浅谈新课程理念下数形结合”思想在集合与函数中的应用

1、浅谈新课程理念下"数形结合”思想在集合与函数中的应用单位：天津市大港一中姓名：贾宝山学科：数学浅谈新课程理念下"数形结合”思想在集合与函数中的应用摘要:"数形结合"思想方法是解决数学问题的重要方法，本文对高中数学中的问题，谈谈如何运用"数形结合"的思想方法解题.关键词：数形结合.图形.集合.函数. 数学是研究空间形式和数量关系的科学，“数”与“形”的结合是中学数学最完美的珠联璧合. “数”是 “形”的抽象，“形”是“数”的直观表现.数形结合思想是充分应用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维

2、结合，通过对图形的描述代数的论证来解决数学问题的一种重要思想方法.纵观历年高考试题，利用数形结合思想解题占一定比例，尤其是选择、填空，更突出其重要性，其应用主要是“以形助数”、“以数定形”.著名的数学家华罗庚先生说过："数形结合千般好，数形分离万事休."有些繁难的代数题，若我们借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念及复杂的数量关系直观化.简单化，从而探索出巧妙的解法.下面就高中数学的几个重要应用“数形结合”方面进行研究.一利用“数形结合”求解集合问题.初中阶段会用数轴上的点表示有理数，建立实数与数轴上的点的一一对应关系，借助数轴理解相反数及绝对值的意义.高中阶段会用数轴表示

3、集合间的包含关系，会用数轴进行数集的运算：例1已知集合Mx|x2-3x-280，Nx|x2-x-60则MN为 （  A  ）A、x|-4x-2或3x7   B、x|-4x-2或3x7C、x|x-2或x3           D、x|x-2或x3  解题策略：此题以一元二次不等式的解集为载体，考查了其解法及交集运算.结合数轴，以形助数.例2设集合Ax|-2x-1或x1， Bx|（x-a）（x-b）0，（ab）若AB=x|x-2，=x|1x3，求a,

4、b的值.  分析：由于本题较复杂，应先化简集合.Bx|axb，ABx|1x3欲求a,b的值，它是集合B的两个端点，此题不能直接看出答案，由数想形，以形助数，需画出一条数轴，标出A，AB及B.由ABx|x-2 知的两端点落在的右侧，由ABx|1x3可知的右端点必落在的位置，下面确定左端点的位置，若落在F的左侧，与矛盾若落在，中间与也矛盾若落在，之间，则与AB矛盾，当且仅当它落在处满足题意，即a1,b3解题策略：本题以不等式为载体，考查了交集、并集的运算，我们用数轴这一数形结合重要工具解决了它，由数想形，以形助数. “复杂数集先化简，画出数轴是关键，抽象问题具体化，运动变化定端点.”二利

5、用“数形结合”求解函数问题.(一)利用“数形结合”求函数的定义域面对求函数的定义域问题，有些人常常是顾此失彼，所以在看到题目后，首先的应该把所有使函数有意义的条件列出，待求出所有满足条件的解后用相应的图形表示出来，再逐一判断，这样才能尽量避免失误，得出正确的答案.例1：已知函数f(x)的定义域是a,b其中a<0<b且|a|>b,求函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域.分析：若g(x)的定义域为M,f(x)f(-x)的定义域分别为A.B，则有M=AB，利用数轴分析得知，阴影部分即为所求.如图解：函数f(x)的定义域为a,baxb若使f(x)e有意义，必须有axb，即有bx

6、aa0b b0a又|a|b0 .ab函数g(x)的定义域x|axbx|bxa=x|bxb解题策略：这样的题目要是改为选择题，图形一画那就简单明了，不用解题，若像上面的求解，则图形有助于解题.(二).利用“数形结合”求函数的值域对于一些给了的定义域求值域的函数，若只采用代数的方法思考问题，往往会太过于抽象或无从下手.但如果根据函数的定义，引入图象，使所求的问题具体化，可从图中一目了然，则达到事半功倍的效果.例2求函数y=|x-2|x+4|的值域.分析：就自变量x的范围讨论去掉绝对值，将函数表示为分段函数，画出分段函数的图象，由图象即可得y的范围 函数的图象如图，由图象即可得y-6，6.解题策略：

