从欧拉几何定理到彭色列闭合定理(欧拉--彭色列—大狗熊线)

1、从欧拉几何定理到彭色列闭合定理(欧拉-彭色列大狗熊线)徐文平（东南大学 南京210096）一、引言1）彭色列闭合定理图1思考：彭色列闭合定理的本质是什么？为什么如此奇妙的首尾相连闭合？2）谢国芳定理谢国芳老师猜想，双圆锥曲线的内接外切四边形时候，对角线交叉点不变。图2 思考：如果是三角形的时候，彭色列闭合定理，是什么关键点永恒不变啊。3）欧拉几何定理a)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则有（备注： 欧拉定理定理也涉及到圆中圆的问题）b）欧拉线三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离

2、的一半。（三角形ABC的垂心H，九点圆圆心V，重心G，外心O共线 ，称为 欧拉线）图 3c）欧拉九点圆三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。 九点圆具有许多有趣的性质，例如：1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；4. 九点圆心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，O

3、H=2OV。 图44）欧拉-彭色列-大狗熊线  大狗熊定理：三角形内切圆的切点三角形的垂心H，九点圆圆心V，重心G与三角形内心I、外心O共线（欧拉-彭色厉-大狗熊线），三角形作彭色列闭合变换时，五心位置恒定不变。（备注：三角形内切圆的切点三角形的外心就是三角形ABC的内心I）图 5 （彭色列闭合变换时切点三角形的重心不变） （三角形在圆中圆中，作彭色列闭合变化时候，切点三角形的垂心H，九点圆圆心V，重心G不变，非常奇妙的发现，作业：作图试试切点三角形的垂心H，九点圆圆心V，重心G，是不是雷打不动啊）谢国芳定理，双圆锥曲线的内接外切四边形时候，对角线交叉点不变。 

4、大狗熊定理，双圆锥曲线的内接外切三角形时候，切点三角形的五心恒定不变。谢国芳定理和大狗熊定理，揭示了彭色列闭合定理的神秘面纱，找到了命题本质。工程应用成果：利用欧拉彭色列-大狗熊线恒定不变特性的摄像机和精密测量仪器标定               （变化中发现了不变的本质）二、欧拉-彭色厉-大狗熊线的简证 欧拉-彭色列闭合变化作图发现，有许多有趣的特性。 （ABC为基本三角形，A1B1C1为切点三角形，A2B2C2为垂足三角形）1、 A2B2C2为垂足三角形与三角形ABC是具有位似关系2、 基本三角形构成的六边形与

5、垂足三角形构成的六边形具有位似关系（黄色）。3、 基本三角形彭色列闭合变化，发现了大量的平行线关系4、 位似中心S点，也在欧拉彭色列-大狗熊线上，彭色列闭合变化时不变。5、 位似中心S点就是基本三角形ABC外接圆和内切圆的位似中心S点 图 5 （彭色列闭合变换时位似中心现象）1）潘成华老师的研究发现 思考：可以直接做题证明（也许高中小朋友看不懂重心证明方法啊）依据欧拉线，可改为外心O（大圆）、内心I（小圆）、垂心H（切点三角形的）共线题目。2） 1995伊朗奥数竞赛的题目 （备注，垂足三角形PQR的外心J点，就是切点三角形DEF的九点圆心V点）3) 彭色列闭合定理（N=3）的位似中心S点 位似

6、中心在基本三角形ABC的顶点和垂足三角形顶点的连线交叉S点。同理：位似中心在基本三角形DEF的顶点和垂足三角形顶点的连线交叉S点。（备注：外接圆和内切圆也具有位似关系，位似中心也在S点）   （备注：外接圆和内切圆和ABC一起位似变化，位似比相同）   （备注：外接圆和内切圆和外接圆和内切圆和ABC一起位似变化，位似比相同）。所以，外接圆和内切圆、ABC和DEF三者一起位似变化，位似比相同 位似比 ， 位似中心S点在五心狗熊线上，即位似中心S点在五心狗熊线共线。彭色列闭合变换（N=3）时，两者位似中心S点重合。彭色列闭合变换（N=3）时，中心S点和五心狗

7、熊线恒定不变。 欧拉-彭色厉-大狗熊线（增加了位似中心S点共线）4) 欧拉彭色列-大狗熊线的不变特性简证（彭色列闭合变化时）1、 位似中心S点在五心狗熊线上，即位似中心S点在五心狗熊线共线。 （具体可以参见上述的1995伊朗奥数竞赛的题目）2、 彭色列闭合变换（N=3）时，切点三角形的的九点圆心V不变方向不变：由于欧拉彭色列-大狗熊线是五心共线， 并且其中二点是不变（三角形内心I、外心O在命题中是固定的），所以，彭色列闭合变换前后，九点圆心V必定在三角形内心I、外心连线方向。半径不变：三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半，由于切点三角形的外接圆是固定的（命题的内切圆），所以，九点圆的半

