《复变函数与积分变换》习题册

1、第一章复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算；熟悉复平面、模与辐角的概念；熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式;了解区域的概念；理解复变函数的概念；理解复变函数的极限和连续的概念。一、填空题1、若等式 i(5-7i) =(x+i)( y i)成立，贝U x =, y=.2、设(1+2i)x+(3-5i)y =1-3i , WJ x = , y=3、若 z= 1- 2+i，则 Z = i 1- i.(3+ i)(2- 5i)皿-4、右 z=,贝U Rez=2i 2 i 5、若 z=i4 -则 z=1 i6、设 z =(2+i)(-2+i),则 argz

2、=7复数z =1-i的三角表示式为, 指数表示式 为 08、复数z = -V12-2i的三角表示 式为 ,指数表示 式为.9、设乙=2i ,z2 = 1 - i ,则 Arg (z1z2) =.i 二10、设zMe4,贝U Rez=. Im(z)=。 z=11、.方程z3 + 27 = 0的根为.12、一曲线的复数方程是z-i =2 ,则此曲线的直角坐标方程13、方程Im( i z) = 3表示的曲线是14、复变函数w -z2的实部u(x, y)=虚部 v(x, y) =15、不等式z-1 +z + 1|<4所表示的区域是曲线 的内部。16、弭二 二、判断题(正确打，错误打父)1、复数

3、7+6i >1+3i .()2、若z为纯虚数，则z#Z.()3、若a为实常数，则a=a()4、复数0的辐角为0.5、f (z) =u +iv在z0 =Xo +iy0点连续的充分必要条件是 u(x, y), v(x, y)在(Xo, yo)点连续。()6、设z1，z2为复数，则z/2 二|乙z。()7、z, +z2®zj 十忆2(),228、参数方程z=t +ti (t为实参数)所表示的曲线是抛物线 y = x .()三、单项选择题1、下列等式中，对任意复数z都成立的等式是A.z z=Re(z z)B. z z =Im(z z)C. z z=arg (z z)D. z z =|z

4、|2、方程z3 =8的复根的个数为()A. 3个B. 1个 C. 2个D. 0个3、当2="时，z100+z75+z50 的值等于()1 -iA iB -iC 1D -14、方程z+2-3|=亚所代表的曲线是()A中心为2-3i ,半径为V2的圆周B中心为-2+3i ,半径为2的圆周C中心为-2 +3i ,半径为22的圆周D中心为2 3i ,半径为2的圆周四、计算题1.求出复数z =(-1+i J3)4的模和辐角。2 设z = x + iy满足Re(z2 +3) = 4,求x与y的关系式3、将复数z =板-6i化为三角表示式和指数表示式。4、求复数1- cosj +isinj ,(0

5、 #j p)的三角表示式、指数表示式及幅角主值5.将直线方程2x+3y =1化为复数形式6、求以下根式的值:(1). -2 2i41第二章解析函数本章知识点和基本要求理解复变函数的导数及复变函数解析的概念；掌握复变函数解析的C-R条件，并能利用C-R条件判断复变函数的可导性和解析性；掌握解析函数的基本性质；了解指数函数、三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质。一、填空题1、Ln(1+i)的主值为2、Ln(- i)=,主值为3、设 ez=3+4i,贝URe(iz)=4、3i =.5、(1 +i)i _.7、指数函数ez的周期是8、设 f (z) =(1 z)e" ,贝U f '

6、;(z) =9、设 f (z) =x3+y3+ix2y2,贝f'(1 + i)=10、已知函数 f (z) = (2x+1)y + v(x, y)i 解析，贝U f (i) =11、.函数f (z)=u+iv在z0 =比+iy0点连续是f(z)在该点解析的条件二、判断题(正确打，错误打黑)1、 .若(z)在区域D内处处为零，则f (z)在D内必包为常数。()2、 .若f (z)在Z0点不解析，则f (z)在Z0点必不可导。()3、函数 f (z) = u( x, y)+iv( x, y*点 zo = xo + iyo可微等价于 u(x, y)和v(x, y)在点(xo,yo)可微。()

7、4、sinz <1.()5、函数ez是周期函数。()6、设函数f (z)在点zo处可导，则f(z)在点zo处解析。()7、对于任意的复数z1,z2 ,等式Ln(z1.z2) = Lnz1+Lnz2，lB成立。()8、不等式Re(z) <2表示的是有界闭区域。()9、对于任意的复数z,整数n ,等式Lnzn = nLnz恒成立()三、单项选择题1、下列点集是单连域的是()A . Re(z) > 2B.1< z ? 3C.|z £1D.2#argZ 2+ p2、下列所示区域中是多连域的为()A. Im z 0 B. Rez ： 0 C. 0 二 z ： 1 D.

