数(包括小数

点前面的0).

4.【答案】D

解：?l.(-a)2=a2,因此4不正确；

B.a4-T-a-a3,因此B不正确;

C.2a2+a2=3a2,因此C不正确；

D.a3-a4=a7,因此£)正确；

故选：D.

根据同底数基的乘除法，幕的乘方，合并同类项逐项进行判断即可.

本题考查同底数塞的乘除法，箱的乘方，合并同类项等知识，掌握同底数塞的乘除法，嘉的乘方

与积的乘方是得出正确答案的前提.

5.【答案】4

解：•••四边形2BCC是矩形，

4ABC=90°,

"AB=3,AD=BC=1,

•••AC=7AB2+842=V32+l2=V10.

AN=AC=V10,

•••点4表示-1,

:.OA=1,

OM=AM-OA=V10-1,

二点M表示点数为VTU-1.

故选：A.

先利用勾股定理求出AC,根据4C=4M,求出OM,由此即可解决问题.

本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出4C,4M的长.

6.【答案】B

解：4、8两地的距离：60t千米，

从A到B的速度是:(60+吩千米/小时,则

A城到B城需要的时间是：畸小时.

v+60

故选:B.

根据路程、速度、时间之间的关系式得出从4城到B城可少用的时间即可.

本题考查了列代数式，注意路程、速度、时间之间的关系式：时间=震.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查的是直角三角形的性质，在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半.

连接力D,根据直角三角形的性质得到AE=^AD,得到=结合图形得到答

224

案.

【解答】

解：连接4D,

■：AB=AC,乙4=120。，点。是BC的中点,

•••ABAD=60°,NB=30°,

AD="B,

vDE1AB,

・•.Z,ADE=90°-乙BAD=30°,

1

2-

1

4-

•••AE：BE=g,

故选：A.

8.【答案】。

解：过点C作COLy轴于D,如下图:

由题意可得：OA=1,OB=2,Z.CDB=/.ABC=90°,

・•・/.OBA+乙OAB=Z-OBA+乙DBC=90°,

:.Z-DBC=Z-OAB,

XvAB=BC,

OAB=^DBC(i44S),

OA=DB=1,OB=DC=2,

.・・OD=3,

.••点C的坐标为(2,3).

故选：D.

过点C作CCly轴于。，通过证明△04B三△CBC,求得BD、CD的长度，即可求解.

此题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与

性质.

9.【答案】B

解：过点4作力H1BC于点H,如图所示：

在△力BC中，Z.A—120°,AB=AC=2V3cm>

:.乙B=Z.C=30°,

二AH=遍cm，

根据勾股定理，得BH=3cm,

当AABP为直角三角形时，分两种情况：

①当点P运动到点H时，AAPB=90°,

此时运动时间为3+1=3(s),

②当点P运动到4B4P=90。时，

•••4B=30°,

BP=2AP,

在RtzMBP中，根据勾股定理，^AP2+AB2=(2AP)2,

解得4P=2cm,

BP=4cm,

此时运动时间为4+1=4(s),

综上所述，满足条件的运动时间有3s或4s,

故选:B.

过点4作于点H,根据等腰三角形的性质和含30。角的直角三角形的性质可得的长，进

一步可得的长，当△力BP为直角三角形时，分两种情况：①当点P运动到点H时，^APB=90°；

②当点P运动到NBAP=90。时，分别求解即可.

本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，动点问题，熟练掌握含30。角的直角三角形的

性质是解题的关键，注意分情况讨论.

10.【答案】114a2一1笄2次彳X2+X-2

解：①原式=1.

②原式=".

③原式=4a2.

④原式=芸=一1-

⑤原式=里.

b

⑥原式=2V3.

⑦原式=苧

⑧原式=x2+2x-x—2

=x2+x—2.

故答案为：①1.②2.③4a2.④-1.⑤学.⑥26.⑦浮⑧支2+%—2.

①根据零指数基的意义即可求出答案.

②根据负整数指数累的意义即可求出答案.

③根据积的乘方运算即可求出答案.

④根据分式的加减运算法则即可求出答案.

⑤根据积的乘方运算即可求出答案.

⑥根据二次根式的性质即可求出答案.

⑦根据二次根式的性质即可求出答案.

⑧根据多项式乘多项式法则即可求出答案.

本题考查零指数幕的意义、负整数指数幕的意义、积的乘方运算、二次根式的性质、多项式乘多

项式法则，本题属于基础题型.

11.【答案】y(x+3)(x-3)-(m-2)2

解：①原式=y(/-9)

=y(x+3)(x-3)；

②原式=—(m2—4m+4)

=—(m—2)2.

①原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；

②原式提取-1,再利用完全平方公式分解即可.

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

12.【答案】%>2

解：•.•代数式V7=1有意义，

x-2N0,

X>2.

故答案为XN2.

根据式子仿有意义的条件为a>0得到x-2>0,然后解不等式即可.

本题考查了二次根式有意义的条件：式子仿有意义的条件为a>0.

