关于高等数学(专科)复习题及答案

1、高等数学期末试卷、填空题(每题 2分，共30分)-一2,11 .函数y = x -4 +的定乂域是|x -1解.(,«, -2U2, +«) o22 .若函数 f(x+1)=x +2x5,则 f(x)=解.x2 - 63.答案:limx -sin xx一)二二正确解法:x -sinxlim = lim (1XJ xxF 二sin xsin x)=lim 1 - lim 1-0 = 1X 二 X 二 xx ax b _4.已知 lim x2 b =2 ,则 a =, b=x 2 x -x-2由所给极限存在知，4+2a+b = 0,得b = 2a4,又由x2 ax b x a

2、2 a 4lim -7二 lim 二x 必 x2 x 2 x )2x 13=2,知 a = 2,b = 8ex - br,.5.已知 lim=0° ,则 a =, b =I (x。a)(x -1)xe - blimx-0 (x _a)(x 7)(x - a)(x - 1) a -即 lim=二 0,x 0ex -b 1 -ba = 0,b = 1o. 1xsin 一 f(x)xx 1x<0的间断点是x=x -0解：由f (x)是分段函数,28. f(x) =X2,则 f (f '(x)+1) = 答案：(2x +1)2或 4x2 +4x +19.函数z =4x -y22

3、2r的定义域为ln(1 - x - y )解：函数z的定义域为满足下列不等式的点集。nz的定义域为:22 一 2,x, y) 10 Mx +y <1 且 y <4x 2210.已知 f(x+y,xy)=x y +xy ，则 f (x, y) =u .v 一 u -v解 令 x+y=u, x-y =v，则 x =2, y =2 , f (x+y)(x-y) =xy(x + y)u v u v uu 22x r rf (u,v) =uuu =u(u2 -v2), f(x,y)=x(x2 -y2)22 2 44x11 设 f(x, y)=xy+22，则 fx (0,1) =。 fy (0

4、,1)=x yf (0,1=)0 0fy(0,1) = lym0f(0,y 1)-f(0,1)=则"0=0。.y-0 Ly12 . 设z = x2 +sin y, x =cost, y =t3,则 dz =?dt 一dz = -2xsint 3t2 cosy dtd13 .d d f (x)dx =dxd解：由导数与积分互为逆运算得， d df(x)dx=f (x).dxx3 J14 .设 f(x)是连续函数，且 ( f(t)dt=x，则 f(7)=.解:2,33_1两边对x求导得3x f (x -1) =1 ,令x -1 =7,得x = 2,所以f(7)=2 3xx=2112仁-k

5、x1,15 .右e dx = ,则卜=。-021 .二 &x1 b *x答案： £ = o e dx 'b"mi 0e d(_kx) k = 2二、单项选择题(每题 2分，共30分)一 a x T ,1.函数 f (x) =x -(a A0,a。1)()ax 1A.是奇函数；C.既奇函数又是偶函数;B.是偶函数；D.是非奇非偶函数。解：利用奇偶函数的定义进行验证。所以B正确。1 21-2 .右函数 f(X +)=X +=，则 f(X)=()X X一 2222，A. X ; B. X 一2;C.(X1) ; D. X -1 o一一，212_1-1、2- 一 1

6、1 2_解：因为 x + = x +2+2 = (x + ) 2,所以 f(X+)=(X + ) -2 XXXX X则f (x) = X2 -2 ,故选项B正确。3 .设 f (x) =X +1 ,则 f (f (x) +1)=().A. X B. X + 1 C, X + 2 D. X + 3解 由于 f(X) =X+1 ,得 f(f(X)+ 1) = (f(X)十 1)+1= f (x)+2将f (x) =X +1代入，得f(f(x) 1) = (x 1) 2-x 3正确答案：DX24.已知lim (-ax 一b) =0 ,其中a加是常数，则(x x 1(a)(C)a =1, b =1,