8、: argz 二3、函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4、下列说法正确的是()A、f(z)在zo可导的充要条件是f (z)在zo处解析。B、f(z)在zo可导的充要条件是 u,v在zo处偏导数连续且满足C-R条件。C、f (z)在Zo可导的充要条件是 “2)在20处连续。D、f (Z)在Zo可导的充要条件是U,V在Zo处可微且满足C-R条件sinz的命题中，错误的是(B.sinz是解析函数C.|sinz|MlD. (sin z) = cosz6、以下说法中，错误的是A.复指数函数ez具有周期B.幕函数za

9、(a为非零的复常数)是多值函数C,对数函数Lnz为多值函数D.在复数域内sinz和cosz都是有界函数7、设f(z)=sinz,则下列命题中错误的是(5、在复平面上，下列关于正弦函数A.sinz是周期函数A. f(z)在复平面内处处解析B. f(z)以2n为周期iz_izC. f (z)D - f(z)是无界的四、计算题判断下列函数在何处可导，在何处解析？ f (z) =2x3 3y3i(2) f (z) =(x -y)2(3) f (z) = xy ix y 2(x y)i第三章复变函数的积分本章知识点和基本要求了解复变函数积分的定义及性质；会求复变函数的积分；理解柯西积分定理，掌握柯西积分

10、公式；0掌握解析函数的高阶导数公式；了解解析函数无限次可导的性质；会综合利用各定理计算闭路积分。一、填空题、I rr , , 一一 ，一一，L 111、设曲线C是正向圆周z=2,则 dz=,2dz =.tz-1b(z-1)z rr e . 2r dz =。c(z -1)2、设C为从点乙=-i到点z2 =0的直线段，则1zdz =.13、若C为正向圆周z=2,则dz=.2 rn2z2+z+14、若 f)= °dzq#2,则 f3 5)1 =,f(1) =f (1)=z5、 7 dz(c: z =4)的值是Ucz3二、单项选择题1、若f(z)在D内解析，9(z)为f(z)的一个原函数，则

11、(A. f(z)="z)B. f (z)= ：,(z)C. ：，(z)= f (z)D. ：(z)= f(z)2、下列积分中，积分值不为0的是(A. J(z +2z)dz , z-1 =2C.1-z, z=1 c z三、计算题1、沿下列路径计算积分Qzdz(1)从原点到3 + i的直线段(2)从原点沿实轴到3,再从B.ezdz ,|z=2 c3垂直向上到3+iD.江dz, z=2 4z-12、沿下列路径计算积分1z2dz(1)从原点到1 +i的直线段(2)从原点沿实轴到1,再从1垂直向上到1+ii3 i3、计算(coszdz。4、计算积分o (2z-3)dz.5、J(x y+ix2)

12、dz,其中C是从点0到1+i的直线段C .2z3 一一6、设C为从-2到2的上半圆周，计算积分Wdz的值 C z7、FfLdz, C为正向圆周|z=2C z -18、计算积分1，其中C为圆周Z =3,且取正向LC(z-i)(z+4)c斗智汗2z+1+2i ”9、计算匚dz ,白(z+1)(z + 2i)其中C为正向圆周z =3.10、求下列积分之值(积分沿闭曲线的正向). 71(1) ndz, z=3(2)上cz(z-2)片dz，z=1izz-i =1第七章傅里叶变换本章知识点和基本要求掌握傅氏积分定理、理解傅氏积分公式；理解傅立叶变换及傅立叶逆变换的概念；了解6函数的概念、性质及其傅氏变换，

13、了解傅氏变换的物理意义；掌握傅氏变换的性质，熟悉常用傅氏变换对。一、填空题加 ，t<0 1、设 f(t)=? 5t ，则 Ff(t)= ?e-5t,t3 02、设 f(t) = !0,G t<0,则 Ff(t)=e , t-03、F1=、一14、设 Ff(t)=，贝 1 f(t)=;上 i 5、设 f(t)=sin2t,贝UFf(t)= ;6、设 Ff (t)= F(w),贝 F(t+ 5)f (t)二；7、设 Ff (t) =F 侬)，to 为实常数，则 Ff(tto)=8、F6(t-t0)=;9、设 Ff(t)= F(w),则 f(1t)的傅氏变换 Ff(1 1)=;10、Ff

