第3章 3.1 3.1.1　数系的扩充和复数的概念

1、.3.1数系的扩大和复数的概念3.1.1数系的扩大和复数的概念学习目的：1.理解引进虚数单位i的必要性，理解数集的扩大过程重点2.理解复数的概念、表示法及相关概念重点3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件重点、易混点自 主 预 习·探 新 知1复数的概念：zabia，bR全体复数所构成的集合Cabi|a，bR，叫做复数集2复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么abicdiac且bd.3复数的分类zabia，bR考虑：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？提示根底自测1考虑辨析1假设a，b为实数，那么zabi为虚数2复数i的实部不存在，虚部为0.3bi是纯虚数4

2、假如两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等答案1×2×3×42复数i2的虚部是 【导学号：48662114】AiB2C1 D2Ci22i，因此虚部是1.3假如xyix1，那么实数x，y的值分别为Ax1，y1 Bx0，y1Cx1，y0 Dx0，y0Axyix1，x1，y1.4在以下数中，属于虚数的是_，属于纯虚数的是_. 【导学号：48662115】0,1i，i，2i，i，i.1i，i，2i， i，ii，i根据虚数的概念知：1i，i，2i，i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：i，i都是纯虚数合 作 探 究·攻 重 难复数的概念及分类1给出以

3、下三个命题：假设zC，那么z20；2i1虚部是2i；2i的实部是0.其中真命题的个数为A0B1C2 D32实数x分别取什么值时，复数zx22x15i是实数？虚数？纯虚数？ 【导学号：48662116】1解析1对于，当zR时，z20成立，否那么不成立，如zi，z210，所以为假命题；对于，2i112i，其虚部为2，不是2i，所以为假命题；对于，2i02i，其实部是0，所以为真命题答案B2当x满足即x5时，z是实数当x满足即x3且x5时，z是虚数当x满足即x2或x3时，z是纯虚数规律方法复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进展分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数

4、时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式zabi(a，bR)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数zabi(a，bR)，那么z为实数b0，z为虚数b0，z为纯虚数a0，b0.z0a0，且b0.跟踪训练11假设复数za232ai的实部与虚部互为相反数，那么实数a的值为_2实数k为何值时，复数1ik235ik223i分别是实数；虚数；纯虚数；零11或3由条件知a232a0，a1或a3.2由z1ik235ik223ik23k4k25k6i.当k25k60时，zR，即k6或k1.当k25k60时，z是虚数，即k6且k1.当时，z是纯虚数，解得k4.当时，z0，解得k1.复数相等的充要

5、条件探究问题1由3>2能否推出3i>2i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？提示：由3>2不能推出3i>2i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小2假设复数zabi>0，那么实数a，b满足什么条件？提示：假设复数zabi>0，那么实数a，b满足a>0，且b0. 1假设复数zm1m29i<0，那么实数m的值等于_2关于x的方程x212ix3mi0有实数根，务实数m的值. 【导学号：48662117】思路探究1等价转化为虚部为零，且实部小于零；2根据复数相等的充要条件求解131z<0，m3.2设a

6、是原方程的实根，那么a212ia3mi0，即a2a3m2a1i00i，所以a2a3m0且2a10，所以a且3m0，所以m.母题探究：1.假设x1是方程x212ix3mi0的实数根，求复数m的值解由题意可知，112i 3mi0，即mi.2假设x212ix3mi>0，务实数m的取值范围解由题意可知，x212ix3mi x2x3m2x1i>0, 故，解得.所以实数m的取值范围为m>.规律方法复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数

7、问题实数化思想的表达.提醒：假设两个复数能比较大小，那么这两个复数必为实数.当 堂 达 标·固 双 基1复数za22bi的实部和虚部分别是2和3，那么实数a，b的值分别是 【导学号：48662118】A，1B，5C±，5 D±，1C令，得a±，b5.2假设1i23iabia，bR，i是虚数单位，那么abA1 B2C3 D0A1i23i32iabi，所以a3，b2，所以ab1，应选A.3x2y22xyi2i，那么实数x_，y_. 【导学号：48662119】11x2y22xyi2i，解得或4假如m21m22mi1那么实数m的值为_2由题意得解得m2.5实数m分别取什么数值时，复数zm25m6m22m15i1是实数；2是虚数；3是纯虚数；4是0. 【导学号：4866