两条直线的夹角

1、两条直线的夹角教学目的:1. 分清直线丨1到直线12的角与直线12到直线ll的角以及两条直线li与12的夹角的区别 与联系。2. 掌握直线li到直线12的角的计算公式3. 掌握直线li与直线12的夹角的计算公式二、情感目标：通过对两直线的倾斜角与夹角的关系探索，找出夹角的正切值与两直线斜率之间的关系；运用两角差的正切公式， 进一步渗透解析几何的思想， 即用代数运算解决几何图形问题； 培养学生思维的缜密性、条理性、深刻性。三、教学重、难点：1 当一条直线斜率不存在时，如何求解两直线的夹角。2根据题意正确使用夹角，到角公式，注意根据图形进行舍解。四、教学过程：一引入：平面内两条直线的位置关系有平行

2、、重合和相交。我们分别用直线的代数形式去描述了它们的位置关系。 在相交直线中特殊的位置关系是垂直，即两条直线所成角为 90。因此,我们可以用两直线的夹角大小来描述两条相交直线的位置关系。平面上，两条相交直线 li和12构成四个角，它们是两对对顶角。为了区别这些角，通常规定：直线li绕着交点M按逆时针方向旋转到和12重合时所得到的角，叫做li到12的角。 直线12绕着交点M按逆时针方向旋转到和li重合时所得到的角，叫做 丨2到li的角。当li 12时，即li到12的角为90。kik2I或一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在。通过这充要条件启发我们，1i到12的角的大小是否也可以与1i、|2的斜

3、率建立关系呢？二推导：设两条直线方程分别是11: yk1xb1,l2: yk2xb2k1,k2均存在，h到l2的角如果k1k2，那么 =90。如果kik2，设h和12的倾斜角分别是1和2，那么k1 =tg 1， k2=tg 2或(，都有tg tg(tg 2)2tg1 tg 2tg 11一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角,也可能大于直角，如果只需要考虑不大于直角的角叫做两条直线的夹角，那么有tg1 901 k2k1当两条直线平行或重合时，那么它们的夹角是零度角，此时公式仍适用。三例题：例1求以下两直线的夹角。(1) h:x+2y-5=0,12 : 2x-3y+1=0 ；(2)l1 :x-3

4、y-2=0.12 : 2y+3=0 ；(3) 11 :x-5=0, 12 :2x+4y+3=0 ；小结：直线方程求夹角大小问题。第一小题求出直线斜率后直接套用夹角公式；第二小题其中一条直线斜率为零，既可以套用公式，又可以观察图像，显然夹角不是倾斜角就是 倾斜角的补角；第三小题其中一条直线斜率不存在，不能使用公式，只能观察图像，分析倾 斜角与夹角的关系。例2求经过点-5，6且与直线2x+2y-5=0的夹角为45的直线方程。小结：夹角大小求直线方程问题。据题意直线过点-5，6，因此只需确定直线斜率 k， 就可写出直线的点斜式方程。 由夹角公式可求出 k 的值。 根据图像特征， 过一点必定会有两 条

5、直线与直线的夹角成 45 度，这就提示我们必须解出两个 k 的值。这道题一解 k=0 时， 直线方程为y-6=0 ;另一解k不存在，意味着直线方程为 x+5=0。而往往同学们会忽略后一 个答案，认为 k 无解，直线方程就不存在。例3等腰 ABC，底边BC所在的直线方程是 x+y=0，顶点A2，3，它的一条腰AB平行 于直线 x-4y+2=0 ，求另一条腰 AC 所在直线的方程。小结：此题也是运用夹角公式或到角公式求解直线方程的一种类型，它在题目的条件上比拟隐蔽， 没有直接指出夹角的大小。而在解题过程中，我们也不需要知道夹角大小，只是利用夹角相等建立等式，求出所需直线的斜率，从而确定直线方程。四

6、作业：练习册 P5 8、 10、 11五、反思：通过两条相交直线所成角的大小来描述两条相交直线的位置关系。 之前同学 们已经接触了互相垂直的直线，它们的斜率成积为 -1。这一结论的得出，也是建 立在观察直线倾斜角与夹角的关系上的。因此同学们在寻找关系式时并不困难。 而是在要求同学们用斜率去表示夹角时， 大家陷入了沉默。 显然对高一所学的知 识有所遗忘，经提醒同学们能较快的接受两角差的正切公式与两直线斜率间的等 式关系。对例题的选择由浅入深， 又简到难。对于这一知识点， 我认为解决两方面的 问题，一是 直线方程求夹角大小问题;二是夹角大小求直线方程问题。首先，在 第一道例题中第 1、2小题使同学

7、们先熟悉公式，加深公式在头脑中的印象，第3小题是为了让大家意识到公式不是万能的， 它是有局限的， 比方直线斜率不存在或者两直线斜率为负 倒数等，因此还是要求同学们掌握数形结合的思想方法，从根本关系上入手，理解其本质。 其次，第二、三道例题就为应用夹角公式去解直线方程的类型。应该说公式人人都能记住， 但很多同学在最终的结果上却不能答复完整。 这意味着同学们在思维过程中还不够严密， 往 往会遗漏斜率不存在这一特殊的解。 有时运用夹角公式解题比拟难于让人发现， 比方， 直线 过点 1,0，且被两平行直线 3x+y-6=0 和 3x+y+3=0 所截的线段的长为 9，求此直线的方程。数形结合的思想方法是中学数学的根本思想方法。 在解