13.【答案】6

【解析】

【分析】

本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为(n-2)x180。解答.

根据内角和定理180。•(n-2)即可求得.

【解答】

解：•••多边形的内角和公式为5-2)•180。，

•••(n-2)X180°=720°,

解得n=6,

•••这个多边形的边数是6.

故答案为：6.

14.【答案】1

解：由题意，得

x2—1=0,且x+1力0,

解得，%=1.

故填：L

分式的值等于零：分子等于零，且分母不等于零.

本题考查了分式的值为零的条件.分式的值为0的条件是：(1)分子为0:(2)分母不为0.两个条件

需同时具备，缺一不可.据此可以解答本题.

15.【答案】28

解：过点。作DE14B于点E,如下图:

由题意可得：。。=4,

vAD平分N04B,£.00A=/.DEA=90°,

DE=OD-4,S^ABD—"BXDE=28.

故答案为：28.

过点。作DEJ.AB于点E,根据角平分线的性质可得，DE=OD=4,即可求解.

此题考查了角平分线的性质，图形与坐标，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，作出辅助线.

16.【答案】m<一6且m4-2

解：原方程渭=3,

解得x=*±2

2

因为工+2H0,即X。—2,

因为解是负数，即XV0,

所以m+6>0,m<—6

所以的取值范围是血<一6且mH-2.

故答案为：m<—6且mH—2.

先根据原方程解得方程的解，再根据分式方程的解是负数，以及分母不为0,即可求解.

本题考查了分式方程的解，根据分式方程的解是负数，容易求出其中字母系数的取值范围，但需

要特别注意的是要把在这个范围内使分式的分母为零的字母系数的值排除，这也是大部分学生的

出错点.

17.【答案】竽

解：法一：过点。作DFLBC,垂足为F.

4BC是等边三角形，DE=DC,

•••NB=60°,CF=EF==遮.

乙BDF=90°一乙B=30°.

BF=^BD

=1(6A/3-5E)

=373-^£.

vBE+EF=BF,

：.BE+痘=3V3-ifiE.

BE=^V3.

・•・BC=BE4-CE

=^V3+2V3

_10V3

-------.

3

故答案为：竽.

法二：过点4作4M•!BC于点M,过点。作ON_LBC于点N.

D

ABC是等边三角形，DE=DC,

:.BM=^BC,CN=3CE=由7i\\

"AMIBC,DN1BC,//i\\

••AM//DNB1」“RC

BA_BM

‘•丽二丽

设84的长为x,则BN=x-V3,BE=x-2相

■：BD+BE=6g,

BD=6y/3-BE=8^3-x

l

...%x_2x

8V3—xx—V5

解得久=竽.

故答案为：竽.

过点。作DF1BC,垂足为F.先用等腰三角形的“三线合一”及含30。角的直角三角形求出CF、EF、

BF,再根据BE+EF=BF列出含BE的方程并求出BE,最后求出等边三角形的边长.

本题考查了等腰三角形、等边三角形的性质等知识点.解决本题亦可在4B上截取BQ=BE,得等

边ABEQ,证明△AOC三QE。得4。=BE,再计算出等边三角形的边长.

18.［答案］4V51

222

解：根据题意，Si=AB=40,S2=BC,S3=AC,

22

•••s2-s3=BC-AC=(BC+AC)(BC-AC},

在RMABC中，

根据勾股定理，BC2+AC2=AB2,

BC2+AC2=40,

SRBABC=7，

BC-AC=7,

:.BC-AC=14,

•••BC+AC=J(BC+AC)2

\/BC2+AC2+2BC-AC

=V40+2x14

=2V17.

BC-AC=y/BC2-2BC-AC+AC2

=V40-2x14=2百，

(BC+AC)(BC-AQ=2V17X2^3=4同，

即S2-S3=4>/51，

故答案为：4V51.

结合正方形面积公式，平方差公式，勾股定理，三角形面积公式，可知S2—S3=BC2—AC?=(8C+

AC)(BC-AQ,BC2+AC2=40,BC-AC=14,然后运用完全平方公式(a±fe)2=a2+b2±2ab

求解即可.

本题考查勾股定理与三角形、正方形的面积，完全平方公式与平方差公式的灵活应用，掌握并熟

练应用勾股定理和各类公式是解题的关键.

19.【答案】解：(1)侬J

=2V6—V6

=>/6；

(2)(2x+y)2-(%+y)(x-y)

=4x2+4xy+y2-x2+y2

=3x2+4xy+2y2.

【解析】(1)先算乘法，再合并同类二次根式即可；

(2)根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可.

本题考查二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关

键.

20.【答案】解：(1)原式=宜陪退+?U

_(x+l)(x-l)x+2

-x+2-x-1

=-Q-1)

=—%4-1,

当x=2时,

原式=-2+1=-1.

x(x—5)+2(%—1)=x(x—1),

%2—5%4-2%—2=%2—%,

-2x=2,

x=-1,

经检验，％=—1是原方程的解.

【解析】(1)根据分式的乘除运算法则以及加减运算法则进行化简，然后将工的值代入原式即可求

出答案.

