利用导数解决恒成立问题

1、利用导数求函数最值 基础知识总结和逻辑关系一、 函数的单调性求可导函数单调区间的一般步骤和方法:1) 确定函数的的定义区间；2) 求，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；3) 把函数的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些 点把函数的定义区间分成若干个小区间；4) 确定在各个区间内的符号，由的符号判定函数在每个相应小区间内的单调性.二、 函数的极值求函数的极值的三个基本步骤1) 求导数；2) 求方程的所有实数根；3) 检验在方程的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则在这个根处取得极大（小）值.三、 求函数最值1) 求函数在区间上的极值；2) 将极值

2、与区间端点函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.四 利用导数证明不等式1） 利用导数得出函数单调性来证明不等式我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式： 直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立. 把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到

3、证明不等式的目的.2） 利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式.导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题. 解题方法总结和题型归类利用导数研究含参变量函数的恒成立问题1） 其中关键是根据题目找到给定区间上恒成立的不等式，转化成最值问题。2） 首先找不等式。一般来说，有以下五类题型： 在某个区间上“单调递增减”：表明（）恒成立； “无极值点”，表明恒成立或恒成立；“曲线在曲线上方（下方）”：表明（）恒成立； “

4、无零点”：表明恒成立或恒成立； 标志词：“任意”，“所有”，“均有”，“恒成立”等等，此时题干已给出不等式例1：设函数f(x)ax33x1 (xR)，若对于任意x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为？【解析】若x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；当x>0，即x(0,1时，f(x)ax33x10可化为a.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4.当x<0，即x1,0)时，同理a.g(x)在区间1,0)上单调递增，g(x)ming(1)4，从而a4，综上可知a4.【点评】首选考虑参量分离。得到或，然后求的最值【

5、答案】a4.【难度】*【题】设函数，R（）若为的极值点，求实数；（）求实数的取值范围，使得对任意的（0,3，恒有4成立.注：为自然对数的底数.【难度】*例2：已知aR，函数f(x)(x2ax)ex (xR，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增，求a的取值范围【解析】(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)>0，即(x22)ex>0，因为ex>0，所以x22>0，解得<x<.所以函数f(x)的单调递增区间是，(2)因为函

6、数f(x)在(1,1)上单调递增，所以f(x)0对x(1,1)都成立因为f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，所以x2(a2)xaex0对x(1,1)都成立因为ex>0，所以x2(a2)xa0对x(1,1)都成立，即a(x1)对x(1,1)都成立令y(x1)，则y1>0.所以y(x1)在(1,1)上单调递增，所以y<(11)，即a.因此a的取值范围为a.【点评】（1）数在某区间上单调递增(减)时，函数的导数在这个区间上大(小)于或者等于零恒成立，转化为不等式恒成立问题解决(2)在形式上的二次函数问题中，极易忘却的就是二次项系数可能等于零的情况，这样的问题

7、在导数单调性的讨论中是经常遇到的，值得特别注意【答案】a的取值范围为a【难度】*例3：已知函数.（）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（）若对于都有成立，试求的取值范围；【解析】(I) 直线的斜率为1.函数的定义域为，因为，所以，所以. 所以. .由解得；由解得.所以的单调增区间是,单调减区间是. 4分(II) ，由解得；由解得.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以当时，函数取得最小值，.因为对于都有成立，所以即可.则. 由解得.所以的取值范围是.8分【点评】此题直接求最值。此时不等式一般形如或，直接求 的最值。【答案】的取值范围是【难度】*例4：已知函数（I）当时，求函

8、数的单调递减区间；（II）求函数的极值；（III）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围【解析】（I）依题意，函数的定义域为， 当时， 2分由得，即解得或，又，的单调递减区间为 4分（II），（1）时，恒成立在上单调递增，无极值. 6分（2）时，由于所以在上单调递增，在上单调递减，从而 9分（III）由（II）问显然可知，当时，在区间上为增函数，在区间不可能恰有两个零点 10分当时，由（II）问知，又，为的一个零点 11分若在恰有两个零点，只需即 13分【点评】首先考虑参量分离。得到或，然后求的最值。直接求最值。此时不等式一般形如或，直接求的最值。【答案】【难度】*例5：已知函数（）当时，讨

9、论函数的单调性；（）设，当时，若对任意， 恒成立，求实数的取值范围【解析】：（） 2分 令得 3分当时，函数在上单减 4分当时，在和上，有，函数单减，在上， ，函数单增 6分（）当时，由（）知，函数在上是单减，在上单增所以函数在的最小值为8分若对任意，当时，恒成立，只需当时，即可所以，11分代入解得 所以实数的取值范围是 13分【点评】注意如果条件改为“”恒成立，怎么样解答，还可以移项构造新函数吗？【答案】的取值范围是【难度】*例6：设l为曲线C：在点(1，0)处的切线.(I)求l的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方【解析】（）设，则所以所以L的方程为（）令，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于满足，且当0x1时，所以故单调递减；当x1时，所以故单调递减所以所以除切点之外，曲线C在直线L的下方【点评】构造函数，转化直接求最值。此时不等式一般形如或，直接求的最值。【答案】（）【难度】*【题】已知函数（）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；（）当a>0时，函数f(x)在区间1，e上的最小值为-2，求a的取值范围；（）若对任意，且恒成立，求a的取值范围:【难度】*【题】己知函数是R上的单调增函数，