微分方程基础

1、第七章 微分方程内容提要： 一、 微分方程的概念1 微分方程：2 微分方程的阶3 微分方程的解隐式解4 微分方程的通解与隐式通解5 微分方程的特解6 微分方程的初值问题7 微分方程的积分曲线8 增根与失根问题：（奇解：不能从通解中得到的解）例1 求微分方程的通解 。解：。 增根：原方程解的曲线不过原点例2 解方程。解：JCP306，通解为：；失根：实际上微分方程的解包括或说积分曲线过原点。 建议：注意题目是 解方程 还是 求方程的通解二、 一阶微分方程1可分离变量方程： 例 。解：拆不成就捆令成可分离了注意倒过来的情况：-JCP3132齐次方程： 3一阶线性方程：其解：建议：例即： 注意倒过来

2、的情况：，即4*贝努利方程 解法：令 变为5*全微分方程 满足 例： 解1：齐次方程；解2：凑微分法；解3：拆微分法；三、 *可降阶的微分方程：直接积分型；不显含Y型；不显含X型1.型的微分方程特点：右端仅含.解法：积分两次.2.型的微分方程特点：右端不显含未知函数.解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： 令，则，方程化为（这是关于变量，的一阶方程）； 解出； 再由解出.例题1 求微分方程的通解. （JCP323T1-5）3.型的微分方程特点：右端不显含.解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： 令，则，方程化为（这是关于变量，的一阶方程）； 解出； 再由解出.例题2 求微分方程的通解.

3、（JCP323T1-10）练习题1.微分方程的通解为 . 【】2.求初值问题的解. 【】3.解方程. 【】4.求初值问题的解. 【】5.求微分方程满足初始条件的特解. 【07-2，】四、 高阶线性微分方程解的结构1齐次的：结论1：如果与是方程的两个解，则也是其解结论2：如果与是方程的两个无关的解，则是方程的通解推论：如果是齐次方程的N个无关的解，则其通解为 2 非齐次的：结论1：设是方程的一个特解，则是对应的齐次方程的通解，则是非齐次的通解结论2：如果非齐次方程为而与分别是方程 和的特解，则是原方程的特解五、 二阶常系数线性微分方程1 常系数齐次线性微分方程特征方程的两个根微分方程的通解两个不

4、相等的实根两个不相等的实根一对共轭复根，例1：；例2： ；例3：，2 常系数非齐次线性微分方程（简单的） 特解的求法：待定系数法，（常数变易法，微分算子法） 结论1：如果，则方程有形如的特解，例1： 例2： 例3解1：不是特征方程的根，故代入原方程得C=1解2：是特征方程的单根，故 ，代入原方程得解3：是特征方程的重根， 故代入原方程得 结论2：如果，则方程有形如的特解，例4： 例5解4：是特征方程的单根，故代入原方程得即：解5：不是特征方程的单根，故代入原方程得即：六、 微分方程的简单应用1几何中的应用 2*力学中的应用例1一质量均匀的链条挂在一无摩擦的钉子上，运动开始时，链条的一边下垂8米

5、，另一边下垂10米，试问整个链条滑过钉子需多长时间？ 解：设链条的线密度为，经过时间下滑了米，由牛顿第二定律，得 ，即：解得，令，则3 经济应用第七讲 微分方程-题型一、解与通解问题例 ，通解，不包括二、一阶线性方程：其解：例1设可导，且，求解：将原方程两边乘以X，得对左端积分令 ，求导得：即：通解：例2求解微分方程解：，对应的齐次方程：的解为，再用常系数变易法代入原方程求出解。解二：直接用公式：通解为，故通解为 练习：求方程的通解。 （ ）三、高阶线性微分方程解的结构例 解：对应齐次方程通解为： （特征方程为）的特解为代入得C=1/2，即的特解为代入得：即： 原方程的通解为四、微分方程的初值问题例 设为一阶连续函数，且满足，求解：显然，则， 注意边值条件： 齐次方程的通解为： 非齐次方程的一个特解为：代入解得故通解为： 由初值条件得故注意：积分方程化为微分方程时，不要忘记找出隐含的初始条件。五、简单应用：例（01S2）设L是一条平面曲线，若上任一点到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在Y轴上的截距，且L经过，试求L的方程。解：设曲线L过点的切线方程为，令X=0，则该切线在Y轴上的截距为，由题设有，（1）先求这是齐次微分方程。令，化为，解之得（见公式）