推理与证明、数学归纳法

1、三好高中生（ID：sanhao-youke），为高中生提供名师公开课和精品资料。推理与证明、数学归纳法编稿：辛文升 审稿：孙永钊 【考纲要求】1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异4.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点5.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点6.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题【知识网络】推理与证明归纳推理证明合情推理演

2、绎推理数学归纳法综合法分析法直接证明类比间接证明反证法【考点梳理】【高清课堂：推理与证明、数学归纳法407426 知识要点】考点一：合情推理与演绎推理1推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论2合情推理根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的

3、推理简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理，归纳推理简称归纳(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理，类比推理简称类比3演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理三段论是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提已知的一般原理；(2)小前提所研究的特殊情况；(3)结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断要点诠释：合情推理与演绎推理的区别与联系（1）从推理模式看：归纳推理是由特殊到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理演绎推理是由一般到特殊的

4、推理（2）从推理的结论看：合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。演绎推理所得的结论一定正确。（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.考点二：直接证明与间接证明1综合法(1)定义：综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题综合法

5、是一种由因索果的证明方法，又叫顺推法(2)综合法的思维框图：用表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：. 2分析法(1) 定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理)为止这种证明方法叫做分析法分析法又叫逆推法或执果索因法(2)分析法的思维框图：.得到一个明显成立的条件.3反证法 (1)定义：假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立这样的证明方法叫反证法反证法是一种间接证明的方法(2)应用反证法证明数学命题

6、的一般步骤： 分清命题的条件和结论 做出与命题结论相矛盾的假设 由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真考点三：数学归纳法数学归纳法证明命题的步骤：（1）证明当取第一个值时结论正确；（2）假设当时结论正确，证明时结论也正确，由（1）（2）确定对时结论都正确。要点诠释：1.在证明过程中证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；证

7、明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论；2.用数学归纳法证明问题时初始值的选取：初始值就是我们要证明的命题对象的最小自然数。根据题目不同，初始值不一定从开始。如，证明不等式，初始值应从开始.必须把要把归纳假设用上一次或者多次：在由假设时命题成立，证明时命题也成立，必须把要把归纳假设用上一次或者多次。必须把归纳假设“时命题成立”作为条件来推导出“时命题也成立”是第二步的关键，只有通过归纳假设的使用，才达到由n=k的情况递推到n=k+1的情况，保证了命题的传递性。此处变形的方法较多，要在不同题型中逐步去体会，如证明整除问

8、题、几何问题等。【典型例题】类型一：合情推理与演绎推理例1平面内的1条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，n条彼此相交而无三条共点的直线，把平面分成多少部分？【思路点拨】可通过画当直线条数n为3，4，5时，分别计算出它们将平面分成的区域数，从中发现规律，再归纳出结论.【解析】设平面被n条直线分成部分，则：当n=1时，S1=1+1=2；当n=2时，S2=1+1+2=4；当n=3时，S3=1+1+2+3=7；当n=4时，S4=1+1+2+3+4=11.据此猜想，得.【总结升华】本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概

9、括出整体的情况，是典型的归纳推理.举一反三：【变式1】平面中有n个圆，每两个圆都相交于两点，每三个圆都无公共点，它们将平面分成块区域，有，则的表达式是 .【答案】【变式2】在数列中，a1=1，且，计算a2，a3，a4，并猜想的表达式.【解析】，猜想：.例2证明函数在内是增函数【思路点拨】证明本题所依据的大前提是：在某个区间（a, b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增小前提是的导数在区间内满足，这是证明本例的关键【证明】. 当时，有，所以. 所以在内是增函数【总结升华】演绎推理是由一般到特殊的推理从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理

10、形式都正确的前提下，得到的结论一定正确举一反三：【变式1】有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误【答案】C【变式2】函数yf（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 . 【解析】函数yf（x）在（0，2）上是增函数，由0x+22得-2x0函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数，又函数y=f(x+2)是偶函数，函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数由图象可得f(2.5)>f(1)

11、>f(3.5).类型二：直接证明与间接证明例3(2015春 静宁县校级期中)已知，(其中e是自然对数的底数)，求证：【思路点拨】直接利用分析法的证明步骤，结合函数单调性证明即可.【证明】要证只需证，只需证：取函数则当时，函数在上单调递减当时，有即得证.举一反三：【变式1】(2014春 亭湖区校级期中)在三棱锥A-BCD中，E、F、G、H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.(1) 求证：四边形EFGH是平行四边形(2) 若AC=BD，求证：四边形EFGH为菱形.【证明】(1)E、F、G、H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.四边形EFGH为平行四边形.(2) 若AC=BD,则EF=EH

