2020届云南省曲靖市高三年级第一次教学质量检测数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 1919 页2020 届云南省曲靖市高三年级第一次教学质量检测数学(理)试题、单选题21 1 .设A x x 1,B xx x 2 0，则(CRA) IB()A A.x x1B B.x1 x 1C C.x 1x1D D.x 1 x 2【答案】B B【解析】 先求集合 B,B,再利用补集及交集运算求解即可【详解】由题得CRA x|x 1, B B x|x| 1 1 x x 22，所以CRA I B x| 1 x 1. .故选B. .【点睛】本题考查集合的运算，二次不等式求解，准确计算是关键，是基础题2 2已知复数 z z 满足(1 i)z |一3 i |，其中 i i 为虚数单位，

2、则复数 z z 在复平面内对应点所在的象限为()【答案】D D【解析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：因为(1 i)z |i |复数 z z 在复平面内对应的点的坐标为1, 1在第四象限,故选：D.D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.rr 1rrrrA.第一象限B B.第二象限C C.第三象限D D .第四象限|3 i|1 i2(1 i)(1 i)(1 i)第2 2页共 1919 页3 3.已知向量a1,b( ,m)，若(ab)(a b)，则实数m的值为()2第3 3页共 1919 页1A A2B32C C

3、12D D三2【答案】D D【解析】由向量的几何意义，因为rrr(a b) (ab)，所以(arrb)舀b) 0,再运用向量积的运算得到参数m的值. .【详解】r r r rr r r rr2因为(a b) (a b)，所以(a b) (a b) 0,所以ar2i3匠b()2m2代入，得出m2，所以m，故选 D.D.242【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于基础题.0 64 4设a log1.10.5,b log1.10.6,c1.1.,则( )A Aa b cB B.b c aC CcabD Db a c【答案】A A【解析】 先利用函数的单调性比较a与b的大小，再利用中间量比较c与a、

4、b大小.【详解】解：因为对数函数y log1.1x在区间0,上单调递增，且0.5 0.6 1,所以a b 0,又1.10.61.10即c 1,所以a b c,故选：A.A.【点睛】本题考察比较大小，属基础题，比较三者的大小时常用中间量(0、1)1)法，属于基础题.5 5我国古代名著九章算术中有这样一段话：今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.”意思是： 现有一根金锤，长 5 5 尺，头部 1 1 尺，重 4 4 斤，尾部()A A6 6 斤和ra将O21 1 尺，重 2 2 斤”若该金锤从头到尾,每一尺的重量构成等差数列,该金锤共重多少斤?B B. 7 7 斤C C9 9 斤D

5、 D1515 斤第4 4页共 1919 页【答案】D D【解析】直接利用等差数列的求和公式求解即可第5 5页共 1919 页【详解】因为每一尺的重量构成等差数列an, a ai4 4 ,a 2,aia56,数列的前 5 5 项和为S55aia55 3 152即金锤共重 1515 斤，故选 D D.【点睛】 本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力,属于基础题【答案】C C玻璃以后强度为y,Q光线强度能减弱到原来的 丄以下,1414 块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的1以下.4故选：C.【点睛】本题考查函数在生产生活中的实际运用，考查函数、对数等基础知识，考查

6、运算求解能6 6 .设光线通过一块玻璃，强度损失10%10%、如果光线原来的强度为k k 0，通过 x x块这样的玻璃以后强度为y y,则yx*10.9xN,那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为（） （参考数据:1g2 0.301 1g3 0.477)A A . 1212B B. 1313C C. 1414D D . 15151 1【解析】推导出 kg0.9kg0.9x-k-k，从而4 4loglog0.90.250.25 loglog104 49lg4lg4lg52lg22lg21 1 2lg32lg3，由此能求出结果.【详解：光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原

7、来的强度为k，通过x块这样的则经过x块这样的玻璃后光线强度为:kgkg.9.9x,x x loglog0.90.250.25loglog 巴4 4lg4lg4775775lglgi i2lg22lg21 1 2lg32lg313.04313.0430.0460.046至少通过第6 6页共 1919 页力，考查函数与方程思想，属于基础题.7 7已知 F F 为抛物线$ =4x4x 的焦点，过点 F F 且斜率为 1 1 的直线交抛物线于 A A, B B 两点，则|FA|FA| - |FB|FB|的值等于()A A8,2B B. 8 8C C4 2D D4 4【答案】C C【解析】将直线方程y

