定点、定值、探索性问题

1、定点、定值、探索性问题考点一定点问题典例(2014·扬州期末)如图，已知椭圆E1的方程为1(a>b>0)，圆E2的方程为x2y2a2，斜率为k1的直线l1过椭圆E1的左顶点A，且直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于点B，C.(1)若k11，B恰好为线段AC的中点，试求椭圆E1的离心率e；(2)若椭圆E1的离心率e，F2为椭圆的右焦点，当BABF22a时，求k1的值；(3)设D为圆E2上不同于点A的一点，直线AD的斜率为k2，当时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由解(1)当k11时，点C在y轴上，且C(0，a)，则B.由点B在椭圆上得1

2、，所以，e21，所以e.(2)设椭圆的左焦点为F1，由椭圆定义知BF1BF22a，所以BF1BA，则点B在线段AF1的中垂线上，所以xB.又e，所以ca，ba，所以xB，代入椭圆方程得yB±b±a，所以k1±.(3)法一：由消去y得0，所以xa或x.因为xBa，所以xB，则yBk1(xBa).由消去y得x2a2k(xa)20，解得xa或x.同理xD，yD.当时，xB，yB，则kBD，所以BDAD.因为E2为圆，所以ADB所对圆E2的弦为直径，从而直线BD过定点(a,0)法二：直线BD过定点(a,0)证明如下：设P(a,0)，B(xB，yB)，则1(a>b&g

3、t;0)，所以kADkPB·k1kPB····1，所以PBAD.又PDAD，所以P，B，D三点共线，即直线BD过定点P(a,0)备课札记 类题通法1求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点2由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必

4、过定点(0，m)针对训练(2014·苏北四市摸底)已知椭圆1(a>b>0)的离心率为，且过点A(0,1)(1)求椭圆的方程；(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点求证：直线MN恒过定点P.解：(1)由题意知，e，b1，所以a2c21，解得a2，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)设直线AM的方程为ykx1.联立方程组得(4k21)x28kx0，解得x1，x20，所以xM，yM.同理可得xN，yN.则kMP，kNP，所以kMPkNP，故直线MN恒过定点P.考点二定值问题典例(2013·常州期末)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y21与x轴正半轴

5、的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为xm.记以AB为直径的圆为圆C.记以点F为右焦点，短半轴长为b(b>0，b为常数)的椭圆为D.(1)求圆C和椭圆D的标准方程；(2)当b1时，求证：椭圆D上的任意一点都不在圆C的内部；(3)已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与x轴不垂直的直线交椭圆D于P，Q两点(点P 在x轴上方)，点P关于x轴的对称点为N，设直线QN交x轴于点L，试判断·是否为定值，并证明你的结论解(1)由题意知F(1,0)，圆心C(m,0)(1<m<1)，则圆C的半径为r.所以圆C的标准方程为(xm)2y21m2(1<m&l

6、t;1)椭圆D的标准方程为1.(2)证明：当b1时，椭圆D的方程为y21.设椭圆D上任意一点S(x0，y0)，则y1，解得y1.因为SC2(x0m)2y(x0m)21(x02m)21m21m2r2，所以SCr.所以椭圆D上的任意一点都不在圆C的内部(3) ·b21为定值证明如下：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由题意，得N(x1，y1)，x1x2，y1±y2.所以直线PQ的方程为(y2y1)x(x2x1)yx2y1x1y20.令y0，得xM.又直线QN的方程为(y2y1)x(x2x1)yx1y2x2y10.令y0，得xL.因为点P，Q在椭圆D上，所以1，1，所以x

7、b21y，xb21y，故xM·xL·b21.所以·xM·xLb21为定值备课札记 类题通法1解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值2求定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值针对训练在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x5)2y29外，且对C1上任意一点M，M到直线x2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值(1)求曲