(2)根据分式方程的解法即可求出答案.

本题考查分式的乘除运算以及分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则、乘

除运算法则以及分式方程的解法，本题属于基础题型.

21.【答案】证明：(1)在△ZB。和△4C0中，

AB=AC

AD=AD,

BD=CD

•••△4BD"4CD(SSS)；

(2)•••△480三△ACO,

:.Z-BAD=Z.CADy

vDE//AC,

・•・Z-EDA=乙DAC,

:.Z-EDA=乙BAD,

:.AE=DE,

・••△40E是等腰三角形.

【解析】(1)由“SSS”可证△48。三△ACD；

(2)由全等三角形的性质可得=由平行线的性质可得=即可求解.

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的

关键.

22.【答案】(1,-3)(2,-1)(4,-2)|

解：(1)由关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得：&(1,-3),

为(2,-1),6(4,一2)：

如图所示，△&B1Q即为所求；

故答案为：&(1,一3),%(2,-1),(4,-2)；

r-

(2)解：SAABC=3x2-ix3xl-|x2xl-ix2xl=1.

故答案为：|.

(1)根据关于支轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标

互为相反数，即可得出结论，再进行连线即可得到△4&C1；

(2)用割补法求解即可.

本题考查坐标与图形变化-轴对称，，以及三角形的面积.熟练掌握轴对称的性质是解题的关键.

23.【答案】证明：•••4。垂直平分BC,

・•・BD=DC,AB=AC,

又•・・AB+BD=DE,

・•・AC+DC=DE.

又DE=DC+CE,

:.AC=CE,

•••点C在线段AE的垂直平分线上.

【解析】根据4。垂直平分BC,可以得到B0=OC,AB=AC,根据等量代换可得4C=CE,进而

可证明.

本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质.

24.【答案】解：(1)如图所示，点。即为所求.

(2)vZ.C=90°,AB=5,BC=3,

.*•AC=y/AB2—BC2=4.

由(1)得，BD为NCB/的平分线，

:.(DBC=乙DBE.

过。作DEIAB,垂足为E,

:.乙DEB=ZC=90°.

在△BCD和△BED中，

(Z.DBC=乙DBE,

ZC=乙DEB,

(DB=DB,

•••△BCZ»BED(44S),

.•・BE=BC=3.

・•・AE=2.

设=则DE=DC=4-％.

在Rt△/1)£1中，22+(4-X)2=X2,

解得%=|.

4。的长为|.

【解析】(1)根据角平分线的性质即可用尺规作图法在线段ZC上求作一点D,使得。到AB的距离等

于。C；

(2)利用勾股定理求出4c.证明△BCDNABEDNAS'),得到BE=BC=3,从而求出4E,在Rt△ADE

中，利用勾股定理列出方程，解之即可.

本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌

握角平分线的性质.

25.【答案】解：(1)设乙工程队单独做需要x天完成任务，由题意，得

片X30+扁)x20=l,

解得：x=100,

经检验，x=100是原方程的根.

答：乙工程队单独做需要100天才能完成任务；

(2)根据题意得行+痂=1.

整理得y=100-|x.

vy<70,

5

X<

1002-70.

解得%>12.

又•••x<15且为整数，

:*x=13或14.

当x=13时，y不是整数，所以x=13不符合题意，舍去.

当x=14时，y=100-35=65.

答：甲队实际做了14天，乙队实际做了65天.

【解析】（1）设乙工程队单独做需要x天完成任务，由甲完成的工作+乙完成的工作量=总工作量建

立方程求出其解即可；

（2）根据甲完成的工作量+乙完成的工作量=1得x与y的关系式；根据x、y的取值范围得不等式，

求整数解.

此题考查分式方程的应用及不定方程求特殊解，综合性强，难度大.

26.【答案】解：（1）设等边三角形的边长为a,

•­•a2+a2=2a2,

•••等边三角形一定是奇异三角形，

“等边三角形一定是奇异三角形"，是真命题；

（2）①当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；

②当b为斜边时，Rt△力BC是奇异三角形；理由如下：

分两种情况：

①当c为斜边时，6=Vc2-a2=5>/2>

••a=b,

：.a2+c2*2b2（或扭+©2丁2a2）,

Rt△4BC不是奇异三角形.

②当b为斜边时,b=Vc2+a2=5n，

Va2+b2=200

•••2c2=200

a2+b2=2c2

二Rt^ABC是奇异三角形.

(3)在RtAABC中，a2+b2=c2,

c>b>a>0

A2c2>a2+b2,2a2<b2+c2,

Rt^ABC是奇异三角形，

:.a2+c2=2b2,

■-2b2=a2+(a2+62),

•••b2=2a2,

b=y/2a

•­•c2=a2+b2=3a2,

•••c=V3a

•••a：b：c=1：V2：V3.

【解析】(1)根据题中所给的奇异三角形的定义容易得出结果；

(2)分c是斜边和b是斜边两种情况，再根据勾股定理判断出