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文档简介
1、 1. (15分)NBA篮球赛中有这样的规律,两支实力相当的球队比赛时,每节主队得分与客队得分之差为正态随机变量,均值为1.5,方差为6,并且假设四节的比分差是相互独立的,问:(1) 主队得胜的概率有多大?(2) 在前半场主队落后5分的情况下,主队得胜的概率有多大?(3) 在第一节主队赢5分的情况下,主队得胜的概率有多大?(是标准正态分布函数)解:记 A=主队得胜,Xi=第i节主队与客队的得分之差(i=1,2,3,4),则X1,X2,X3,X4相互独立,且都服从正态分布,由正态分布的可加性可得:,(1).(3) .2. (10分)质量检验员逐个地检查某种产品,每次花10秒钟检查一个,但也可能有
2、的产品需要再花10秒钟重复检查一次,假设每个产品需要复查的概率为0.5,试用中心极限定理估算一下在8小时内检验员能检查完1600个产品的概率。()解:设表示检查第i个产品所花费的时间,则.,.令表示检查完1600个产品所花的总时间,由独立同分布的林德伯格中心极限定理可知即检验员在8小时内检查完1600个产品的概率是0.9713.3. (10分) 设总体服从正态分布,是来自总体的简单随机样本,求(1) n=5时样本均值与总体均值之差绝对值大于1的概率;(2).(=0.8686, )解:(1)当n=5时,即所以 .(2) .4. (20分)设总体服从正态分布,未知。在总体的10个观测值的平均值时,
3、(1)求的置信水平为0.95的置信区间;(2)要想使的置信水平为0.95的置信区间的长度不超过1,则n至少取多大? (3) 如果总体的样本容量n=64,则当区间是的置信水平为的置信区间时,应多大?(, )解:(1)由于已知,所以正态总体数学期望的置信水平为的置信区间为由题设知,所以的置信水平为0.95的置信区间为.(2) 当样本容量为n时,的置信水平为0.95的置信区间为,于是要使该区间的长度不超过1,即,必有,即观测值的个数n最少为123.(3) 如果总体的样本容量n=64时,的置信水平为的置信区间为,则有,即,查表可得,即.5. (15分)设总体的分布密度为,是取自总体的简单随机样本,求(
4、1)求的无偏估计量;(2)求的方差.解:(1),令 。因为,所以是的无偏估计量。(2)因为,所以 。6. (15分)设有12名志愿受试者服用减肥药,服药前和服药一个疗程后,各测量1次体重(公斤),数据如下:服药前:101,131,131,143,124,137,126,95,90,67,84,101服药后:100,136,126,150,128,126,116,105,87,57,74,109经计算:志愿受试者服药前的平均体重为,样本方差为;志愿受试者服药后的平均体重为,样本方差为。并设志愿受试者服药前的体重近似服从正态分布,服药后的体重近似服从正态分布。试判断此减肥药是否有效?解:设志愿受试者服药前后的体重分别近似服从,。该问题可归结为下述的假设检验问题利用双侧检验法,取检验统计量,其中当原假设为真时, ,其拒绝域为。依题意有,由于,不能拒绝,即不能认为此减肥药有效。7. (15分)以家庭为单位, 某种商品年需求量与该商品价格之间的一组调查数据如下表:假设商品的需求量与价格之间存在
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