8、线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y0±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值解：(1)法一：设M的坐标为(x，y)，由已知得|x2|3.易知曲线C1上的点位于直线x2的右侧，于是x2>0，所以x5.化简得曲线C1的方程为y220x.法二：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x5的距离因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x5为准线的抛物线故其方程为y220x.(2)当点P在直线x4上运动时，P的坐标为(4，y0)，又y0

9、7;2，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为yy0k(x4)，即kxyy04k0，于是3.整理得72k218y0ky90.设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2的方程的两个实根故k1k2.由得k1y220y20(y04k1)0.设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程的两个实根，所以y1y2.同理可得y3y4.于是由，三式得y1y2y3y46 400.所以，当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6 400.考点三探究存在性问题典例已知椭圆E：1(ab0)以抛

10、物线y28x的焦点为顶点，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆E相交于A，B两点，与直线x4相交于Q点，P是椭圆E上一点且满足(其中O为坐标原点)，试问在x轴上是否存在一点T，使得·为定值？若存在，求出点T的坐标及·的值；若不存在，请说明理由解(1)抛物线y28x的焦点为椭圆E的顶点，即a2.又， 故c1，b.椭圆E的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)联立得(4k23)x28kmx4m2120.由根与系数的关系，得x1x2，y1y2k(x1x2)2m.将P代入椭圆E的方程，得1.整理，得4m24k23.设T(t,0)，Q(4，m

11、4k)(4t，m4k)，.即·.4k234m2，·.要使·为定值，只需2为定值，则1t0，t1，在x轴上存在一点T(1,0)，使得·为定值.备课札记 本例(2)中条件变为“过椭圆E的右焦点F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点，线段OF2上是否存在点M(m,0)使得··？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.解：假设存在这样的点M符合题意设线段PQ的中点为N，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)，直线PQ的斜率为k(k0)，注意到F2(1,0)，则直线PQ的方程为yk(x1)，由得(4k23)x28k

12、2x4k2120，所以x1x2，故x0，又点N在直线PQ上，所以N.由··，可得·()2·0，即PQMN，所以kMN，整理得m，所以线段OF2上存在点M(m,0)符合题意，其中m.类题通法解决存在性问题应注意以下几点存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径课堂练通考点(2014·南京、盐城一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知

13、椭圆C：1(a>b>0)经过点M(3，)，离心率e.(1)求椭圆C的方程(2)过点M作两条直线与椭圆C分别交于相异两点A，B，F2是椭圆的右焦点若直线MA过坐标原点O，求MAF2外接圆的方程；若AMB的平分线与y轴平行，探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由解：(1)由e得，即a29b2，故椭圆C的方程为1.又椭圆过点M(3，)，所以1，解得b24.所以椭圆C的方程为1.(2)由题知M(3，)，A(3，)，F2(4，0)记MAF2的外接圆的圆心为T.因为直线OM的斜率kOM，所以线段MA的中垂线方程为y3x.又由M(3，)，F2(4，0)，得线段MF2的

14、中点为N.而直线MF2的斜率kMF21，所以线段MF2的中垂线方程为yx3.由解得T.从而圆T的半径为 .故MAF2外接圆的方程为22.设直线MA的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意知，直线MA与MB的斜率互为相反数，故直线MB的斜率为k.直线MA的方程为yk(x3)，即ykx3k.联立方程组消去y，整理得(9k21)x218k(13k)x162k2108k180.(*)由题意知，方程(*)有一根为3，所以另一根x133.同理可得x23.因此x2x1，x2x16.又y2y1kx23k(kx13k)k(x2x1)6k，所以直线AB的斜率kAB，为定值课下提升考能第卷：夯基保分卷1

15、(2013·连云港调研)已知椭圆C：1(a>b>0)的上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且椭圆C过点P，以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.(1)求椭圆C的方程；(2)若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由解：(1)因为椭圆过点P，所以1，解得a22.又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，所以AF2F2P，即·1，化简得b2c(43c)而b2a2c22c2，解得c1，b1.故椭圆C的方程为y21.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxp，代入椭圆

