第二章导数与微分

1、第二章 导数与微分第一节 导数的概念教学目的：理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线,了解导数的物理意义,理解函数连续性与可导性之间的关系教学重点：导数的概念,导数的几何意义教学难点：导数定义的理解,不同形式的掌握教学内容：1. 函数在一点的导数为了给出导数的概念，我们先看下面两个问题。（1）直线运动的速度设某点沿直线运动。在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴。此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点。设动点于时刻在直线上的位置的坐标为（简称位置）。这样，运动完全由某个函数所确定。这函数对运动过程中所出现的值有定义，称为位置函数。在最简单的情形，该动点所经过的路

2、程与所花的时间成正比。就是说，无论取哪一段时间间隔，比值经过的路程所花的时间总是相同的。这个比值就称为该动点的速度，并说该点作匀速运动。如果运动不是匀速的，那么在运动的不同时间间隔内，比值会有不同的值。这样，把比值笼统地称为该动点的速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑。那么，这种非匀速运动的动点在某一时刻（设为）的速度应如何理解而又如何求得呢？首先取从时刻到这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置移动到。这时由式算得的比值可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度。如果时间间隔选得较短，这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻的速度。但对于动点在时刻的速度的精确概念来说，这样做是不够的，而更确切

3、地应当这样：令,取式的极限，如果这个极限存在，设为，即，这时就把这个极限值称为动点在时刻的（瞬时）速度。（2）切线问题圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”。但是对于其它曲线，用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适。例如，对于抛物线，在原点处两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有轴是该抛物线在点处的切线。下面给出切线的定义。设有曲线及上的一点（图2-1），在点外另取上一点，作割线。当点沿曲线趋于点时，如果割线绕点旋转而趋于极限位置,直线就称为曲线在点处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长趋于零，也趋于零。现在就曲线为函数的图形的情形来讨论切线问题。设是曲线上的一个点（

4、图2-2），则。根据上述定义要定出曲线在点处的切线，只要定出切线的斜率就行了。为此，在点外另取上的一点，于是割线的斜率为，其中为割线的倾角。当点沿曲线趋于点时，。如果当时，上式的极限存在，设为,即存在，则此极限是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里，其中是切线的倾角。于是，通过点且以为斜率的直线便是曲线在点处的切线。事实上，由以及时，可见时（这时），。因此直线确为曲线在点处的切线。图2-2图2-1 我们撇开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性给出导数的概念。定义 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称

5、函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即，也可记作，或。函数在点处可导有时也说成在点具有导数或导数存在。导数的定义式也可取不同的形式，常见的有和注：函数在一点的导数的几何定义：是曲线在点的切线斜率；路程对时间的导数是时刻的速度；在抽象情况下，表示在点变化的快慢。2. 可导与连续的关系设函数在点处可导，即存在。由具有极限的函数与无穷小的关系知道，其中当时为无穷小。上式两边同乘以，得。由此可见，当时，。这就是说，函数在点处是连续的。所以，如果函数在点处可导，则函数在该点必连续。另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。3. 左导数与右导数根据函数在点处的导数的定义，是一个极

6、限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此存在即在点处可导的充分必要条件是左、右极限 及 都存在且相等。这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作及，即，。现在可以说，函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等。如果函数在开区间内可导，且及都存在，就说在闭区间上可导。4. 求导练习下面根据导数定义求一些简单函数的导数。例1 求函数（为常数）的导数。解：，即。这就是说，常数的导数等于零。例2 求函数（为正整数）在处的导数。解：。把以上结果中的换成得，即。更一般地，对于幂函数（为常数），有。这就是幂函数的导数公式。利用这公式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如

7、：当时，（）的导数为，即；当时，（）的导数为，即。例3 求函数的导数解： ，即 。这就是说，正弦函数的导数是余弦函数。用类似的方法，可求得，这就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数。例4 求函数（）的导数。解：即 。这就是指数函数的导数公式。特殊地，当时，因，故有。上式表明，以为底的指数函数的导数就是它自己，这是以为底的指数函数的一个重要特性。例5 讨论在点连续性与可导性解： 在不连续，即在不可导。例6 讨论在点连续性与可导性解： 在可导，当然在点连续。例7 讨论解： 在连续 在不可导。例8 已知，求解： 例9 已知，求解： 小结：本节讲述了导数的定义,导数的几何意义,可导与连续之间的关系,作业

