九章微分方程与差分方程

1、燕京理工学院高等数学课程教案授课题目§9.1 微分方程的一般概念§9.2一阶微分方程（一）课时安排2课时主讲人教学目的1. 理解微分方程的基本概念。2. 掌握一阶可分离变量方程的解法。教学重点、难点一阶可分离变量方程的解法；区分解与通解；分离变量后的积分授课类型：理论课教学方式：讲授教学资源：多媒体教学过程备注§9.1 微分方程的一般概念例1 一曲线通过点(1, 2)，且在该曲线上任一点处的切线的斜率为，求这曲线的方程且, ,C=1. 例2 列车在平直线路上以(m/s)的速度行驶，当制动时列车获得加速成度求开始制动后列车行驶的路程与时间t的函数关系。，定义：含未知

2、函数、未知函数的导数或微分以及自变量之间关系的方程叫做微分方程。微分方程中未知函数的最高阶导数称为微分方程的阶。例：指出下列各微分方程的阶1. y''+y' 3+xy 4=sin x 2. y'+xy''+(y'')3+2y 5=13. y'+y y'=1+x54. y'''=y注意：在一个微分方程中，自变量x、未知函数y可以不出现，但未知函数的导数或微分不能不出现。定义1任何函数, 代入微分方程（10.1.1）后能使两端成为恒等式, 则叫作微分方程的解. 例如, 显函数是微分方程的解; 隐

3、函数是微分方程的解. 定义2：设阶微分方程（10.1）的解包含个独立的任意常数:, 则称它为通解; 如果微分方程的解不包含任意常数, 则称之为特解. 定义3：设为定义在数域I内的两个函数, 如果存在非零常数, 使得. 则称线性相关; 对任意常数, 如果都不恒等于, 则称线性无关. 例如, 与, 与, 与线性无关, 与,与线性相关如果一个函数代入微分方程能使之成为恒等式，称该函数为微分方程的解。如果微分方程的解中含有独立的任意常数个数与微分方程的阶相同，则称这解为微分方程的通解。用一些条件确定通解中的任意常数而得到的解称为微分方程的特解。用来确定通解中任意常数的条件叫做初始条件。一阶微分方程初始

4、条件的提法为：二阶微分方程初始条件的提法为：，例1 验证是否为微分方程 的通解? 解（其中）, 两边求导可得, 即 . 因此它是二阶方程的解, 但是该解实质上只含有一个独立的任意常数, 所以它不是通解, 也不是特解. §9.2 一阶微分方程（一）一、可分离变量的微分方程一阶微分方程：y'=f (x,y)若能化为y'=h(x)×g(y)，则称该方程为可分离变量的微分方程。例如：y'=2x+1这是可分离变量的微分方程，解这个微分方程只要方程两边积分：y=x2+x+C.又如y'=2xy2这也是可分离变量的微分方程，但这个微分方程就不能两边直接积分，

5、这是因为含有未知函数y。但若把上面的微分方程变形为：两边积分得：一般地，若y'=h(x)×g(y)把方程变形为：，若y=j(x)是方程的解，则有：两边对x积分，左边利用凑微分法：。即可分离变量的微分方程求解方法是：把变量分离两边再积分。例1：求解微分方程： (y+1)2y'+x3=0例2：求解微分方程： y'=e y-2x例3：求解微分方程：x(1+y2)dx-y(1+x2)dy=0在研究几何、物理、经济等问题会遇到微分方程，并且有广泛运用。本章只介绍基本概念，和最简单的几种方程的解法。 作业: p410 1、（1），（3），（5），2、（1）（3）（5）（7

6、） 高等数学课程教案授课题目§9.2一阶微分方程（二）（三）课时安排2课时主讲人教学目的掌握齐次方程和一阶线性微分方程的解法。教学重点、难点一阶线性微分方程的常数变易法求解线性非齐次方程；齐次方程和一阶线性微分方程的解法。授课类型：理论课教学方式：讲授教学资源：多媒体教学过程备注（二）可分离变量的方程形如 或 的方程叫做可分离变量的微分方程.解法：用去乘方程的两边后再积分便可得到该方程所确定的间的隐函数表达式. 用去除方程(10.2.2)得 两边积分, 得其中是任意常数. 的微分方程，则称该方程为齐次微分方程。例1 求微分方程的通解.例2 解初值问题.例3求微分方程 的通解.（三）一

7、阶线性微分方程形如：y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称一阶线性微分方程，其中P(x)，Q(x)是x的已知函数。若Q(x)º0，则方程y'+P(x)y=0称为一阶线性齐次微分方程，否则称之为一阶线性非齐次微分方程。为求一阶线性微分方程的解，先求y'+P(x)y=0的解，这是可分离变量的微分方程，解得。再令为非齐次方程的解，其中C(x)为待定函数，代入y'+P(x)y=Q(x)得到C(x)的微分方程：，解得，故。例1 求解微分方程：y'cos x+ysin x=1例2 求特解：例3 求特解：例4 求微分方程的通解例5 书P384例8本次课两种方

8、程以线性方程为重点，求解时掌握方法更为重要。作业: p411 3、（1）（3）（5）（7），4、（2）（4）（6）（8） 高等数学课程教案授课题目§9.3几种二阶微分方程§9.4 二阶常系数线性微分方程（一）课时安排2课时主讲人教学目的掌握特殊二阶微分方程和二阶常系数线性齐次方程的解法。教学重点、难点特殊二阶微分方程和二阶常系数线性齐次方程的解法， 求二阶常系数线性齐次方程特征根解法授课类型：理论课教学方式：讲授教学资源：多媒体教学过程备注几种二阶微分方程二阶微分方程的一般形式为（一）最简单的二阶微分方程形如 的微分方程，是最简单的二阶微分方程。 求解方法就是经过二次积分而

9、求得。 例1 求微分方程 （二）不显含未知函数y的二阶微分方程 （1）解法： 令 则，代入（1）得 （2）这个变为一阶微分方程，可以求得通解，则 (和为任意常数)例2 （三）不显含自变量x的二阶微分方程 （3） 令 ，则 于是（3）化为 （4）（4）为一阶方程，通解可求出，设为 则有 解出 （1）通解y例3 求微分方程 满足初始条件的特解（四）二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性微分方程的一般形式为 （5），其中，是（实）常数，是x的已知函数，对应于微分方程（5）的二阶常系数线性齐次微分方程是 （6） 定理 9.1 如果与是方程（6）的两个特解，而且不等于常数，则为方程（6）的通解，其中与

10、为任意常数。令函数为常数，将它代入（6）得 （7）称为（6）的特征方程，其根称为（6）特征根.。分别讨论特征根 和为相异的实根、重根、和共轭复根三种情况。（1） 相异实根可得特解为， 由不等于常数，线性无关，可得（6）通解为 (和为任意常数)。例4 求方程的通解（2）重根方程（6）的通解为 (和为任意常数)。例5 求方程的通解（3）共轭复根通解为 (和为任意常数)。例6 求方程 的通解. 例7求方程 的通解.例8求方程 的通解. 作业: p411 5、（2）（4）（6）（8）,7, 9，10（2）（4）（6）（8） 授课题目§9.5微分方程复习课时安排2课时主讲人教学目的掌握微分方程知识点和典型例题教学重点、难点掌握微分方程知识点和典型例题授课类型：理论课教学方式：讲授教学资源：多媒体教学过程备注微分方程练习题一 求下列微分方程的通解 (