8、x 1代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即 可得出|FAFB|的值.【详解】y24xF F (1 1, 0 0),故直线 ABAB 的方程为 y y = x x - 1 1，联立方程组，可得 x x2- 6x+16x+1 = 0 0,y x 1设A(x1, y y1), B B (X X2, y y2),由根与系数的关系可知x x 什 X X2= 6 6, X X1X X2= 1 1.由抛物线的定义可知：|FA|FA|= X X1+ + 1 1 , |FB|FB| = X X2+1+1 ,|FA|FA|-|FB|FB|= |X|X1-X X2=x1x224x1x234 42故选

9、C C【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.8 8图 1 1 是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1 1 号到 1616 号的同学的成绩依次为A,A2,A16，图 2 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该【答案】A A【解析】先弄清楚程序框图中是统计成绩不低于不低于90分的个数数出来，即为输出的结果.169S1376?2956101 2114A A 1010B B. 6 690分的学生人数，然后从茎叶图中将程序框图输出的结果是()第7 7页共 1919 页【详解】A76,i1,i16成立，A190不成立，i1 1 2;A79,i2,i1

10、6成立，A90不成立，ii 1 1 2;L L LA792,i7,i16成立，A90成立，n0 1 1,i 7 1 8;依此类推，上述程序框图是统计成绩不低于90分的学生人数，从茎叶图中可知，不低于90分的学生数为10，故选 A A.【点睛】本题考查茎叶图与程序框图的综合应用，理解程序框图的意义，是解本题的关键，考查 理解能力，属于中等题.In |x|9 9函数f(x)的大致图象是()x【答案】A A【解析】首先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性, 即可得解. .【详解】解：函数的定义域为x|x 0，且f(X)匕41.止！f(x),Xx所以函数f x是奇函数，图象关

11、于原点对称，故可排除B B ,当x 1时,f(x)ln|x|xIn xxo,故可排除C；In | x |当x 0时，f (x)xIn xx第8 8页共 1919 页1 In xz cx2，显然当x 1时，f x 0,x函数f x是单调递减的，可排除D D,第9 9页共 1919 页故选：A.A.【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的图象的变化趋势是判断函数的图象的常用方法，属于中档题.1010如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体【答案】C C【解析】【详解】试题分析：由题意可知三棱锥的底面是一个直角边为3 32 2 等腰直角三12.12.球

12、的直径2r为以三棱锥的三个两两垂直的棱为长方体长129、13所以点落在四面体内的概率为52 13169. .故选 C.C.13【考点】1.1.三视图的知识.2.2.球的内接几何体.3.3. .概率问题.4.4. .空间想象力. .2 21111已知双曲线M:务 占1(a0,b0)的渐近线均和圆a b29N : x y 6x 50相切，且双曲线 M M 的右焦点为圆 N N 的圆心，则双曲线 M M 的离心率为()A A.B B. -C C. J3D D5 2【答案】A A9A A131B B.139 13169.13169角形，所以三棱锥的体积为宽高的体对角线，即2r42(3.2)2(3 2)

13、22.13所以球的体积为52. 1313第1010页共 1919 页【解析】由题意因为圆N:x2y26x 50把它变成圆的标准方程知其圆心为N的圆心及双曲线的标准方程建立a,b的方程再(3,0)，利用双曲线的右焦点为圆第1111页共 1919 页2 2x y22利用双曲线21(a0,b 0)的两条渐近线均和圆N :x y 6x 5 0相切，a b建立另一个a,b的方程.【详解】 解：圆 N N 的圆心N 3,0，半径r = 2双曲线 M M 的右焦点坐标为3,0，即c 3，则a2b29又/双曲线 M M 的一条渐近线方程为 bxbx ayay 0 0 ,3b3b点 N N 到渐近线的距离等于半

14、径，即一22 2，化得4a25b2a a b b联立解得：a 5,b 2,-该双曲线 M M 的离心率为 e e - - A A. .a V55故选：A.A.【点睛】的思想进行解题，属于中档题.xa21212.已知函数g(x) e x有两个不同极值点，则实数 a a 的取值范围是()c cc c 1 11 1A A.0,eB B.e,C C.0,D D.ee【答案】B B【解析】求出函数的导函数g (x) exax，记f x g x，函数有两个不同的极值点，等价于导函数f x有两个不同的零点，对f x求导，求出f x极值，即可求出实数 a a 的取值范围. .【详解】g (x) exax，记f