8、：作业卡P10P12第二节 函数和差积商的求导法则，反函数的导数教学目的：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函数的导数教学重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法教学难点：反函数求导教学内容：1. 函数和、差、积、商的求导法则根据导数定义，很容易得到和、差、积、商的求导法则（假定下面出现的函数都是可导的）。（1）（2）（3）这里仅证（2） 例1 ，求。解： ，即 。这就是正切函数的导数公式。例2 ，求。解：，即 。这就是正割函数的导数公式。用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式：，。2. 反函数的导数若存在且不为零，则。由该公式我们可以由直接函数的导数，求出其

9、反函数的导数。例3 设为直接函数，则是它的反函数。函数在开区间内单调、可导，且。因此，由公式，在对应区间内有。但（因为当时，所以根号前只取正号），从而得反正弦函数的导数公式：用类似的方法可得反余弦函数的导数公式：同样我们可得到3. 导数的基本训练（1）（2）（3）（4）（5）（6） 小结：本节讲述了导数的四则运算法则，求反函数的导数的方法作业：作业卡P13P14第三节 复合函数的求导法则教学目的：掌握复合函数的求导法则，熟练复合函数的求导方法教学重点：复合函数的求导法则教学难点：理解复合函数的求导方法教学内容：1 复合函数求导复合函数求导法则 如果在点可导，而在点可导，则复合函数在点可导，且其

10、导数为。证： 由于在点可导，因此存在，于是根据极限与无穷小的关系有，其中是时的无穷小。上式中，用乘上式两边，得。当时，规定，这时因，而右端亦为零，故对也成立。用除两边，得，于是 。根据函数在某点可导必在该点连续的性质知道，当时，从而可以推知。又因在点可导，有，故 ，即 。证毕。复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形。我们以两个中间变量为例，设，则，而，故复合函数的导数为。当然，这里假定上式右端所出现的导数在相应处都存在。例1 ，求。解：。例2 ，求。解：。例3 ，求。解：所给函数可分解为，。因，故。不写出中间变量，此例可这样写：。自我训练题：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（

11、8）2抽象的复合函数求导练习（所出现的抽象函数均可导）。（1）（2）（3）（4） 小结：本节讲述了复合函数的求导法则，训练了复合函数的求导方法及抽象的复合函数的求导方法作业：作业卡P15P18第三节 初等函数求导问题、高阶导数教学目的：熟练初等函数的求导方法，了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数教学重点：高阶导数的求法教学难点：高阶导数的归纳方法教学内容：1 等函数求导小结初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数。为了解决初等函数的求导问题，前面已经求出了常数和全部基本初等函数的导数，还推出了函数的和、差、积、商的求导法则以及复合函

12、数的求导法则。利用这些导数公式以及求导法则，可以比较方便地求初等函数的导数。由前面所列举的大量例子可见，基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的求导运算中起着重要的作用，我们必须熟练地掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下：（1）常数和基本初等函数的导数公式，。（2）函数的和、差、积、商的求导法则设，都可导，则，（是常数），。（3）复合函数的求导法则设，而且及都可导，则复合函数的导数为或。2 高阶导数函数的导数仍然是的函数。我们把的导数叫做函数的二阶导数，记作或，即或。相应地，把的导数叫做函数的一阶导数。类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶

13、导数，一般地，阶导数的导数叫做阶导数，分别记作或 。函数具有阶导数，也常说成函数为阶可导。如果函数在点处具有阶导数，那么在点的某一邻域内必定具有一切低于阶的导数。二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导数。所以，仍可应用前面学过的求导方法来计算高阶导数。例1 求指数函数的n阶导数。解：，。一般地，可得，即 。例2 求正弦与余弦函数的阶导数。解：，一般地，可得 ，即 。用类似方法，可得 。例3 求对数函数的阶导数。解：，一般地，可得 ，即 。通常规定，所以这个公式当时也成立。例4 求幂函数的阶导数公式。解：设（是任意常数），那么，一般地，可得 ，即 。当时，得到，

14、而 。如果函数及都在点处具有阶导数，那么显然及也在点处具有阶导数，且。但乘积的阶导数并不如此简单。由首先得出，。用数学归纳法可以证明上式为莱布尼茨（Leibniz）公式。这公式可以这样记忆：把按二项式定理展开写成，即 ，然后把次幂换成阶导数（零阶导数理解为函数本身），再把左端的换成，这样就得到莱布尼茨公式。例5 ，求。解：设，则，代入莱布尼茨公式，得。自我训练：（1）设 （正整数），求、。 （2）求。 小结：本节训练了初等函数的求导方法，讲述了高阶导数的概念及求高阶导数的归纳方法作业：作业卡P19P20第五节 隐函数的导数，参数方程的求导方法教学目的：掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，

