一阶线性微分方程

1、复习 1 微分方程的概念。2 微分方程的阶数。3 一阶线性微分方程的概念。4 分离变量法。讲解新课第三节 一阶线性微分方程形如 (1)的方程，叫做一阶线性微分方程其中为已知函数。当，方程（1）变形为 （2）称其为方程（1）的一阶齐次线性微分方程.当不恒等于零，方程叫做一阶非齐次线性微分方程.一 一阶线性齐次微分方程的解法一阶线性齐次方程（2）显然是可分离变量的方程，下面先求其通解。将分离变量得，两边积分得，。这就是的通解公式。例1 求微分方程的通解.解：分离变量，可得 ，两端积分 ，得 ，因此 ，其中即为齐次线性方程的通解.（或直接代入公式）例2 如图，电路在换路前已处于稳态，电感的电流为。时

2、开关闭合，它将串联电路短路，求短路后的电路中的零输入响应电流。解 在所选参考方向下，由得换路后的电路方程，元件的电压电流关系为，代入方程得，它是一阶常系数线性齐次微分方程，其通解为，由，得，解得电感的零输入响应电流为二 一阶线性分齐次微分方程的解法因为的通解公式为，显然当为常数时，它不是的解，由于非齐次线性方程右端是的函数，因此，可设想将中的常熟换成待定函数后，式子有可能是的解。令为非齐次线性方程的解，并将其代入后得，即，两边积分得。将代入即得非齐次线性方程的通解为。上式称为一阶非齐次线性方成通解公式。 这种求解方法称为常数变异法。用常数变易法求解非齐次线性方程的通解的步骤为：（1）首先求解非

3、齐次线性方程所对应的齐次线性方程的通解.（2）将齐次线性方程通解中的任意常数，变易为待定函数，设为非齐次线性方程的解，将含有待定函数的解代入原方程，解出.（3）写出所求方程的通解.例3 求微分方程的通解.解：所给方程的齐次线性方程为 ，它是可分离变量的微分方程。分离变量，可得 ，两端积分 ，得 ，因此 ，其中即为齐次线性方程的通解.因为所求齐次方程的通解为，因此设原方程的通解为.将和 代入到方程中去，有，整理，得，此为可分离变量的微分方程，可以解得. 因此原微分方程的通解为 ，其中为任意常数.例4 求微分方程（1），（2）的通解.（1）解一 原方程可化为 ，令 ，则 ，即 ，两边取积分 ，积分

4、得 ，将代入原方程，整理得原方程的通解为 （为任意常数）.解二 原方程可化为 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 ，得其通解为 .设为原方程的解，代入原方程，化简得 ， ，所以原方程的通解为 ，即 （为任意常数）.（2）解一 原方程对应的齐次方程 分离变量，得，两边积分，得 ，用常数变易法.设代入原方程，得 ，故原方程的通解为 （为任意常数）.解二 这里，代入通解的公式得 =（为任意常数）.例5 求方程的通解。解 将原方程改写成 这是一阶非齐次线性方程。此时，由公式得方程的通解为。例6求方程的特解，初始条件。解 原方程可改写为 ，由通解公式得方程的通解为 =，将代人，求得特解为。练习 求下列微分方程的通解.（1），（2），（3），（4），（5）。答案 (1)，(2)，(3)(4)，(5)。小结 常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式，也可直接利用公式