14、(t)=F9),贝U FJ f«)dE=一，一2-1211、已知 f(t) = t ,且 Ff(t)=f,则 F,；-=切(切-2)二、单项选择题A.F、(t) =11、下列变换中，正确的是 ()B. F1 = ' ( )C. F,(，)=1D.F1=u(t)B. iF ( ) - F()2、设 Ff(t)=F(6),贝 1 F(t-1)f (t)为A. iF ( ) F()C. -iF ( ) F()D. -iF ( ) - F( )3、3(t -t0 )的傅里叶变换F fe(t -10)为A.4、设 Ff (t) =F(0),贝U F(2t3)f (t)=A. 2iF (

15、 ) -3F()B.2iF ( ) 3F ( )C. -2iF (- ) 3F()D.-2iF ( ) - 3F()5、设 Ff(t)=F(8),贝U F(t2) f(t)=A. F ( ) -2F()B. -F ( ) -2F()C. iF ( ) -2F()D. -iF ( ) -2F()6、设 f (t)=cos00t ,贝U F f(t)=A.二、（：' f0） - 4（ - 0）B.二、.（；.;：；二 0） -、.（,_ .0）C.i 二二（:、力）-c （ ， - 0）7、设 f （t）=6（2 t）十/即，则 Ff（t） =A eJ i - 2二、,.（；.;为 0）C

16、 e +2n6（© +©0）D. i 二c. （：，f0） 、（ - 0）（ ）B e"0+2冗每（0一缶0）D e22 +2花（切 +©0）8、设 f （t）=sins0t ,则其傅氏变换 Ff（t） =A.、（：' j '0） -' （；：； ；： 0）C.二、（<' Y0） - （-（-'：0）B. i二c （: ： 0） -、（；： 0）D. i二、（；.-, ：；：0） 、. （：v - ：v0）三、计算题Q<t < -12.-1 <t <01、已知函数f（t） = 

17、1;,求它的傅里叶变换。1,0 <t <20,2 Mt ：二二1< t < 02、求函数f （t）=0 < t< 1的傅里叶变换;其他3、求函数f（t）=! Ji, t<0（其中P>0）的傅氏变换及其积分表达式e t -04、求函数f (t)si nJ"二的傅氏变换, I 0 ,t .二sin <： sin t sint, t < 二并证明 2-d . = 2021一”0,t小5、利用定义或查表求下列函数的傅里叶逆变换(1) F(w)= pi-d(w+ w0)- d(W- w0) 555(2) F(w)= pd(w+Wo)+

18、d(w- Wo) 5556、用傅里叶变换求解下面的微分方程x (t) x(t) =、(t),-二：二 t :二7、设Ff (t) =F(0),列表给出下列函数的付里叶变换:2tf'(t), f"(t),tf(t),t2f(t), f(tto), f(t+t。), f f(T)dT, f(at)*joo0, t ：二 01,、.(t),、.(t -to),、.(t to),f(t) = ie_ ,t _0并证明付里叶变换的微分性质和位移性质。第八章拉普拉斯变换本章知识点和基本要求理解拉普拉斯变换及拉普拉斯逆变换的概念；了解拉普拉斯变换存在定理；掌握拉普拉斯变换的性质；掌握用留数

19、求拉氏逆变换的方法；了解拉氏变换卷积概念及卷积定理；应用拉氏变换求解常微分方程及常微分方程组。一、填空题11_S1、设 F(S)= , WJ L1e F(S) = S2、L(sin 3t)<= 3、Let sint =3t _4、设 f (t)=u(3t 5) , Le f (t) =5、Letcost=一26、设 Lf(t)=,则 Le t f(t)=s 47、设 f(t)=(t1)2 3 , Lf(t)=18、设 F(s)2,则 L,F(s) = (s2 1)29、设 Lfi(t)=Fi(S),Ff2(t) =F2(S),则 Lfi(t)* f2(t)=、一s » 210、

20、设 F(s)=s2716,则 LF(s)=二、单项选择题1、下列变换中，不正确的是 ()A. F (t) =1B. L、(t) =1C. L1 =、(t)D. F1 *：、( )Bo Leatf(t) = F(s + a)Do Leatf (t) = F(sa)2、设L f (t) =F(s),其中正确的是(A. L f'(t) =sF(s)八 1C. Lf(at) =F(s) a3、f(t) =teat(a>0)的拉氏变换为Bs - aC.1(s-a)2D.-1(s-a)2，一14、若 F(S)二二一e , ML F(S)二(S 1A. sin(t -1)B. u(t 7)si