16、方程得(12k2)x24kpx2p220.因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以16k2p24(12k2)(2p22)8(12k2p2)0，即12k2p2.设在x轴上存在两点(s,0)，(t,0)，使其到直线l的距离之积为1，则·1，即(st1)kp(st)0，(*)或(st3)k2(st)kp20.(*)由(*)恒成立得解得或但(*)不恒成立；当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x±，定点(1,0)，(1,0)到直线l的距离之积为d1·d2(1)(1)1.综上，存在两个定点(1,0)，(1,0)，使其到直线l的距离之积为定值1.2(2014·镇江模

17、拟)已知椭圆O的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点A(2,0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为.不经过点A的动直线yxm交椭圆O于P，Q两点(1)求椭圆的标准方程；(2)求证：P，Q两点的横坐标的平方和为定值；(3)过点A，P，Q的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点坐标解：(1)设椭圆的标准方程为1(a>b>0)由题意得a2，e，所以c，b1.所以椭圆的标准方程为y21.(2)证明：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将yxm代入椭圆，化简得x22mx2(m21)0.所以x1x22m，x1x22(m21)，所以xx(x1x2)22x1x24，所以P，Q两点的

18、横坐标的平方和为定值4.(3)法一：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则圆心为，PQ的中点M，PQ的垂直平分线的方程为y2xm，圆心满足y2xm，所以Dm.圆过定点(2,0)，所以42DF0.圆过P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则两式相加得xxyyDx1Dx2Ey1Ey22F0，即xxD(x1x2)E(y1y2)2F0.因为xx4，x1x22m，y1y2m，所以52mDmE2F0.因为动直线yxm不过点A，所以m1.由解得D，Em，Fm.代入圆的方程得x2y2xym0，即m0，所以解得或(舍去)所以圆过定点(0,1)法二：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，将yxm代入圆的方程得x2

19、xm2mEF0.因为方程与方程为同解方程，所以.圆过定点(2,0)，所以42DF0，因为动直线yxm不过点A，所以m1.解得D，Em，Fm.(以下同法一)3(2013·盐城二模)已知椭圆1(a>b>0)的离心率为，且过点P，记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k22，求证：直线DE恒过一个定点解：(1)由题意得解得所以椭圆的方程为x22y21.(2)设B(m，n)，C(m，n)，则SABC·2|m|·|n|mn

20、|.又1m22n222|mn|，所以|mn|，当且仅当|m|n|时取等号，从而SABC.所以ABC面积的最大值为.(3)证明：因为A(1,0)，所以直线AD：yk1(x1)，直线AE：yk2(x1)联立消去y，得(12k)x24kx2k10，解得x1或x，故点D.同理，E.又k1k22，故E.故直线DE的方程为y· ，即y·，即yx.所以2yk(3x5)k14y0.则令得直线DE恒过定点.第卷：提能增分卷1(2014·苏北四市一调)如图，椭圆1(a>b>0)过点P，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e，M，N是椭圆右准线上的两个动点，且·0

21、.(1)求椭圆的方程；(2)求MN的最小值；(3)求以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论解：(1)因为e，且过点P，所以解得所以椭圆方程为1.(2)由题可设点M(4，y1)，N(4，y2)又知F1(1,0)，F2(1,0), 则(5，y1)，(3，y2)所以·15y1y20，y1y215，y2.又因为MN|y2y1|y1|2，当且仅当|y1|y2|时取等号，所以MN的最小值为2.(3)设点M(4，y1)，N(4，y2)，所以以MN为直径的圆的圆心C的坐标为，半径r，所以圆C的方程为(x4)22，整理得x2y28x(y1y2)y16y1y20.由(2)得y1y215，所以x2y28x(y1y2)y10，令y0得x28x10，所以x4±，所以圆C过定点(4±，0)2(2014·盐城摸底)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1(4,0)，F2(4,0)，A(0,8)，直线yt(0<t<8)与线段AF1，AF2分别交于