函数的周期性

1、基本知识方法1.周期函数的定义：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T,使得f(x T) f (x)恒成立，则称函数f (x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT(k乙k 0)也是f (x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y f x满足对定义域内任一实数x(其中a为常数)，1fx f x a，则y fx是以T a为周期的周期函数；2f x a f x，贝U f x是以T 2a为周期的周期函数；13f x a，贝U f x是以T 2a为周期的周期函数；f xfxa f x a，贝U f x是以T 2a为周期的周

2、期函数;f (x a)1 f (x)，则f x是以T 2a为周期的周期函数1 f(x)f(x a)嵌，则fx是以T 4a为周期的周期函数f(x a)1一 3，则fx是以T 4a为周期的周期函数1 f(x)1.已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x 2) f (x)，则f(6)的值为A. 1B. 0C.1D.222(1 )设f (x)的最小正周期T 2且f (x)为偶函数，它在区间0, 1上的图象如右图所示的线段AB,则在区间1, 2上,f(x) _函数的周期性2已知函数f(x)是周期为2的函数，当1x1时，f(x) x21,当19 x 21时，f (x)的解析式是_3 f x是定义在R上

3、的以2为周期的函数，对k Z，用lk表示区间2k 1,2k 1, 已知当x l0时，f xx2，求f x在lk上的解析式。3.1定义在R上的函数f x满足f x f x 2，当x 3,5时,A. f (1.5)f (3.5) f (6.5)B.f (3.5) f (1.5)f(6.5)C. f (6.5)4.已知函数 f(x)f(3.5)是定义在(-f(x+2)=f(x), 且当 x 0,2)为_已知用)是尺上最小正周期为2 的周期函数，且当的图象在区间0,6上与轴的交点的个数为f (1.5)D.f(3.5) f (6.5) f (1.5)g，+ g)上的奇函数，若对于任意的实数 x0,都有时

4、,、. -，则 f(-2013)+f(2014) 的值5.数6.已知 f(x)为偶函数，且 f(2+x)=f(2-x)，当-2WxW0时，_-,则函;若 -，=* -,f x 2 x 4，则A. f sin f cos;6B. f sin16f cos1；则湫 gA.B.C.D.9定义在R上的函数fXf 001，对任意x求证：f 01；2c02R,有f xy判断f x的奇偶性;f x y 2f x f y，且33若存在非零常数c,使f x是不是周期函数，为什么函数证明对任意x R都有fx成立;课后作业：1.(2013榆林质检)若已知f(x)是R上的奇函数，且满足f(x 4) f(x)，当x 0

5、,2时，f (x) 2x2，则f(7)等于A 2B.2 C. 98 D. 982.设函数f x(x R)是以3为周期的奇函数，且f 11, f 2 a，则A. a 2 B. a 2 C. a 1 D. a 11/莎43f(x)，则f2007( x)n 个 f5.已知定义在R上的函数f (x)满足f (x)则f (2014)f (x) 2x,A.27则f (113.5)B.273.函数f (x)既是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数， 若 是减函数，那么A增函数f (x)在1,0f (x)在2,3B.减函数上是C.先增后减函数D.先减后增函数6.设偶函数f (x)对任意x R，都有f(

6、x 3)f(x)3, 2时,7.设函数f (x)是定义在R上的奇函数，对于任意的都有f(x 1)1 f(x)f(x)当0 xW1时，f (x)2x,则f(11.5)A.B.C.-2D.8.已知f (x)是定义在R上的奇函数，满足f (x2当x 2,42)2f (x) 2x x.1求证:3计算 f (1) +f (2) +ff(x)是周期函数;(3) +f (2013)f (x),且x时，求f (x)的表达式;0, 2时,x 14.设f(x)x 1，记fn(X)C.33,0对称，且满足f (x) f (x ),42又f( 1) 1,f (0)2，求f(1)f(2) f (3)f (2006)的值

7、9.(05朝阳模拟)已知函数f(x)的图象关于点高考真题：1.f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2) 0在区间0,6内解的个数的最小值是A. 2B.3C. 4D. 52 .定义在R上的函数f(x)满足f (x6) f(x),当3wx1时，f(x)x22，当1wx 3时，f (x) x，则f(1) f(2)f(3)gggf(2012)A. 335B338C.1678D.20124.函数f x对于任意实数x满足条件f，若f 1xB.-27.设f (x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于直线3.已知函数f (x)为R上的奇函数，且满足f(x当0wxA. 0.51时，f(x)B.x，贝U f (7.5)等于0.5 C.1.52)f (x)，D. 1.55.已知f (x)是周期为 设a f (6),b5A. a b c2的奇函数,f(3), c2B. b a当0:f(-),则2c1时,C. cf(x)lg x.D.c6.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期，且当x0,2时，f(x)的值为对称，则f (1)f (2) f (3)f(5)8.设函数f (x