7、a =1,b - -1(B)(D)a - -1, b =1a - -1,b - -12一X斛. lim ( - ax -b) = lim-x 1X >:(1-ax2-(a+bx-b_01 -a =0,a b =0, a =1,b = -15 .下列函数在指定的变化过程中，(答案：c)是无穷小量。1A. eX, (xt °o)；sinx /B. , (X >XC. ln(1 + x), (xt 1)；,x 1 - 1D.X(X > 0)解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以而A, C, D三个选项中的极限都不为0,故选项B正确。6 .下列函数中，在给定趋势下是无界

8、变量且为无穷大的函数是(. 1 / 一、(A) y =xsin-(x-)X)(B) y = n(')(nT g);(C) y =ln x(xt +0)；,一 11 ,(D) y 二- cos - (xr0) X X.1.11,. in .解.丫 lim xsin = lim sin / =1,故不选(A).取 m = 2k +1,则 lim n(,)=limx x x x Xni j 二1 c 一=0 ,故2k 1111不选(B).取xn =,则lim cos=0,故不选(D).答案：Cn二二f：XnXn2.1 nxsin -, x 07.设 f(x) = xx, x < 0，则

9、f （x）在乂 = 0处（A.连续且可导B.连续但不可导C.不连续但可导D.既不连续又不可导解：（B）lim f (x) = lim x = 0 , x )0x_0 一.1lim J (x) = lim上xsin = 0, f (0) = 0x-0 ,x 0 , x因此f（x）在x=0处连续.1八 xsin - -0f (0); lim X)_L2 ; limxx0 x-0 x0 x-0.1 =lim4sin -,此极限不存在 x ° x从而f *0）不存在，故f '（0）不存在8.曲线y = x3 -x在点（1,0）处的切线是（A . y=2x2B. y = 2x+2C .

10、 y=2x+2D. y = 2x2解由导数的定义和它的几何意义可知，是曲线y =x3 -x在点(1, 0)处的切线斜率，故切线方程是y 0 = 2(x -1)，即 y = 2x 2正确答案：A一一 1 4 .一9 .已知 y = _ x ,则 y =().432A. x B. 3x C. 6x D. 6解直接利用导数的公式计算：14332y = ( x ) = x , y = (x ) = 3x4正确答案：B 1、10.若 f (一)= X，则 f(X)=()。X1111A . -B. C. D. -2XXXX答案：D 先求出f(X),再求其导数。11. z Tn Ji -y2的定义域为().

11、2222A. X 一 y - 1 ?B, X -y -°C.22,22y > 1 ? d , X y > 0解z的定义域为X, y)X2 一y2 >0 个，选D12.设函数项级数 £ Un(X),下列结论中正确的是 ().n 1(A)若函数列Un(X)定义在区间I上，则区间I为此级数的收敛区间(B)若S(x)为此级数的和函数，则余项rn(X)= S(x) Sn(X), lim rn(X)=0n :，(C)若X0 W 1使£ Un(Xo)收敛，则|X付Xo |所有X都使Z Un(x)收敛 n 1n Z1QO(D)若S(X)为此级数的和函数，则Z U

12、n(X0)必收敛于S(X0)n 1解：选(B).oo13.设a >0为常数，则级数 £ (_1)n(1 _cosa)().n 1n(A)绝对收敛(B)条件收敛 (C)发散(D)敛散性与a有关2oo 2解：因为(1)n (1cos亘)=2sin2月-E W-；,而£ 亘行收敛，因此原级数绝对收敛 n2n 2nnT 2n故选(A) ' (x - a)n14.若级数z (-1)n (X a)在X>0时发散，在x=0处收敛，则常数 a =(A) 1(B) -1(0 2(D 2oO解：由于(一1)n z1n (_a)n 0n (一L收敛，由此知a w1.当1<