15、 x g x，则题设条件转化为函数f x有两个不同零点当 a a 0 0 时，f x在 R R 上单调递增，不符合题意；当a 0时，f x exa，令f x exa 0，解得：x Ina此题重点考查了直线与圆相切的等价条件,还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程第1212页共 1919 页当x( ,lna)时，fx0，此时f x单调递减当x(ln a,)时，fx0，此时f x单调递增；第1313页共 1919 页1且当x 1时，g ( 1) e a 0,当x a时，g(a) eaa20,又f x有两个不同零点， f(x)minf (lna) a a In a 0,a a In a 0即，解得a

16、 e,即实数 a a 的取值范围为e,a 0故选：B.B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值与函数的零点问题，属于中档题二、填空题1313 .等比数列an的前n项和为Sn，且4ai,2a2,a?成等差数列，若印1，则S4_【答案】1515.71414若关于x的二项式2xa的展开式中一次项的系数是70,则a _.x1【答案】 丄2【解析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过幕指数为 1 1，即可得到实数a的值。【详解】r r 7 r 7 2r展开式的通项公式为Tr 1C7a 2 x，由7 2r 1，得r 3,1所以一次项的系数为C；24a370，得a,21故答案为：1.2【点睛】本题考查二

17、项式定理的应用，特定项的求法，熟练掌握二项式展开式的通项公式是关键，属于基础题。【解析】由题意得4a24a1a34q 4 q2q 2S41 241 2151515 .已知函数f (x)xsinx,0 x与y kx(k R)的图像有三个不同交点，则实第1414页共 1919 页数 k k 的取值区间为_【详解】第 9 9 页共 1919 页【答案】0,【解析】 函数的交点转化为函数的零点问题，根据函数是分段函数，分类讨论可得【详解】xsin x kx,0 x记g(x)f(x)kx，则题意为：方程g x 0有三个不等,x kx, x实数根，当Oxn时, 由xsin x kx 0得k sinx,k

18、(0,1)时有两个不等实数根当x时，由1Vx kx 0得k-y=,k厂0,时有一个实数根，综上：k0,时方程g x 0有三个不等实数根故答案为：0,【点睛】本题考查函数的零点问题，分类讨论是解答的关键，属于中档题1616 .如图，在四面体ABCD中，AB CD 3, AD BD 3, AC BC 4，用平行于AB,CD的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH，则该四边形EFGH面积4【解析】根据线面平行的性质可知GH /AB,EF /AB,GF /CD,EH / /CD, ,因为AD BD 3, AC BC 4，故AB CD, ,所以四边形为矩形，设BF : BD BG : BC FG : C

19、D x,(0 x 1)，建立二次函数关系求解四边形面积的最大值. .第1616页共 1919 页因为直线 ABAB平面 EFGHEFGH,且平面 ABCABC 交平面 EFGHEFGH 于 HG,HG,所以 HG/ABHG/AB,同理EF/AB,GF /CD,EH / /CD,所以四边形 EFGHEFGH 为平行四边形又AD BD 3, AC BC 4，可证明AB CD所以四边形 EFGHEFGH 为矩形. .设BF : BD BG : BC FG : CD x,(0 x 1)，FG 3x,HG 3(1 x)1119SEFGHFG HG 9x(1 x) 9 (x)1 2才，当x 3时，有最大值

20、 才9故填-. .4【点睛】本题主要考查了四面体 ABCDABCD 中的对称性来证明四边形是矩形，线面平行的性质，二次函数求最值，属于难题三、解答题1717某市在开展创建 全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是城市环境卫生大为改观，深得市民好评创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出200200 人，并将这 200200 人按年龄分组：第 1 1 组15,25，第 2 2 组25,35，第 3 3 组35,45，第 4 4 组45,55，第 5 5 组55,65,得到的频率分布直方图如图所示1求出 a a 的值；2 若已从年