8、径不变。圆心不变：彭色列闭合变换前的垂足三角形的三个顶点，彭色列闭合变换后的垂足三角形的三个顶点，六点是共圆的，所以彭色列闭合变换前后，九点圆圆心不变。彭色列闭合变换（N=3）时，切点三角形的的九点圆心V不变3、 彭色列闭合变换（N=3）时，切点三角形的切点三角形的垂心H，重心G不变。由欧拉线的性质可知，三角形的垂心H，重心G，九点圆心V，外心O点（就是基本三角形的内心I点），具有这些点互相之间比例关系恒定的，所以，所以彭色列闭合变换前后垂心H，重心G位置不变4、 彭色列闭合变换（N=3）时，两者位似中心S点重合。外接圆和内切圆也具有位似关系。外接圆和内切圆和ABC一起位似变化，位似比相同）外

9、接圆和内切圆和DEF一起位似变化，位似比相同）外接圆和内切圆和外接圆和内切圆和ABC一起位似变化，位似比相同）。所以，外接圆和内切圆、ABC和DEF三者一起位似变化，位似比相同 三角形的外接圆和内切圆是固定的，两圆具有位似关系,位似比为基本三角形ABC与垂足三角形也具有位似关系，位似比也为，相同。基本三角形DEF与垂足三角形也具有位似关系，位似比也为，相同。因此，三者的位似比也为，相同。ABC和DEF是一样的位似比，两者相同，可以一起联盟位似变换。因此，彭色列闭合变换前后，两者位似中心S点重合。结论：彭色列闭合变换前后，欧拉彭色列-大狗熊线的不变三、彭色列闭合定理（N=3）的简证 彭色列闭合定

10、理非常简明和美妙，应该有纯几何证明，以便推广普及和应用。 简证思路：儿歌唱道，两只老虎，真奇怪，一个没有尾巴，一个没有耳朵。歌词大意是把二个残缺的老虎放在一起，可通过对比，小朋友们可想象出老虎残缺的尾巴和耳朵，画图出两只老虎完美的老虎。 彭色列闭合定理（N=3），在外接圆和内切圆固定的前提下（符合欧拉定理），两个三角形的闭合变换问题。以一个完整的三角形彭色列闭合（一个完整老虎）为背景，分析另外一个残缺的三角形彭色列闭合在外接圆上（构造残缺的老虎的尾巴和耳朵）。1) 完整的彭色列闭合三角形 图 8 分析可知：1、基本三角形DEF和切线三角形之垂足三角形是位似关系。2、三角形内切圆的切点三角形的垂

11、心H，九点圆圆心V，重心G与基本三角形内心I、外心O以及位似点S是六点共线（欧拉-彭色厉-大狗熊线）。 2） 残缺的彭色列闭合三角形（备注：目标是证明A点在外接圆上，彭色列闭合定理就ok）图 9残缺图形分析可知：1、 基本三角形ABC和切线三角形之垂足三角形是位似关系。（仍然成立） （备注：1995年伊朗奥数竞赛的题目的方法）2、 三角形内切圆的切点三角形的垂心H，九点圆圆心V，重心G与基本三角形内心I、外心O以及位似点S是六点共线（欧拉-彭色厉-大狗熊线）。（备注：可能A点不在基本外接圆上，导致外接圆有所变动）（备注：可能A点不在基本外接圆上，导致欧拉-彭色厉-大狗熊线变异） 3）对比的二个

12、彭色列闭合三角形（备注：目标是证明A点在外接圆上，彭色列闭合定理就ok）（备注：只需证明欧拉彭色列-大狗熊线是重合位置，彭色列闭合定理就ok）对比图形分析可知：1、 三角形ABC和切线三角形之垂足三角形是位似关系。2、三角形ABC内切圆的切点三角形的垂心H，九点圆圆心V，重心G与基本三角形内心I、外心O以及位似点S是六点共线。（备注：两个基本三角形的欧拉-彭色厉-大狗熊线可能没有完全重合位置）3、 分析得知，两个三角形内心I，（命题）4、两个切点三角形的九点圆圆心V位置重合。（两个垂足三角形六点共圆） 4、依据欧拉线的比例性质，两个切点三角形的垂心H和重心G位置重合 5、进一步分析得知：两个基本三角形的位似中心S点位置重合（备注：两个彭色列闭合变换中，基本三角形和垂足三角形的位似比相同）6、两个基本三角形的外接圆心O点位置重合（位似比相同），A点在外接圆上彭色列闭合定理（N=3）命题成立四、椭圆情况下彭色列闭合定理（N=3）的简证彭色列闭合定理在椭圆情况下，也是成立的（备注：按照圆中圆情况的思路，利用极点极线的关系，可以快速简证）图 10 通过： 仿射几何变换，图10的椭圆中椭圆，可以简化为椭圆中圆（如11），可以大大简化证明过程。 证明思路：先构造一个基本三