高一数学函数的零点与二分法教案

1、亿库教育网http:/www.eku.cc一. 教学内容：函数的零点与二分法二. 学习目标1、理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点。2、理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程的根的关系；3、 通过具体实例了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解用二分法求函数零点的原理, 从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用.4、在函数与方程的联系中，初步体会事物间相互转化的辩证思想；体验探究的过程、发现 的乐趣。三. 知识要点1、函数的零点一般地，如果函数y二f (x)在实数a处的值等于零，即f (a) = 0，则a叫做这个函数的 零点。归纳：函数的零点并不是点”，它不是以

2、坐标的形式出现的。说明：(1 )函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零；(2) 对于函数的零点问题我们只在实数范围内讨论；(3 )方程的根、函数的图象与x轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式2、函数零点的意义：函数y =f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数 y =f(x)的图象与x轴交点的 横坐标.归纳：方程f(x) =0有实数根=函数y =f(x)的图象与x轴有交点=函数y =f(x)有零 占八、3、函数零点存在性的判定方法对于函数相对应的方程能求解的，可以直接求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于函数相对应的方程不能直接求解

3、的，又该怎样处理？如果函数y二f(x)在区间a，b 1上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) f (bb: 0 , 那么，函数y =f(x)在区间a,b内有零点.即存在a,b，使得f(c) ，这个c也就是方 程f(x) =0的根。说明：(1)函数y=f(x)在区间a,b 上有定义；(2 )函数的图象是连续不断的一条曲线；(3) 函数y V(X)在区间a,b 1两端点的函数值必须满足 f(a) f(b) :：0 ；(4) 函数y =f(x)在区间a，b内有零点，但不唯一；(5)用判定方法验证函数f(x) =x，说明该方法仅是判断函数零点存在的一种方法，并 不是唯一的方法。4、函数零点的求

4、法：I:可以解方程f (x) =0而得到(代数法)；n：可以将它与函数 y二f (x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.(几何法)5、二次函数零点的判定二次函数y = ax2 bx c的零点个数，方程ax2 bx C = 0的实根个数见下表。判别式方程的根函数的零点 >0两个不相等的实根两个零点 =0两个相等的实根一个二重零点 <0无实根无零点6、二次函数零点的性质 二次函数的图象是连续的，当它通过零点时(变号零点)，函数值变号。 相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号。引申：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立。7、二次函数的零点的应用 利用二次函数的

5、零点研究函数的性质，作出函数的简图。 根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质。 注：二次函数的零点的应用可推广到一般函数。8用二分法求函数零点的一般步骤：第一步：在D内取一个闭区间|a0,b0D ,使f a0与f g异号，即fa。f b° ”：0,零点位于区间La0,b0中。第二步：取区间玄山。】的中点，则此中点对应的坐标为1 1x° = a° 孑 b° -a0 b0。计算f X0和f a0，并判断： 如果f x0 =0，则xd就是f x的零点，计算终止； 如果faofXo: 0，则零点位于区间！ao,xo1中，令a=ao,b)

6、； 如果f ao f Xo0，则零点位于区间Lxo,bo 1中，令印=Xo,bi =b°第三步：取区间 匕上】的中点，则此中点对应的坐标为11xi =aid - aj& b 。2 2计算f Xj和f c，并判断：如果f X1 =0,则X1就是f x的零点，计算终止； 如杲fa fXi!0，则零点位于区间©1, Xj丨中，令a?二ai，b2二A； 如果faifXi 0，则零点位于区间In, b丨中，令aXi,b2bj5 5继续实施上述步骤，直到区间lan，bn 1,函数的零点总位于区间Ian,bn 1上，当a.和0按照给定的精确度索取的近似值相同时，这个相同的近似值就

7、是函数y二f x的近似零点，计算终止。这时函数 y = f x的近似零点满足给定的精确度。【典型例题】1 _例1.利用二分法求方程 XX的一个近似解(精确到 0.1)。1 1f(x) = +x -3 =3_x、解：设X，则求方程X的一个近似解，即求函数f(x)的一个近似零点。1f(2)1 汀1f丁0取区间23作为计算的初始区间。用二分法逐次计算，列表如下:端点(中点)坐标计算中点的函数值取区间b,3】x0 =2.5f(2.5) =-0.1 £0b.5,3】x0 =2.75f (2.75)肚 0.11 AO2.5,2.75】x0 =2.625f (2.625)肚 0.006 a02.5

8、,2.625】x° =2.5625f (2.5625)拓-0.047 c02.5625,2.625】区间2.56252625 的左右端点精确到 0.1所取的近似值都是 2.6,函数f (x)满足题设的一个近似零点是2.613 _ x故方程x满足题设的一个近似解是2.6评析：利用二分法可以求方程(两曲线交点横坐标)的近似解。利用二分法求函数的变号零点时，只需按照方法步骤机械地重复计算。直至求出满足题设要求的一个近似零点为止。2例2.二次函数y =ax bx c( r)的部分对应值如下表：X-3-2-101234y60-4-6-6-406则使函数值大于o的自变量的取值集合是 。解：由上表

