高中--含绝对值的函数

1、3含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究，主要有以 下3类：'f (x) f (x) K 01 形如y= f(x)的函数，由于y= f(x)=，因此研究此类函数往往结合-f (x) f (x) £ 0函数图像，可以看成由y二f (x)的图像在x轴上方部分不变，下方部分关于x轴对称得到;2形如y = f (x)的函数，此类函数是偶函数，因此可以先研究x _ 0的情况，x ： 0的情况可以根据对称性得到；3 函数解析式中部分含有绝对值，如y = x -a +1, y = x2 + x - a等，这种函数是普通的分段函数，一般先去绝对值，再做出图像

2、进行研究.【自我检测】1 函数y = 3x-1的单调增区间为_2 函数 y =igx 的单调减区间为3 方程x -1 = a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是 4函数y二a*在(-：,0)上是增函数，则a的取值范围是 5. 函数y = x -1 +|x +1的值域为6. 函数f(x)=xx + px + q是奇函数的充要条件是 、课堂活动:【例1】填空题:(1 )已知函数 f (x)= loga|x|在(0,+p 上单调递增，贝y f (- 2) f (a +1).(填写“之一).(2)函数y=lnx-2的图像与函数y=1的图像的所有交点的横坐标之和为 (3)函数y = log勺x的定义

3、域为a,b，值域为0,2，则b-a的最小值为 X +1(4)关于函数f(x) =lg(xO)，有下列命题：其图像关于y轴对称；f(x)的最x小值为Ig2 :f (x)的递增区间为(-1,0)；f(x)没有最大值其中正确的是 (把正确的命题序号都填上).【例2】设a为实数，函数f (x) = x2 + |x -a +1, xw R(1)若函数f(x)是偶函数，试求 a的值；(2 )在(1 )的条件下，求f (x)的最小值.【例3】 设函数f (x) = x2 +|2x _a(x壬R,a为常数)(1) a=2时，讨论函数f (x)的单调性；(2) 若a>-2，函数f(x)的最小值为2，求a的

4、值.三、课后作业1 .函数y = 2x +1关于直线对称.2.函数 f (x) =x | x+a |+b是奇函数，则 a=； b =_.3 .关于x的方程x2-3x+2=a有4个不同实数解，则 a的取值范围是 4 .函数 y = xx2的递减区间是 .5 .函数 f (x) =Iog2(x+4)的值域为.sin x 丄 cosx ，亠6 函数y =+的值域是.sin x cosx| x|7. 已知0：a 1，则方程a =| loga x|的实数解的个数是 .8. 关于x的方程2 +m+1=0有唯一实数解，则 m的值为.9已知f(x )是定义在R上的偶函数，且当X30时，心匸匕2，若对任意实数t

5、 I- 21 ,x+12 一都有f (t +a) f (t 1)a0恒成立，则实数a的取值范围是 .10. 已知函数 f(x) = loga x* (a0,aHl)，若论 <x2 vx3 <x4，1111且 f (Xj = f(X2) = f(X3) = f(X4)，贝y.x( x2 x3 x411. 已知函数f(x) = x-a,g(x) = x2+2ax+1(a为正常数)，且函数f(x)与g(x)的图像在y轴上的截距相等.(1) 求a的值；(2) 求函数f(x)+g(x)的单调递增区间.12.已知函数 y -|x2 -4x，3|.(1)研究函数的单调性；(2)求函数在0, t上

6、的值域(t>0)413.(已知函数g(x) = ax2 -2ax 1 b ( a 0 )在区间2,3上有最大值4和最小值1.设g(x)f(X)=x(1) 求a、b的值；(2) 若不等式f(2x)-k2x_0在X- -1,1上恒成立，求实数k的取值范围；(3) 若f |2x k 2一 -3k =0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.I 2x -1|58参考答案：【自我检测】11.，二2.(陀0) 3.(0, ：) 4.( 0,1)5.2, ：) 6.q =0 .H-3课堂活动3例 1. (1) < ; (2) 4 ; (3); (4).41是增函R上的最y = f (x)例 2.

7、 (1)由 f (-X)= f (x)对- x R 成立得 a = 0 ; (2) x _0 时，f (xx2 x 数，最小值为f(0) =1，由f (x)是偶函数，关于 y轴对称可知，函数 f (x)在 小值为f (0) =1.2i|x2 +2x-2 x1例3. (1) a =2时，f(x)=x +2x2，结合图像知，函数jx2 -2x + 2 xc1的单调增区间为1, ：)，减区间为(-：,1；x2(2) f(x) =2x当a - 2时函数y2x - a-2x a二f (x)的最小值为a；a -2,1，结合图像可得2f(1) =a -1=2，解得a=3符合题意;2当-2辽：2时函数y =

8、f(x)的最小值为f (旦)二旦 2,无解;24综上，a=3.课后作业1111I. x; 2. 0,0 ; 3.(0,) ; 4.-一,0和 ,：)；24225(-：,2 ; 6.2,0, -2 ; 7.2 ; 8.-2;9 一: ：，一3 U 0，二 10 211II. (1) a =1 ； (2)减区间(-：，增区间-一，=)2212. (1)增区间1,2和3,：)，减区间(-：,1和2,3;(2) 0 :：: t < 1 时，值域为t2 -4t 3,3 ； 1 ：t 乞4，时，值域为0,3;t _4时，值域为0,t2 -4t 3.213. 解：(1) g (x)二 a(x -1)1

9、 b - a ,因为a 0 ,所以g(x)在区间2,3上是增函数，g (2) = 1a = 1故宀丿，解得丿. g (3) = 4b = 01(2)由已知可得f(x)=x 2 ,x1所以f (2x) -k 2x _0可化为2x 飞-2 一 k2x ,2xAAA化为 1 + - I -2>k，令 t=-，贝y k 兰t2 _2t +1 ,l2x 丿2x2x因，故 r f,2，记 h(t) =t2 -2t 1，因为 t 斗1 ,故 h t min = 0 ,所以k的取值范围是-：，0 1.(3)原方程可化为 |2x -1 |2 -(3k 2) |2x -1 | (2k T) = 0,令 | 2x -1|=t，则 t (0,：),t2 -(3k 2)t (