06级研矩阵论试题与答案_第1页
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文档简介

一（10分） 设是实的维线性空间，是上的线性变换，任取，若，（1）证明为的一个基；（2）求在上面基下的表示矩阵。解：（1）由于线性空间是维的，只需证明这个向量线性无关。设上式两边作用再由两边作用类似。这说明线性无关。（2）由于即所以，上式右边的矩阵即为所求。二（10分）在中，其中（1）求正交投影矩阵；（2）求在和上的正交投影。解：（1）根据P58计算公式，（2）在上的投影：，在上的投影：三（20分）设，已知的特征多项式为，（1）求的初等因子组；（2）写出的标准形；（3）求可逆矩阵满足解：（1）行列式因式，这是因为显然，由已知，而，互素，所以不变因子，初等因子组为：（2）Jordan标准为（3）记，由得解之得四（10分）设，是上的一个算子范数，如果，（1）证明可逆（2）证：（1）方法一的特征值：，的特征值：从而可逆。方法二反证。如不可逆，则有非零解，从而（这里向量范数与矩阵范数相容），矛盾。（2）结论。五（20分）对下面微分方程组，（1）求的最小多项式；（2）求（3）求该方程组的解。解：（1）易求得，易验证（2）设（3）六（20分）对下面矛盾方程组 （1）求的满秩分解；（2）计算；（3）求该方程组的极小范数最小二乘解。解：（1）， ，（2），（3）七（10分）设， （1）求和（2）如果是的极小值点，证明为下面方程组的解 解（1）（2）如果是的极小值点，则。或者方

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