九 图形的计数(A)

1、九 图形的计数(A年级 班 姓名 得分一、填空题1下图中一共有（ ）条线段.2. 如下图, O 为三角形A 1A 6A 12的边A 1A 12上的一点, 分别连结OA 2, OA 3, OA 11，这样图中共有_个三角形.A 12 11 10 987 A 6 A 2 A 3 A 4 A 1 A 53. 4. 5. 数一数(1一共有( 个长方形.6. 在下图中, 所有正方形的个数是_.7. 在一块画有44方格网木板上钉上了25颗铁钉(如下图, 如果用线绳围正方形, 最多可以围出_个.A C DE 8. 一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板, 上面有44个钉(如右图. 以每个钉为顶点, 你能用皮筋套

2、出正方形和长方形共_个. 9. 如下图, 方格纸上放了20枚棋子, 以棋子为顶点的正方形共有_个. 10. 数一数, 下图是由_个小立方体堆成的. 要注意那些看不见的. 二、解答题11. 右图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比. 12. 下图中, AB 、CD 、EF 、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？132厘米、4厘米、四边的小正方形都是涂有红颜色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要组成这样4个大小不同的正方形，总共需要红色正方形多少个？白色正方形多少个？14 ABC 的每一边4 等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个

3、平行四边形？ 答 案1 30由例1注可知图形中每边有3+2+1=6（条）线段，因此整个图形中共有6 5=30条线段.2. 37A 1A 6A 12分解成以OA 6 OA 1A 6中共有5+4+3+2+1=15(个 三角形, 12中共有6+5+4+3+2+1=21(个 三角形, 这样, 图中共有15+21+1=37(个 三角形.3. 15这样的问题应该通过分类计数求解. 此题中的三角形可先分成含顶点C 的和不含顶点C 的两大类. 含顶点C 的又可分成另外两顶点在线段AB 上的和在线段BD 上的两小类. 分类图解如下: 所以原图有(3+2+1+(3+2+1+3=15(个 三角形.4. 18梯形一共

4、有三行, 每行都有3+2+1=6(个, 所以一共有63=18(个 梯形.5. 108,36(1因为长方形是由长和宽组成的, 因此可分别考虑所有长方形的长和宽的可能种数. 按照前面所介绍的线段的计数方法可分别求出长和宽的线段条数, 将它们相乘就是所有长方形的个数.98因为AB 边上有8+7+6+2+1=36条线段，AD 边上有2+1=3条线段，2所以图中一共有363=108个长方形.(2三角形一共有6行, 每行都有3+2+1=6(个, 所以一共有66=36(个 三角形.6. 30由例5注可知整个图形中共有12+22+32+42=30个正方形.7. 50此类问题一般用分类方法计数. 对正方形的边长

5、分八类计数如下:边长为AB 的正方形有16个；边长为AC 的正方形有9个；边长为AD 的正方形有4个；边长为AE 的正方形有1个；边长为DF 的正方形有9个；边长为CF 的正方形有8个；边长为BF 的正方形有2个；边长为CG 的正方形有1个.所以, 最多可围出50个正方形.8. 44因为正方形是特殊的长方形, 所以可以把正方形看成长方形, 这样就不必分别求正方形和长方形的个数, 仍用分类计数的方法求解.先考虑有一组对边平行于BC 的长方形有多少个. 这一类按其水平边的位置可分为6小类, 即位置在BF 、FE 、EC 、FC 、BE 、BC . 同样, 其竖直边也分为6类. 所以这一类有66=3

6、6个长方形.另一类是没有边平行于 BC 的.这一类又分类两小类,分解图如下页图所示, 其中分别有 6 个和 2 个长方形. h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h 所以,一共可套出正方形和长方形 36+6+2=44 个. 9. 21 以正方形的面积大小分类计数. 设相邻两点的距离为 1,则正方形面积为 1 的有 9 个; 面积为 2 的有 4 个; 面积为 5 的有 2 个; 面积为 8 的有 4 个; 面积为 13 的有 2 个; 所以,共有 9+4+2+4+2=21 个正方形. 10. 30 将原立体图

7、形从左至右分类计算,共有 11+7+5+7=30 个. (1 + 6 × 6 =21, 11. 白色小三角形个数=1+2+3+6= 2 (1 + 7 × 7 黑色小三角形个数=1+2+3+7= =28, 2 21 3 所以它们的比= = . 28 4 12. 解法一 本图中三角形的个数为(1+2+3+4 × 4=40(个.下面求梯形的个数.梯形由两 底唯一确定.首先在 AB,CD,EF,MN 中,考虑两底所在的线段,共有 (4 × 3 ÷ 2=6(种选法; 对上述四条线段中确定的两条线段, 共有 10 10=4+3+2+1 ( 个梯形.共 60

8、 个梯形.故所求差为 20. 解法二 在图 中可数出 4 个三角形,6 个梯形,梯形比三角图形图形多 2 个.而在题 图中,这种恰有 10 个.故题图中,梯形个数与三角形的个数之差为 2 × 10=20(个. 13. 边长 2 厘米的正方形: 2 × 2=4(个 红色 边长 4 厘米的正方形 (4-1 × 4=12(个 红色 (4-2 × (4-2=4(个 白色 边长 8 厘米的正方形 红色 (8-1 × 4=28(个 (8-2 × (8-2=36(个 白色 边长 9 厘米的正方形 (9-1 × 4=32(个 红色 (9-2

9、 × (9-2=49(个 白色 所以,红色小正方形共有 4+12+28+32=76(个 白色小正方形共有 4+36+49=89(个 注本题的要求是由边长为 1 厘米的红色和白色两种正方形,分别组成边长 是 2 厘米,4 厘米,8 厘米,9 厘米的大小不同的正方形,可以看作方阵问题来解.四 周的小正方形是涂红色的,可看成是空心方阵,因此,涂红色正方形的个数等于 4 × (n-1.其他小正方形是涂白色的,可当作实心方阵,所以,涂白色的正方形 的个数等于(n-2 × (n-2.比如,由边长为 1 厘米的正方形组成边长为 9 厘米的正 方形,涂红色的小正方形的个数是:4

10、× (9-1=32(个,涂白色的小正方形的个数 是:(9-2 × (9-2=49(个. 14. 将平行四边形分为三类:尖角在上,下方;尖角在左下,右上方; 尖角在左上,右下方. 就第类而言: 型 6 个; 型 3 个,与其对称的 3 个; 型 1 个,与其对称的 1 个; 型 1 个;共 15 个.同理,第,类也 分别含 15 个,故上述三类平行四边形共 45 个. 注这样数平行四边行,很麻烦,又易出错.我们试图找到一种对应关系:先考虑任一边 不与 BC 平行的平行四边形,延长各边必与 BC 有 4 个交点,特殊情况下,第二个交点与第三 个交点重合;反过来,BC 上的任意四点或三点决定一个平行四