中考数学易错题专题复习四边形0

1、四边形易错点1:平行四边形的性质与判定.易错题1:如图，在平行四边形 ABC珅，AD= 2AB F是AD的中点，作 CH AB垂足E 在线段AB上，连接 EF CF,则下列结论中一定成立的是 （把所有正确结论的 序号都填在横线上）. 1 一_一_- ,/ DCF= /BCD EF= CF $ bed 2Sa cef； DF D DFE= 3/AEF2错解：正解：赏析：本题由于不能灵活运用平行四边形与三角形的有关内容而造成错解，添加适当的辅助线是解决本题的关键.正确的解法是：如图 1,分别延长ER CD相交于点G二四边形ABCD1平行四边形， AD/ BC AB/ CD AB= CD 又 AD=

2、 2AB F是 AD的中点，. . DF= DC / DCF= / DFC 又. / DFC= / FCB Z DCF= / DFC= / FCB / DCF= 1 / BCD 正确； AB/ CD2/BEC= / FCD 又CE! AB，/ FC氏 90°，又./ A= / FDG AF= DF, Z AFE= / DFG11 . AFE DFG（ ASA , - EF= GF - EF= CF,.正确；.SLbe BEx CE SLecg= CG22XCE 又 E 在线段 AB上，BE< AB= C氏 CG，& bec< &e% 又EF= GFSaef

3、= Safcg（等底同高的三角形面积相等），Sa ECG= 2SaEFfC,S BEC< 2s EFC,.错误；FG FC,/ 8 / FCG / AEF= / FCG / BCD= 2/AEF 又 / BCD= /A, / A= 2/AEF 又./DFE= /A+ /AEF .DFE= 3/AEF，正确.故答案填.图1易错点2:平行四边形与三角形面积求法的区别；平行四边形与特殊平行四边形的关系易错题2：如图，点P为平行四边形 ABCD（勺边AD上一点，E、F分别为PB PC的中点, PEF PD（C PAB勺面积分别为 S、S、&.若 S= 2,则 S+& =.错解：6

4、正解：8赏析：本题若没有掌握平行四边形面积的特殊性，容易造成错解.如图2,过点P作PH1，CB交CB的延长线于点 H,过点A作AGL CB交CB的延长线于点 G则及pb 一 CBX PH 2-1 -Sa abc= -CB< AG So ABC/ CBK AG ;四边形 ABC时平行四边形，四边形 AGH明矩形，2PH= AGSaABC= Sa pbc= Se ABCQ 又S/ PD叶 S PAB+ S PBk Sd ABCQ & PDC= Si , Sapab= S2,Si2_1EF1+ S2= Saabcd . E、F 分力1J为 PB PC 的中点，EF/ CB =. PEF

5、 PBC2CB2S PEF, EF、2, 1、211运 =()=()=,. PEF的面积为 2 , . SpBC= 8 , SaABCD= 16, . - S + S2=SpbcBC，'2，42x 16=8.G图2易错点3:平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，过对称中心的任意一条直线把它的面积平分；对角线将平行四边形面积四等分易错题3:如图，已知：在 ABO, AB= AC若将 ABCg点C顺时针旋转180°得到 FEC(1)试猜想AE与BF有何关系，并说明理由；(2)若ABC勺面积为4cmi,求四边形 ABFE勺面积；(3)当/ ABC多少度时，四边形 ABFE矩形？

6、请说明理由.错解：(1) AE= BF理由如下：由旋转可得 AC= FC, BC= EC且AC与FC, BC与EC分 别在一条直线上，/ ACE= / FOB .AC摩 FOB ( SAS ,，AE= BF(2) - Saabc= 4, S 四边形 ABFE= 2 S ABC,S 四边形 ABFE= 4 x 2= 8 (cm2).(3)当/ABC= 45° 时，四边形 ABFEM矩形.理由如下：.一/ ABC= 45° , AB= AO， /BA已90° , 四边形 ABF比矩形.正解：(1) AE= BF , AE/ BF理由如下：二将 ABC绕点C顺时针旋转1