12、平行四边形EFGH为菱形.【变式2】已知a,b,cR,求证：.【证明】a2+b22ab ，2(a2+b2)a2+2ab+b2=(a+b)2 即,两边开方得 同理可得, 三式相加得：例4已知a3b3=2,求证：a+b2.【思路分析】根据已知条件a3b3，想到立方和公式。【证明】假设a+b>2,则b>2-a，b3>(2-a)3 a3b3>a3(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+22,与已知矛盾，a+b2举一反三：【变式1】设二次函数中的、均为奇数，求证：方程无整数根.【证明】假设方程 有整数根，则成立，所以.因为为奇数，所以也为奇数，且与都必须为奇数.因为已知

13、、为奇数，又为奇数，所以为偶数，这与为奇数矛盾，所以假设不成立，原命题成立.【高清课堂：推理与证明、数学归纳法407426 例5】例5若都为实数，且，求证：中至少有一个大于0.【思路分析】“中至少有一个大于0”的反面是“都不大于0”。【证明】假设都不大于0，则，所以又.因为，所以，所以，这与矛盾，所以假设不成立，原命题成立.【总结升华】正确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，要注意一些常用的“结论否定形式”，另外，需注意作出的反设必须包括与结论相反的所有情况，也只有证明了与结论相反的所有情况都不成立，才能保证原来的结论一定成立举一反三：【变式1】设函数在内都有，且恒成立，求证：对任

14、意都有.【证明】假设“对任意都有”不成立，则，有成立，又这与矛盾，所以假设不成立，原命题成立.类型三：数学归纳法例6用数学归纳法证明等式 对所有均成立.【思路点拨】在利用归纳假设论证等式成立时，注意分析与的两个等式的差别.时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由变为.因此在证明中，右式中的应与-合并，才能得到所证式.所以，在论证之前，把时等式的左右两边的结构先作一分析.【证明】（1)当时，左式=，右式=， 左式=右式，等式成立.（2)假设当()时等式成立，即，则当时，即时，等式也成立，由（1)（2)可知，等式对均成立.【总结升华】数学归纳法的第二步是递推的“依据”，是论证过程的关键

15、，在论证时必须用到时的假设结论，然后通过恰当的推理和计算来证明时命题也成立.数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是与的关系；二是与的关系.举一反三：【变式1】在数列中，当时，且设，证明：数列的各项均为3的倍数.【解析】（1) ，当时，为3的倍数，命题成立.（2)假设当 ()时命题成立，即为3的倍数，则当时，由假设知：为3的倍数，又因为为3的倍数所以为3的倍数，即当时，等式成立.由（1)（2)可知，数列的各项均为3的倍数对均成立.例7已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且对于所有的非零自然数n, 与2的等差中项等于与2的正的等比中项.（1）写出的前三项； （2）求的通项公式；（3）

16、令，求.【思路点拨】归纳-猜想-证明的方法.根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后归纳出其中的规律，写出其通项【解析】（1）由已知得：， 当时，解得； 当时，即，解得；当时，解得.（2）方法一：， ，又,整理得，即 ()，又,是首项为2，公差为4的等差数列，故.方法二：由（1）猜想： ()下面用数学归纳法证明当时已成立假设时，命题成立.即成立 当时， 又, ,的各项均为正数即n=k+1时，结论也成立.由，可知，对一切，.（3） .【总结升华】归纳推理所得到的结论有可能正确，也有可能错误，它的正确性需要严格的证明因此在具体问题中，常常用归纳推理去猜测发现结论，而利用演绎推理去验证或证明发现的结论这也是数学发现的一条重要途径本题考察了与之间的关系；本题既可以用数学归纳法，还可用递推关系.在利用归纳假设进行论证这一步中，应利用去求Sk，而不是利用求和.举一反三：【变式1】已知，又数列的前n项和满足, . (1) 求数列的前n项和及通项； (2) 若，试比较与；与；与的大小，猜测与()的大小关系并加以证明；【解析】（1）由, 可求得：, ,为等差数列，且首项，公差，即,当时，,当时，, .(2)；, ； , . 猜测：. 下面用数学归纳法证明：验证,时成立. 假设n=k时，成立. 即成立，等价于. 则当时， 即时，成立. 由，可得