随机过程2012B27卷及问题详解

1、河北科技大学2012 2013学年第一学期应用随机过程试卷（B '）学院理学院班级姓名学号得分概念简答题（每题5分，共40分）1.写出ARMA （p,q ）模型的定义2.写出卡尔曼滤波的算法公式题号-一一二二二总分得分3. 一书亭用邮寄订阅销售杂志，订阅的顾客数是强度为6的一个泊松过程，每111 一位顾客订阅1 年, 2 年, 3年的概率分别为彼此如何订阅是相互独立的， 2 3 6每订阅一年，店主即获利5元，设Y(t)是0,t)时段内，店主从订阅中所获得总收入。试求：(1) EY(t)(即0,t)时段内总收入的平均收入)；(2) DY(t)。4. 已知平稳过程X(t)的功率谱密度为Sx

2、(w) 严 £，试求其自相关函数w 10w9Rx()。5. 设某设备的使用期限为10年，在前5年平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年维修一次，试求在使用期限内只维修过一次的概率2d6设 X(t)为二阶矩过程，RX(t1,t2) e (t1 t2)，若 Y(t) X(t) X(t)，试求 dtR (t1, t2) 07.随机过程X(t) A (t),t T,A: N( , 2)是否为正态过程，试求其有限维分 布的协方差阵。8什么是随机过程，随机序列?10分，共60分)1. 设X(n),n 0是具有3个状态1,2,3的齐次马尔可夫链，一步转移概率矩阵1/ 4 1/ 21/4为P 1/

3、21/41/4 ，初始分布为01/ 4 3/4P1(0) PX(0) 1 1/2, p2(0) 1/3, p3(0) 1/6(1) 试求 PX(0)1,X(2)3;(2) 试求 P X (2)2;(3) 此链是否具有遍历性？(4) 试求其平稳分布。2. 设马尔科夫链的状态空间为匸0,1,步转移概率矩阵为0.50.4 0.1P= 0.30.4 0.3，求其相应的极限分布。0.20.3 0.53. 设随机过程X(t) Xcos2t,t (,),X是标准正态分布的随机变量。试求数学期望E(Xt)，方差D(Xt)，相关函数Rx(ti,t2)，协方差Cx(ti,t2)。n4. 一维对称流动随机过程Yn,

4、Y。0,YnXk, Xk具有的概率分布为k 11p(Xk1) p(Xk 1)-，且Xi,X2,.是相互独立的。试求Yi与Y2的概率分布及其联合概率分布。5. 设到达某图书馆的读者组成一泊松流，平均每30min到达10位。假定每位1读者借书的概率为-，且与其它读者是否借书相互独立，若令Y(t),t 0是借书3读者流，试求：(1 )在0,t) (t 0)内到达图书馆的读者数N(t)的概率分布；(2 )平均到达图书馆的读者人数；(3) 借书读者数Y(t)的概率分布。6.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x, y)=2 x y,00,其他x 1,0 y 1试求 px<3y河北科技大学20

5、12 2013学年第一学期应用随机过程试卷(B ')答案一 概念简答题(每题5分，共40分)1. 写出ARMA (p,q )模型的定义答：自回归移动平均ARMA(p,q)模型为Xt iXti 2Xt 2 L pXt p 1 t 12 t 2 L q tq，其中，P 和 q 是模型的自回归阶数和移动平均阶数；，是不为0的待定系数；t是独立的误差项；Xt是平稳、正态、零均值的时间序列。2. 写出卡尔曼滤波的算法公式答：X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k)仆)P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A' +Q (2)X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)

6、-HX(k|k-1)(3)Kg(k)=P(k|k-1)H' /(HP(k|k-1)H ' +R)(4)P(k|k)=(I-Kg(k)H) P(k|k-1)(5)3一书亭用邮寄订阅销售杂志，订阅的顾客数是强度为6的一个泊松过程，每位 顾客订阅1年，2年，3年的概率分别为,1,丄，彼此如何订阅是相互独立的，2 3 6每订阅一年，店主即获利5元，设Y(t)是0,t)时段内，店主从订阅中所获得总收入。试求:(1) EY(t)(即0,t)时段内总收入的平均收入);(2) DY(t)答:设X(n)为店主从第n个订阅者处的收入，则X( n)51015P1/21/31/6N(t)且 X(n)相

7、互独立，EX(n)50/6,EX2(n)500/6，则总收入为 Y(t) X(n)n 1由于Y(t)是复合泊松过程，故 EY(t)50t, DY(t)500t4已知平稳过程X(t)的功率谱密度为Sx(w)42 小w 10w9试求其自相关函数Rx()答：因为Sx(w)2w 442 w 10w95/83/82 - 2 w 9 w 1故有维纳一辛钦公式得Rx()SX(w)eiw dw48165.设某设备的使用期限为10年，在前5年平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年维修一次，试求在使用期限内只维修过一次的概率。答：因为维修次数与使用时间有关，故此过程是非齐次泊松过程，强度函数为1/2.50 t