7、80°得到 FEC，由旋转可得 AC= FO BC= EC且AC与FO BC与EC分别在一条直线上，四边形 ABFE平行四边形，AE= BF , AE/ BF(2)由旋转可得 AB8AFECSabc= Safec,又AC= FO BC= ECSaabc= 及 ACE2、Safee Sabfc, S°abfe= 4 S aabc= 4X4=16 （cm）.（3）当/ ABC= 60°时，四边形 ABF比矩形.理由如下：: AB= AC Z ABO 60° ,， ABC是等边三角形，BC= AC又 AC= FC BC= EC，AF= BE又二四边形 ABFE

8、是平 行四边形，四边形 ABF既矩形.赏析：第（1）小题错在只得出了数量关系，没有判断位置关系；第（2）小题可能是根据一条对角线把平行四边形的面积平分而造成错解，这里ABC的面积不是四边形 ABFE面积的一半，且没有证明四边形ABFE平行四边形；第（3）小题错在由条件只能得到/ BAC= 90。，而不是/ BAE= 90。，且没有证明四边形 ABFE平行四边形.易错点4:平行四边形中全等三角形与相似三角形的运用易错题4：如图，DABCD勺对角线AC BD相交于点Q P为对角线BD上一点，过点 P 作EF/ AC交AB于点E,交BC于点F, AC= 3, BD= 8,设BP= x, EF= y,

9、贝U y与x之间的 函数关系图象是（）错解:A正解：B赏析：本题错解的主要原因是只考虑了点P在BO上时的情况.虽然图中点P在BO上，但题目中说的是 P为对角线BD上一点，所以应分两种f#况讨论求解：当P在BO上时，即0<x<4, .四边形 ABC虚平行四边形，BD= 8, . BO D& 4, v EF/ AC.BEM BAC BPF-ABOC BF=-EF, 见=空 .正=空 又.AC= 3, BP= x, EF= y, BC AC BC BO AC BO, /.y= 3x;当P在DO上时，即4<x<8,如图3,二四边形ABCD1平行四边形,344-_ DF

10、EFBD= 8 ,BO DO 4, . EF/ AG 二 DEM DAC DP% DOC =，DFDCDPDO 'DC ACEF =空 ,又. AC= 3, DP= DB- BP= 8-x, EF= y, /. - =8 , . . yAC DO343=-x+6.，y与x的函数是分段函数，其关系图象的两部分都是直线，故选 B.4易错点5:矩形、菱形与正方形的概念、性质与判定以及相互间的关系易错题5:如图，在正方形纸片 ABCD对角线AC BD交于点Q折叠正方形纸片 ABCD 使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AR AC于点E、G 连接FG下列结论：/

11、AGD= 112.5° ;tan / AED= 2;'ag户Saogd四边形 AEFO 菱形；BE= 20G其中正确结论的序号是 .错解：正解：赏析：本题的综合性较强，不能很好地利用正方形的特殊性质是造成错解的主要原因.对于：.四边形 ABCD1正方形，/ ADB= / DAC= / ABD= 45° ,由折叠可得 ADEEVA FDE / ADE= Z FDE= ogp G0< DO，Sagd>Sogd 故错误；又于：/ AGD 112.5，/ AGE 180 /AGD 180 112.5 = 67.5 ,又.在 RtAAED, Z ADE= 22.5

12、, Z AED= 90 /ADE= 90° 22.5= 67.5, AE= AG 又由折叠可得， AE= FE AG= FG AE= EF=GF= AG，四边形 AEF黑菱形，故正确；X行1：二四边形AEFG菱形，EF= GF AB /GF，/GFe Z ABO= 45° , .GFO EBF均为等腰直角三角形， GF= J2 GO，EF =J2G0又BE= JEF,，BE= J2 x 72GO= 2G0故正确.，本题答案为易错点6:四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等操作型问题 Z ADB= 1 x 45 = 22.5 , . Z AGD= 180° /DAC_Z

13、 ADE= 22180° 45° 22.5 ° = 112.5 ° ,故正确；对于：由折叠可得/EFB= 90° ,又/ ABD=45 , .BEF是等腰直角三角形，BE= J2 EF,又EF= AE,. .BE=&AE,. AD= AB=（点+1）AE 在 RtAADE, tan Z AED=毁=（妇+ 1）AE = & + 1 故错误；对于 AE AE1：由折叠可得 AG= FG 又.在 RtAOGI, GF> OG -AO OG 又 = S ag= - AG< DO S 2易错题6: 的P点处.(1)如图求证：