13、;a1时，由于工(-1)nn 4n (x T的收敛半径为1, n因此该号级数在区间(a 1,a+1)内收敛，特别地，在 (0,a+1)内收敛，此与募级数在 x>0时发散矛盾,因此a = 1.故选(B).15. y 2y 5y=e* cos2x的特解可设为(A) y"eAcos2x；(C) y=xe，Acos2x Bsin 2x ;(B) y(D) y=xe-xAcos2x;= e-x Acos2x B sin 2x .解：C三、解答题(任选 4题完成，每题10分，共40分)1.设函数问(1) a,b为何值时，f(x)在x=0处有极限存在?(2)a, b为何值时，f (x)在x

14、= 0处连续?解:(1)要f (x)在x = 0处有极限存在，即要lim f (x) = limj(x)成立x )0 -因为,1 ,lim f (x) = lim (xsin - b) 二 b x )0 -x )0 -xSin x 彳lim f (x)= lim 二 1x.0 'x Q . x所以，当b =1时，有lim f (x) = lim ,f (x)成立，即 x )0 -x_0 -函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时(2)依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是b=1时，函数在x = 0处有极限存在，又因为a可以取任意值。于是有b =1 = f(0) =

15、a，即a = b=1时函数在x = 0处连续。2.求方程中y是x的隐函数的导数(1) xy -ex +ey = 1, y'解：方程两边对自变量 x求导，视y为中间变量，即整理得xe - y y 二yx e(2)设 y =sin(x +y),求 dy dxd2y dx2解：y = cos(x y) (1 ycos(x y)1 cos(x y)2，、-y = sin(x + y) (1 + y) +cos(x + y)，y ,3.设函数f (x)在0,1上可导，且0 < f(X)<1,对于(0 ,1)内所有x有f'(x)#1,证明在(0,1)内有且只有一个数x使f(x)

16、=x.7.求函数设 F(x)=f(x)-x,在0,1上用零点定理，得 F(x)至少有一个零点. 反设 F(x)在0,1上存在两个零点 c1,c2,即 F(c1) = F(c2) = 0,c1,c2K 0,1, 由 Rolle 定理可得至少有 ，w(c1,c2)，使 F'(，)= 0 即(，)1 = 0= f'(，)= 1, 与题设矛盾，故在(0,1)内有且只有一个x,使f(x) = x.y =x2 .-2(1 +x)的单调区间和极值.解 函数y = x2(1+x)的定义域是(-, -1) U(-1, +oo)令y' = x2-x) = 0 ,得驻点 x1 = 2 , x

17、2 = 0(1 x)-20+0-0+极大值极小值故函数的单调增加区间是(_8,_2)和(0, +8)，单调减少区间是 (2, 1)及(1,0),当x=-2时，极大值 f(2) = M ;当 x =0 时，极小值 f(0) = 0.4.求下列积分解：1x3rdx : blm 11x31 x3dx = lim b .1133 blim：2(b3 -1)极限不存在，则积分发散.a222 . _-x - y d；-f (x,y)=Ja2 -x2 -y2是d上的半球面，由一y2d。的几何意义知I=V半千>=-nax y a3.yd二D,D 由 x + y =1,x y =1,x = 0的围成。关于

18、x轴对称，且f (x, y) =y是关于y的奇函数,由I几何意义知，二产仃=0。Q05.判别级数X (-1)n n ?1的敛散性.如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛 ln n解：记 un =(1)nJL1,则 un ln(n +1) 二Vn .n 1二 1显见、 1去掉首项后所得级数n 4 nQOZ Vn仍是发散的，由比较法知 n 1QOQOZ Un发散，从而Z Un发散.又显见 n 4n -21y (1)n 是Leibniz型级数，它收敛n4 ln(n 1)6 .求解微分方程(1) 2xq1 - y2 dx + ydy = 0 的所有解.解 原方程可化为,ydy = 2xdx 、(当y21-y2x2 -V1 -y2 =0为通解。当y2 =1时，即y1