7、数形结合能将抽象的问题直观化.形象化，能使问题灵活直观地获解，在数学学习中要注意把握善于运用这种数学思想.(三).利用数形结合求函数的单调区间例3.设函数f(x)=-（x-1）2+2|x-1|+1(5x3).指出函数f(x)的单调区间并说明在各个区间上f(x)是增函数还是减函数.解：当x1时，f(x)= -（x-1）2+2（x-1）+1=-（x-2）2+2 当x1 时，f(x)=-（x-1）2+2（1-x）+1=-x2+2即 根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如图，函数f(x)单调区间为5，2），2，-1），-1，0）， 0，3.由图形可看出函数在区间5，2），-1，0）上为增函数，在区间

8、 2，-1），0，3上为减函数.解题策略：用数形结合的方法，先画出函数的图象，由图象可直观得解.(四).用“数形结合”求函数的最值求函数的最值的类型题有很多种，例如：给出函数，根据其定义域求最值.这种题型与求函数的值域是相类似的，另一种类型的求最值的题型则是给出x,y所满足的方程，再求另一个关于x,y的函数式的最值，我们常用数形结合来解这类问题，正确地作出图像，必要时还要配合一定的计算.例4.求函数的最大值和最小值分析：首先我们用代数方法来解决本题，原式可化为： 3y+ycosx=2+sinx |cos(x+v)|1 8y2 12y+30 对于这种纯代数方法我们能够解决本题，但我们发现在解题过

9、程中利用了三角函数的相关知识的转化，如果不是对三角函数这部分知识比较熟悉，相信学生可能无从下手.而对于这种特殊的函数，应注意观察，利用其特殊的性质，把函数看作是定点（3，2）与单位圆上的点P（cosx,sinx）连线的斜率.解：这可以看作是定点A（3，2）与单位圆上的点P（cosx,sinx）连线的斜率.因此，y的最值就是当直线AP与单位圆相切时的斜率.单位圆x2+y2=1中斜率为k的切线方程为 由于该切线过点A（3，2），故 ， 通过以上两种解题方法，我们就会发现“数形结合”思想方法在解题中的优势所在.例5求的最小值.分析：这是一道含有两个根式的函数最值的问题.看似一道求二元函数的最值问题，

10、显然用现阶段的初等数学知识很难求解出.于是我们将函数解析式变形为，就不难发现这正是平面直角坐标系内的一个动点与两个定点、之间的距离之和的最小值问题，所以，当且仅当点位于、两点所定的直线上且在两点、之间（含、两点）时：解题策略:类似这种y=形式的函数求其最值,常采用这种找出对称点,并利用两点之间线段最短的形式来解. (五).用“数形结合”求函数的零点个数求函数零点的个数是函数零点知识的常见题型，例如：给出函数，根据其定义域求函数零点的个数.这种题型之中的函数一般为一个复杂函数，解方程比较繁琐甚至不能达到目的，所以我们常用数形结合来解这类问题，把复合方程转化成基本初等函数相等的形式，求函数的公共解

11、、函数图像的交点.正确地作出图像，从而判断出结果.例6.求函数y=lgx-sinx 在0，10上的零点的个数.分析：这是一道典型的利用二分法求函数零点、方程的根的问题.它是由两个初等函数组成的复杂函数，利用求解方程lgx-sinx=0的根或画函数y=lgx-sinx图象，观察它与x轴的交点的方法都不易实现.但若转化成求解方程lgx=sinx的根、即求函数y=lgx与y=sinx的图象的交点，则由复杂函数的问题转化成了简单的初等函数的问题，求解起来简单易行.解：求函数y=lgx-sinx 在0，10上的零点可以转化成方程lgx=sinx在x0，10的解.即函数y=lgx与y=sinx在x0，10交点.作出函数图象，观察图象的交点.由图象可知，函数y=lgx与y=sinx在x0，10交点的个数为3个. 所以函数y=lgx-sinx 在0，10上的零点的个数为3个.解题策略：函数的零点和方程的根的问题都可以采用如上做法：用“数形结合”的方法，先画出函数的图象，由图象可直观得解.以上是从集合与函数两部分知识内容上谈谈高中数学中“数形结合”重要思想方法的应用举例.对于高中数学中“数”和“形”是数学学习