21、龄较小的第 1 1, 2 2 组中用分层抽样的方法抽取 5 5 人，现要再从这 5 5 人中随 机抽取 3 3 人进行问卷调查，设第 2 2 组抽到 人，求随机变量 的分布列及数学期望E【答案】(1 1)a 0.035(2 2)详见解析【解析】(1 1)由频率分布直方图的性质，能求出a的值.第1717页共 1919 页第1818页共 1919 页(2(2 )根据分层抽样的规则计算出各组人数，则随机变量3 3，分别计算出概率，列出分布列即可求出期望【详解】解：(1 1)由10 (0.010 0.015 a 0.030 0.010) 1，解得a 0.035. .(2 2)第 1 1，2 2 组的人

22、数分别为 2020 人，3030 人，从第 1 1，2 2 组中用分层抽样的方法抽取5 5人，则第 1 1，2 2 组抽取的人数依次为 2 2 人，3 3 人. .随机变量的所有可能取值为 1 1, 2 2, 3.3.其中P( 1)C；C33 f c、C；C；3c、C31C5310，P( 2)C535，P( 3)c；10，所以随机变量 的分布列为:l l2 23 3P P33110510【点睛】 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查运算求解能力，属于中档题.1818.已知函数f(x) 2cosxsin xt的最大值为1.3(1) 求t的值；(2) 已知锐角

23、ABC的内角A, B,C所对的边分别为a、b、c，若a2. 2，三角形J3ABC的面积为.3，且f (A),求b c的值.2【答案】(1)t3(2 2)b c 2 52【解析】(1 1)利用两角差的正弦、二倍角公式逆用、降幕公式、辅助角公式等对f x的所有可能取值为 1 1, 2 2，E()1010第1919页共 1919 页进行化简，得到正弦型函数，然后根据其最大值，得到t的值. .（2 2）A的大小，利用面积公式得到bc的值，再由余弦定理，配凑出b【详解】解: （1）f（X）2cos xsinx 3 t sin xcosx , 3cos2xlsin2x.31 cos2Xtsin 2x t2

24、232Q fx的最大值为1,故t仝0,可得t.322(2 2)Q f (A),可得:sin 2A3虫,222Q 0A -,-2A -23332A，可得,A333由三角形面积公式得，S1bcsin A3 ,可得：bc 4,2由余弦定理得，a2b2c22bccosA,2可得：8 b c 3bc,而b c 0b c 25【点睛】本题主要考查了学生对三角函数恒等变换的应用，考查了三角形的面积公式，余弦定理及简单的三角方程的求解，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.1919如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为 2 2，它们所在平面互相垂直，FD由fA3得到2c,得到答案t第2020页共 191

25、9 页平面ABCD,EF P平面ABCD（2）若CBA 60，求二面角A BC F的大小.第2121页共 1919 页【答案】见证明；(2)-(2)-4【解析】(1 1)由菱形的性质可得AC BD，由线面垂直的性质可得FD AC,从而 可得AC平面BDF，再由面面垂直的判定定理可得结果；(2 2)设ACI BD O，以0为原点，0B为x轴，0A为y轴，过0作平面ABCD的垂线为 z z 轴，建立空间 直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程求得平面BCF的法向量，结合平面ABC的法向量m (0,0,1)，利用空间向量夹角余弦公式可得结果【详解】(1 1)T菱形ABCD，二AC BD, FD平面

26、ABCD, FD AC,T BD FD D,AC平面BDF, AC平面ACF,平面 ACFACF 平面BDF.(2 2)设AC I BD O,以O为原点，OB为x轴，OA为y轴,过O作平面ABCD的垂线为 z z 轴，建立空间直角坐标系，则B（、3,0,0）,C 0, 1,0,F（、3,0,、3）,设平面BCF的法向量n (x,y,z),平面ABC的法向量m (0,0,1),LUUTBCuuur（,3, 1,0）,BF（2、.3,0,、“3）,vLUJU/ nBC则vuuvn BF3x y 02、3x、3z，取x 1，得n0（1, .3,2）,第2222页共 1919 页设二面角A BC F的

27、大小为则cos M2兰,|m| |n|丽24二面角A BC F的大小为 .4【点睛】本题主要考查面面垂直的证明以及利用空间向量求二面角，属于中档题空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：(1 1)观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；(2 2)写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；(3 3 )设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；(4 4)将空间位置关系转化为向量关系；(5 5)根据定理结论求出相应的角和距离2020.已知函数f(x) aex,g(x) lnx Ina,其中 a a 为常数，e e 是自然对数的底数，e 2.72，曲线y f x在其与 y y 轴的