15、会求其一二阶导数教学重点：隐函数求导 教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导法教学内容：1 函数求导、参数方程求导函数表示两个变量与之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达。前面我们遇到的函数，例如，等，这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数。有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程表示一个函数，因为当变量在内取值时，变量有确定的值与之对应。例如，当时，；当时，等等。这样的函数称为隐函数。一般地，如果在方程中，当取某区间内的任一值时

16、，相应地总有满足这方程的唯一的值存在，那么就说方程在该区间内确定了一个隐函数。把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如从方程解出，就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。下面通过具体例子来说明这种方法。例1 求由方程所确定的隐函数的导数。解：我们把方程两边分别对求导数，注意是的函数。方程左边对求导得，方程右边对求导得 。由于等式两边对x的导数相等，所以，从而 。在这个结果中，分式中的是由方程所确定的隐函数。隐函数求导方法小结：（1

17、）方程两端同时对求导数，注意把当作复合函数求导的中间变量来看待，例如。（2）从求导后的方程中解出来。（3）隐函数求导允许其结果中含有。但求一点的导数时不但要把值代进去，还要把对应的值代进去。例2 ，确定了是的函数，求。解：，时，。自我训练：（1），求。（2），求。（3），求。（4），求。2 取对数求导法对于幂指函数是没有求导公式的，我们可以通过方程两端取对数化幂指函数为隐函数，从而求出导数。例3 求的导数。解：这函数既不是幂函数也不是指数函数，通常称为幂指函数。为了求这函数的导数，可以先在两边取对数，得；上式两边对求导，注意到是的函数，得，于是 。由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把

18、多因子乘积开方的求导运算，通过取对数得到化简。例4 求的导数。解：先在两边取对数（假定），得，上式两边对求导，注意到是的函数，得，于是 。当时，；当时，；用同样方法可得与上面相同的结果。注：关于幂指函数求导，除了取对数的方法也可以采取化指数的办法。例如，这样就可把幂指函数求导转化为复合函数求导；例如求的导数时，化指数方法比取对数方法来得简单，且不容易出错。3 由参数方程确定的函数的求导若由参数方程确定了是的函数，如果函数具有单调连续反函数，且此反函数能与函数复合成复合函数，那么由参数方程所确定的函数可以看成是由函数、复合而成的函数。现在，要计算这个复合函数的导数。为此，再假定函数、都可导，而且

19、。于是根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式，就有，即 。上式也可写成 。如果、还是二阶可导的，由还可导出对的二阶导数公式：，即 自我训练：（1）求在处切线方程。（2），求。 小结：本节讲述了隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，利用取对数的方法解决了幂指函数的求导问题作业：作业卡P21P22 第六节 函数的微分教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算教学重点：微分的计算教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算教学内容：1 微分的定义计算函数增量是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。图2-1

20、先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由变到（图2-1），问此薄片的面积改变了多少？设此薄片的边长为，面积为，则是的函数：。薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量自取得增量时，函数相应的增量，即。从上式可以看出，分成两部分，第一部分是的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当时，第二部分是比高阶的无穷小，即。由此可见，如果边长改变很微小，即很小时，面积的改变量可近似地用第一部分来代替。一般地，如果函数满足一定条件，则函数的增量可表示为，其中是不依赖于的常数，因此是的线性函数，且它与之差，是比高阶的无穷

21、小。所以，当，且很小时，我们就可近似地用来代替。定义 设函数在某区间内有定义，及x在这区间内，如果函数的增量可表示为 ， 其中是不依赖于的常数，而是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即 。下面讨论函数可微的条件。设函数在点可微，则按定义有式成立。式两边除以，得 。于是，当时，由上式就得到。因此，如果函数在点可微，则在点也一定可导（即存在），且。反之，如果在点可导，即存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成，其中（当）。由此又有。因，且不依赖于，故上式相当于式，所以在点也是可微的。由此可见，函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导，且当在点可微时，其微分一定是。 当时，有。从而，当时，与是等价无穷小，这时有， 即是的主部。又由于是的线性函数，所以在的条件下，我们说是的线性主部（当）。这是由式有，从而也有。式子表示以近似代替时的相对误差，于是我们得到结论：在的条件下，以微分近似代替增量时，相对误差当时趋于零。因此，在很小时，有精确度较好的近似等