9、提供信息，知函数的零点是一2, 3，且开口向上，借助二次函数示意图可得函数值大于0的自变量的取值集合是(3,；)评析：分析图表，得到函数零点，开口方向是解题关键。32例3、已知函数f(x) =x -2x -5x 6的一个零点为1(1) 求函数的其他零点；(2) 求函数值大于0时自变量x的取值范围。解：(1)由题意，设m 一1 - _2« n m = -5n =6232f(x)=(x-1)(xmx n)二 x (m_1)x(nm)xn"m = -1解得2令 f(x) =0，即(x _1)(x 一X -6) =0，解得 x =1，- 2, 3函数的其他零点是一2, 3(2)函数

10、的三个零点将 x轴分成4个区间：(-：,-2 , (-2,1 , (1,3 , (3,；作出函数的示意图，观察图象得函数值大于0时自变量x的取值范围是：(-2,1) -(3,；)评析：(1)函数y二f(x)的零点就是方程f(x) =o的实数根，方程有几个实数根函数就有 几个零点，方程没有实数根，函数就没有零点；(2)借助函数零点作出函数的示意图，借助图象可求出函数值大于或小于零时自变量的取值范围(即不等式f(x) 0或f(X)： 0的解集)。2例4.若二次函数y=：x mx -1的图象与两端点为A(0,3),B(3,0)的线段AB有两个不同 的交点，求实数m的取值范围。解：线段AB的方程是x

11、y =3(0空x乞3)x +y =32由题意，得方程组 J = X +mx -1在0 Wx兰3上有两组实数解2解得：x -(m 1)x0在0乞X辽3上有两个实根2令f(x) =x -(m 1)x4，则二次函数f (x)在0空X乞3上有两个零点。A =(m +1)2 -16 >0:3f(3) =9 _3(m +1) +4 兰0解得3”®3故实数m的取值范围是 本讲涉及的主要数学思想方法f (0) =4 -01. 在对二次函数的零点与方程的根的关系的研究过程中，体会由特殊到一般的思维方法。2. 通过由零点的性质作函数图象的过程及函数零点的性质的总结，渗透“数形结合”的思 想方法。3

12、. 体验求函数零点的近似解的常用方法一一二分法求函数零点近似解的过程，初步体会数 形结合、逼近、近似算法等重要数学思想方法，提高学习数学知识的综合应用能力。【模拟试题】(答题时间：40分钟)一、选择题1、方程lgx+ x = 0的根所在的区间是()A. (3 0) B. (0, 1) C. ( 1, 2)D, (2, 4)22、若函数f(x)"xb的零点是2,则函数g(x)二bx-ax的零点是()111A. 0 , 2B. 0, 2C. 0,2D. 2,23、已知偶函数f (x )的图象与x轴共有四个交点，则函数 f ( X)的所有零点之和等于()A. 4B. 2C. 1D. 032

13、*4、若函数f(X)二x x - 2x - 2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f (1 )= 2f ( 1.5)= 0.625f (1.25)= 0.984f (1.375)= 0.260f (1.4375 )= 0.162f (1.40625)= 0.054那么方程x3x22x2 =0的一个近似根(精确到0.1)为( ).A. 1.4B. 1.3C. 1.2D. 1.525、函数 f(x)二 ax bx c(a 0)的零点为 2, 3,若 2vx V 3,则 f (x)的值()A.大于0B.小于0C.等于0D.无法确定正负x2 bx c x g 卄*6、设函数f (x

14、)若f(-4)= f (0), f e 2> -测关于x的方程ZX A 0.f(x) =x解的个数为( )个A. 1 B. 2 C. 3D. 4二、填空题2*7、若函数f(x)=x +axb的两个零点是2和亠，则实数a、b的值为。8若方程ax2 x 1 = 0在(0, 1)内有解，则实数 a的取值范围是 。*9、若函数J (x)= x2 ax b的两个零点是 2和3,则函数g (x)= bx2 ax 1的零点是三、解答题*10、已知二次函数 '(x) = x2( m 1) x + 2m在区间0,1上有且只有一个零点，求实数的取值范围。3211、求函数f(x)=x x _3x 一3

15、的零点。2x 2x a*12、已知函数 f (x)=x ,x 1, + )1(1 )当a= 2时，求函数f (x)的最小值。a的取值范围。(2)若对任意x1, + ),f (x)> 0恒成立，试求实数亿库教育网http:/www.eku.cc亿库教育网http:/www.eku.cc试题答案1、B2、C3、D4、A5、B6、C7、a= 2,b= 8&解：f (0) - (1)v 0,则 a>21 19、_2310、解：2, 0322211、解：f(x)=x x -3x-3=x(x1) -3(x 1) = (x 1)(x -3)=(x 1)(x3)(x=0函数的零点为-1, - 3, 3。1 112、(1)解：当 a= 2 时，f (x)= x+ 2x + 2/ f (x)在区间1,+ 上为增函数，7 f (x)在区间1,+ )上的最小值为f (1 ) = 2。(2)解法一：在区间1,+ )上，x2 2x af (x) = x > 0 恒成立x + 2x + a> 0 恒成立。设 y= x2+ 2x + a,x 1, + )/ y = x2 + 2x + a=( x + 1) 2+ a 1