14、已知矩形ABCD勺一条边AD= 8,将矩形ABC而叠，使得顶点B落在CD边上 1,已知折痕与边 BC交于点O连接AR OP OAOCZ PDA若 OCPAPDA勺面积之比为1 ： 4,求边AB的长；(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点，求/ OAB勺度数；(3)如图2,在(1)的条件下，擦去折痕 A0线段OP连接BP动点M在线段AP上 (点M与岚P、A不重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN= PM连接MN PB于点F,作MH BPT点E试问当点 明理由；若不变，求出线段M N在移动过程中，线段 EF的长度是否发生变化？若变化，说 EF的长度.错解：(1)如图1, =Z D= 90

15、76; .由折叠可得.四边形 ABCM矩形，AD= BC DC= AB / DAB= / B= Z C AB APO AP= AB PO= BO / PAO / BAO / APO / B,OC叫 PDA的面积之比为1 ： 4, . 匹=史CPPD PA DA11”-=-.pPD= 2OC DA=，/APO= 90° , ./ AP氏 /POC 又./ D= / C, OCP PD/A(2)如图 3, P是 CDa的中点，DP=二 DCDC= AB AB= AP, . . DP= 1AP . /2CPAD= 8, .CP= 4, BC= 8.设 OP= x,则 OB= x, CO=

16、8-x.在 RtAPCO), . Z C= 90° , CP= 4, OP= x, CO= 8 x,，由勾股定理得 x2 = (8 x)2 + 42.解得 x=6, AB= AP= 2OP= 2 X 6= 12.21,。一, ./ DAP= 45 , . . / DAB= 90 ,21 APDP AD= 90 , 在 Rt DAF, sin / DAP =2AP AP.Z PAB= 90° 45 = 45 ,又./ PAO= / BAO / OAB= 22.5(3)当点M N在移动过程中，线段 EF的长度发生变化，因为当点 M N在移动时，点 E、F也随之移动，所以线段 E

17、F的长度发生变化.P图3正解：(1)如图 1,二四边形 ABCD矩形，AD= BC DG= AB / DAB= Z B= Z C=Z D= 90° ,由折叠可得 AB APQ AP= AB PO= BQ / PAO / BAQ Z APO / B, /APO 90 , APD= 180° -Z APO- /CP9 180 90 /CP® 90 /CPQ 又在PCS, /PQC= 90° -Z CP(Q . Z APD= /PQC又D= / C, .QCZ PDA QCP与 PDA的面积之比为 1：4, 且 QC。 PDA,，QC QP CP1 1= =

18、=J- = . . PD= 2QC DA= 2CP . AD= 8, - CP= 4, BC= 8.设 QP= xPD PA DA4 2则 QB= x, C0= 8-x.在 RtAPCQ), ./ C= 90 , CP= 4, QP= x, CQ= 8-x, .由勾股定 理得 x2= (8 x)2+42.解得 x=5, .AB= AP= 2QP= 2X5=10.21 AP2AP(2)如图 3, P是 CM的中点，D - DC . DC=AB AB= AP,，D由1 AP/1,，。一, ./ DAP= 30 , / DAB= 90 ,2,DPD= 90 , ,在 RtADAF, sin / DA

19、P= APPAB= 90° 30° =60 ,又. / PAO / BAQ，/ QAB= 30° .(3)如图 4,过点 M作 MQ AN 交 PB于点 Q / AP= AR MQ AN,. / APB= / ABP/ABP= /MQP，/APB= /MQP z. MP= MQ 又MEL PQ . . PE= EQ= 1 PQ-BN= PM MP 2 . QMF =. BNF= MQ，BN= MQ 又由 MQ AN 得/QMF/ BNF 在 MFG 口 NFB43, NQFM =NBFN , QM = BN _1_ _ _ 1 _ 1 _ 1 _,. .MF姿 A