8、5(1/25 t 10105110 1则在使用期限内平均维修次数为 m(10)0 (t)dt 0dt 5 -dt 4.500 2.55 2故在使用期限内只维修过一次的概率为PN(10) N(0) 1 0.056 .设 X(t)为二阶矩过程，Rx(tt2) e®*，若 Y(t) X(t) X(t)，试求 dtR (t1, t2)。答:RY(ti,t2)EY(tJY(t2) E(X(tJ *X(ti)(X(t2)X(t2)dt1dt2pipiHHEX(ti)X(t2)X(t2) X(ti) X(tih-X(t2)-X(tih-X(t2) dt|dt2dt1dt223 4(ti t2)2e

9、 (t1 t2)7 随机过程X(t) A (t),t T,A : N( , 2)是否为正态过程，试求其有限维分 布的协方差阵。答：由于 X(t) A (t),t T,A: N( , 2), ti t2 L tn T，对任意常数 ai,L 务， nn线性组合aiX(ti) ( ai (ti)A服从一维正态分布，故(X(ti),L,X(tn)服从ni 1i 1维正态分布，所以X(t)为正态过程 又对于任意的ti,tj,X(ti)与X(tj)的协方差为CijCov(X(ti),X(tj) E(X(ti) mx (ti)(X(tj) mx(tj)2 2 2E(A (ti) (ti) )(A (tj)(

10、tj) ) (ti) (tj)E(A ) (ti) (tj)(ti) (tj)n,X(t)L X(tn)的协方差矩阵为 C = (Cj)nn ( ' (ti ) (tj)nn8什么是随机过程，随机序列?答：设T为0，+ )或(-，+ )，依赖于t(t T)的一族随机变量(或随机 向量) t通称为随机过程，t称为时间。当T为整数集或正整数集时，则一般 称为随机序列。综合题(每题10分，共60分)步转移概率矩阵1. 设X(n),n0是具有3个状态1,2,3的齐次马尔可夫链,1/ 41/ 21/4为 P 1/ 21/ 41/4，初始分布为01/ 43/4Pi(O) PX(0) 1 1/2,

11、p2(0) 1/3, p3(0) 1/6(1) 试求 PX(0)1,X(2)3;(2) 试求 P X (2)2;(3) 此链是否具有遍历性？(4) 试求其平稳分布。(1)PX(0)1,X(2)3P X (0)1 P X (2)3| X(0)1316分)(2)PX(2)231965/165/163/8答：根据已知条件得P1/43/83/81/ 81/ 45/8(2 分)(2 分)(2 分)(3) 因为P的腹元均大于0 ,故此链具有遍历性。(4) 平稳分布满足等式11 口12 p213p310.25 10.522 1 p122 p223 p320.5 1 0.2520.25 331 p132 p2

12、33 p330.25 1 0.2520.75 31231解得 11/5, 23/10, 31/2131故平稳分布为 (1, 2, 3)(, )5 10 2(2分)2. 设马尔科夫链的状态空间为匸0,1,2, 步转移概率矩阵为0.50.40.1P=0.30.40.3，求其相应的极限分布0.20.30.5（W°,W1,W2）,由W=WP得到方程组0.5W00.3w-i0.2w2w00.4w00.4w-!0.3w2w0.1w00.3w-!0.5w2w?w0w1w21解：设其极限分布W解方程组得到：w021622362931(5 分)(5 分)3. 设随机过程X(t) Xcos2t,t (）

13、,X是标准正态分布的随机变量。试求数学期望E(Xt)，方差D(Xt)，相关函数Rx(t1,t2)，协方差Cx(t1,t2)。解：因为 X(t) Xcos2t,t (,),XN(0,1), E(X) 0, D(X) E(X2)1，(2 分)所以 E(Xt) E(X cos2t) cos2t E(X) 0,(2 分)2 2D(Xt) D(X cos2t) cos 2t D(X) cos 2t,(2 分)Rx(t1,t2) EX(t1)X(t2) EXcos2t X cos2t cos2 2t,( 2分)Cx(t1,t2)Rx(t1,t2)E(tJE(t2)Rx(t1,t2)cos22t.(2 分)

14、n4. 一维对称流动随机过程Yn,Y。0,YnXk, Xk具有的概率分布为k 11p(Xk1) p(Xk 1)-，且XX2， 是相互独立的。试求丫!与Y,的概率分布及其联合概率分布。解：因为丫 X!,Y2 X! X2,所以丫的概率分布为:1 1pY 1PX1 1 -,pY11pX11丫2的概率分布为pY2 2 pX1 1,X2 11 1 1pX1 1 X2 1 - - 4，1 p篦2 pX11,X21-,4pY2 0 pX11,X2 1 pX1 1,X21442（2 分）(2 分)(2 分)(2 分)(2分)pY1上12 -,p1,丫2 240,p¥11丫2。 4pY1,丫2120,p¥1,丫22-,4pY 1,丫20寸Y1与Y2的联合概率分布:5. 设到达某图书馆的读者组成一泊松流，平均每30min到达10位。假定每位1读者借书的概率为1，且与其它读者是否借书相互独立，若令Y(t),t 0是借书3读者流，试求：(1 )在0,t) (t 0)内到达图书馆的读者数N(t)的概率分布;(2 )平均到达图书馆的读者人数;(3)借书读者数Y(t)的概率分布。1答：设t的单位为分钟，则N(t)是强度为丄的泊松过程，故3k(1) N(t):(1t), PN(t) k &et/3,