28、交点处的切线记作h，曲线y f x在其与 x x轴的交点处的切线记作l2，且hl2. .(1)求l1, l2之间的距离；(2 2)对于函数f x和g x的公共定义域中的任意实数Xo，称f x0g x0的值为函数f x和g x在x0处的偏差. .求证：函数f x和g x在其公共定义域内的所 有偏差都大于 2.2.【答案】(1)& (2)证明见解析【解析】(1 1)求出 f f (x)(x)与x轴、y轴的交点坐标，求出函数的导数，根据两条切线平行求出参数a的值，即可求出切线方程，利用两平行线的距离公式求l1,l2间的距离. .(2 2)得到函数y f x和y g x的偏差为：F(x) | f (x

29、) g(x) | exlnx,x (0,)，利用导数分析F(X)min，证明F(X)min2即可. .【详解】(J函数f(x) aex的图像与 y y 轴的交点为0,a，函数y g x的图像与 x x 轴的交点为a,0,X1而f X ae,g (x)第2323页共 1919 页a又:a 0,a a 1.1.f(x) ex,g(x) Inx,二切线li过点0,1,斜率为kif (0) e01；切线l2过点1,0，斜率为k2g(1) 1,l1: x y 10,l2: x y 10,x1且只有一个正实根，记为xx0，则e0. .0当x0,x0时,F F (x)(x)0 0 ；当当xx0,时，F (x

30、)0,函数F x在0,x0上单调递减，在x0,上单调递增，F( X)minxaeX0ln x()eln兀ex1x0 x0,eX。/F (1) e1 0,F -20,1x 1,22故F (x)min1x02,X。x和y g x在其公共定义域内的所有偏差都大于2.2.【点睛】本题考查导数的几何意义， 利用导数求在一点处的切线方程，两平行线之间的距离公式的应用，利用导数研究函数的最值，属于中档题2 22121 .已知椭圆C : *2占1(a b 0)的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴a b一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于.5，直线 I I 与椭圆C交于I1/I2，二f 0 g a，得a

31、两平行切线l1,l2间的距离d|1 ( 1)1一12( 1)2(2(2)/函数yx和y g x的偏差为：F(x) | f (x) g (x) | exln x,x (0,),-F(x) exex-在x (0,)上是增函数，方程F(x) 0有即函数y第2424页共 1919 页A Xi，yi,B X2，y2两点，其中直线 1 1 不过原点. .（1 1）求椭圆 C C 的方程；（2 2） 设直线OA,l,OB的斜率分别为ki,k,k2，其中k 0且k2k,k2记VOAB的面积为 S.S.分别以OA,OB为直径的圆的面积依次为S,S2，求SL-S2的最小值S2【答案】(1 1) I I y y24

32、2b，且.a2b2.5，由此能求出椭圆方程.【详解】【解析】（1 1）由题意（2 2）设直线|的方程为ykXkX m m , A(XA(X1, y y1) ), BgBg ,祠，联立X2kx利用韦达定理、椭圆弦长公式结合已知条件能求出S S2的最小值.解：（1 1）由题意知,a 2b、a2b2.5，解得2所以椭圆 C C 的方程为4y21（2 2）设直线| |的方程为ykxm(m0)，A(XA(X1，y)y)，B(XB(X2，y y2），y kX由X227ym消去 y y 整理得114kX28kmx4 m2根据题因为k2将X1k16 14k2m20且X1X28 kmk，XMm211 4k2k2

33、k1k2X2k*2，所以X1y2kX-,mX28km廿，NX?kxmk2X|X2kmX1X2X1X2X1X24 m21代入，化简得：k k21 4k2第2525页共 1919 页S 1| AB| d1J k2.x-ix224 X2 -| m |,小21 m| . 2 m22r1 k22 2 223232小又S1S2为y1X2y2x1X2244443X22x1x25为定值1624SS251515S4| m| .2 m24m21214，当且仅当m21即m1时等号成立【点睛】圆位置关系的应用，考查了函数思想，属于难题.31t标原点为极点，以 x x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系2、3 sin(1(1)求直线 I I 的普通方程及曲线 C C 的直角坐标方程; 2 2(2 2)设点P 1,.3.3，直线 I I 与曲线 C C 相交于 A A, B