20、NFBAAS),QF=BF . .QF= QB . EF=EQb QF= Pg - QB= PB由(1)22 2 2可得，PC= 4 , BC= 8 , /C=90° , .在 RtPBC 中，由勾股定理得，PB=JbC2 +PC2 =48 +42 =4而,EF= 1 PB= 1 x 475 = 2 j5. .在(1)的条件下， 22当点M N在移动过程中，线段 EF的长度不变，长度为 2卮赏析：本题（1）中证明过程不完整，因为对条件/APD= / PQC有写出证明过程，1，中在最后解方程时出现了错误；（2）中特殊角的三角函数值弄错了，正弦值为一的锐角2应是30。，而不是45。； （

21、3）中错在仅由点 E、F在移动就得出线段 EF的长度发生变化，虽然点E、F在移动，但线段 EF的长度仍有可能不变，应通过计算来说明线段EF的长度是否发生变化，通过作辅助线构造全等是解决本小题的关键易错练1 .如图，在 DABCDK / ABC= 60° , E、F分别在 CD和 BC的延长线上，AE/ BQ EFL BGEF=杂,则 AB=2 .如图，在矩形 ABCDfr,边AB的长为3,点E F分别在AD BC上，连接BE DF EF, BD若四边形BED喔菱形，且 EF= A&FC,则边BC的长为.3 .如图，在 ABC43,点E D F分别在边 AB BC CA上，且D

22、E/ CA DF/ BA下列判断： 四边形AED用平行四边形；若/ BAC= 90° ,则四边形AED用矩形；若AD平分/BAC则四边形AEDF1菱形；若ADL BC且AB= AC则四边形AEDF1正方形.其中正确的有()A.B.C.D. 4.如图，在矩形 ABCW, M N分别是 AD BC的中点,P、Q分别是 BM DN的中点.(1)求证： MB库ANDC(2)四边形MPNQb什么样的特殊四边形？请说明理由5 .在正方形 ABCD,动点E、F分别从 H C两点同时出发，以相同的速度在直线DC CB上移动.(1)如图，当点 E自D向C,点F自C向B移动时，连接 AE和DF交于点P,

23、请你写出AE和DF的关系，并说明理由；(2)如图，当E、F分别移动到边 DC CB的延长线上时，连接 AE和DF, (1)中的结论 还成立吗？(直接写出答案，不需证明)(3)如图，当点 E F分别在边CD BC的延长线上移动时，连接 AE DF, (1)中的结 论还成立吗？请说明理由；(4)如图，当点 E、F分别在边DC CB上移动时，连接 AE和DF交于点P,由于点 E、F 的移动，使得点 P也随之运动，请你画出点 P运动路径的草图.若AD= 2,试求出线段 CP的 最小值.参考答案易错练，1-1解折:四边形T3CD为平行四边形"B" CD一廿二Cd又，四边 形TEZ1E

24、为平行四边形一"8二应：，.二加=仪)=。£=1底.又/meo。，J.N2CF一EFEF 、6= 60* ,又TCF_LBa，在 RiAZCr 中? sm/ECF= , .EC=半=2,EC sin 60c 木 ) 一/kB=- X2=l.2.3 73 解析：.四边形 BEDF是菱形, . BE= BF= ED, E0= FQ EF±BQ Z EB= / FBQ又.四边形 ABC虚矩形，./ A= /ABG= 90° , AD= BG，AD- ED= BG- BF, . AE= FC, 又EF= A曰 FG . AE= E0= F0= FCRtAABE

25、RtAOBE ( HLO , . / ABE= /OBE，/ABE= / OB号 / OBF .ABE= 1X 90 = 30 .在 RtABE中，cos Z ABE=些，AB= 3,3AEAE= -3 = -3 =2 J3 , . AE= - BE= 1 x 2 了 =技 BC= BF+ FC= BE+ AE= cos30 3-2222 73+百=3技3 .C 解析： DB CA DF/ BA，四边形 AEDF平行四边形，丁.正确；: / BAC= 90° , 且四边形 AEDF1平行四边形，正确； 八次分/ BAC，/ EAD= / FAD又= DE/ CA ，/FAD= /EDA / EAD= /EDA EA= ED 又二四边形 AEDF平行四边形，四边形 AEDF是菱形，正确；AB= AC且ADL BC，AD平分/ BAC，由得，四边形 AEDF 是菱形，错误.，选C.4 .解:(1) 瞒：丫四边形dBCD是矩形，乙1=/仁90