21、n tC. u(t)sin(t -1)D. u(t 7)sin(t 7)5、设 f (t)=e2cos3t则 Lf(t)= (A.3(S 2)2 9cVB,(S 2)2 93(S 2)D.2(S 2)96、函数 F(s)=s2 1的拉氏逆变换为A.、(t)cos tB.、(t) -costC. (t)(1 -sin t) D. (t) -sint，则 L，F(S)=、e67、设 F(s)=S(S 2)A e2(tJ)u(t -1)B u(t -1) -e(tl)u(t -1)C 21-e(tJ)u(t-1)D u(t)-e(tJ)u(t-1)三、计算题1、利用定义或查表求下列函数的拉普拉斯变换

22、。(1) f (t) = eat sin21(2) f (t) = cos215(3) f (t) = 2sin at - tsin at2t 5t(4) f(t)=e+3e(5) f (t) =e2t5、(t)(6) f(t)=e2ttet f (t) = eat sin t2 f(t)=sin 2t(9) f(t) =t cosat(10) f (t) =(t-2)2et(11)f(t) =sint u(t -2)(12) f (t) =sin(t-2)(13) f(t)=te'sin 2t(14) f(t)=sin(t2) u(t 2)2、已知"tTsint< A

23、。)*,t 3 0?cost ,t3 0求f1(t)与f2(t)的卷积G(t)* f2(t).3、用定义或查表求下列函数的拉普拉斯逆变换 F(S)二1S(S+ 1)-5sF=3 F(S) =b(S- a)(S- b) F(S)=1S(S-1)(5)F(S)=S 3(S 2)(S -3)小、c S2(6)F(S)S2 12s 3Fs 9(8)F(s) =4(s 4)(s 2) F(s)=s2 2s -1s(s-1)24、用拉普拉斯变换求解下列微分方程。(1)yii- 3yi+ 2y= 6e-t,y(0)= 0, y (0) = 0(2) y' y =e2t -1 , y(0) =0(3)

24、 y y = et , y(0) = 0(4) y"(t) 2y(t) +2y =2et cost 满足初始条件：y(0) =0 y'(0) =0 的特解。(5)y"(t) -3y'(t) +2y = 2e上满足初始条件：y(o)=2, y'(0) = -1 的特解。5、用拉普拉斯变换求解微分方程组。?x a x- y = et(1)?介t , x(0) = y(0) = 1?2x it y?+ x =?xC y= 0?y + 4x- 2y = 11e14,x(0) = 0,x(0)= 0,y(0) = 0,x(0) =y(0) =1x x - y

25、= et y 3x-2y =2et _上2x _y _y'4(1-e-t)22x' y =2(1 3e )(x(0)=0,y(0)=0)参考答案第一章复数与复变函数、填空题1、x =1,y =62、x = -一，y =11113、4、1325、7、 、 2(cos 4ji-i sin )48、4(cosL- 5-5 二，、-i sin ),4e69、2k二 一，k Z 1043 3,3.、1,1,1 -i 11、- i,2 一-3,3.3212、x2 (y 7)2 = 413、14、x2 y2 -2 -x(x 1)2 y22y(x 1)2 y215、16、1a,22判断题（正确

26、打，错误打x1、2 、 m 3、 V 4三、单项选择题1、2、3、4、四、计算题=6 Ak2-二 k,%：三322、X-y2 =13、cos- - i sin ;43e3ji -a4、 2sin - cos 22ji -ai sin22sinargz = 25、6、（略）。1 z(t) =3t I -2t i 3第二章解析函数、填空题1、2、2k 二二二2i,3、-Arg -3 4i4、iln3 J2k 二 e5、6、7、2二 i8、ez-2)9、3 2i10、2 -i11、必要条件、判断题（正确打，错误打x）1、，2、父 3、父 4 乂 5、，6、父 7、， 8、 乂 9三、单项选择题四、计

27、算题1、仅在直线理上可导。函数在复平面上处处不解析 32、仅在直线=X -1上的点处可导，函数在复平面上处处不解析。对于直线y = x -1上任意点z3、仅在（0,0）点处可导。函数在复平面上处处不解析。第三章复变函数的积分、填空题1、2ni , 0, 2nei12、一22-i8、 4 i9、4ni3 .3、04、0, 8ni, 10ni 5、2ne i二、单项选择题三、计算题1 o1.221、一(3+i) , 4+3i2、一(1+i) , -十i 3、sini233 34、 一1+35、 1-6、3兀i+87、034: +16：i." i10、2w , , -ni ,-17e第七章傅里叶变换一、填空题1、5、7、52、E3、”)4、f(t) =?0 ,t< 0?e-2t,t3 06、iF '(8