201332相似三角形

1、 相似三角形知识点知识点1 相似图形形状相同的图形叫相似图形，或者说是相似形,在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。知识点2 比例线段的相关概念两条线段长度的比叫做这两条线段的比。如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为，那么就说这两条线段的比是，或写成注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式(2)比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：

2、例题若AB=1m，CD=25cm，则ABCD= ；若线段AB=m, CD=n，则ABCD= .若MNPQ=47，则PQMN= ， MN= PQ， PQ= MN。知识点3 比例的性质 基本性质：(1)；(2)注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为，还可化为，更比性质(交换比例的内项或外项)：反比性质(把比的前项、后项交换)：合比性质：注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立如：等等 等比性质：如果，那么注意：(1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法(2

3、)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立例1若线段a，b，c，d成比例，其中a=5，b=7，c=4，则,d= 例2若a·b=c·d则有ad= ；若mx=ny, 则xy= . 例3已知4x5y=0，则（xy）（xy）的值为例4若xyz=275，且x2y3z=6，则x= ，y= ，z= ；例5设=，则=_ _，=_ _.；其中例6若，求的值。知识点4 三角形一边的平行线及平行线分线段成比例同高（或等高）的两个三角形的面积之比就等于对应边之比。三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其

4、它两边(或两边的延长线)所在的直线，截得的对应线段成比例三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线

5、段也相等。知识点5 三角形的重心三角形的三条中线交于一点，我们把三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点距离的两倍。知识点6 黄金分割如果点P把线段分割成AP和PB（APPB）两段，且其中AP是AB和PB的比例中项，那么我们就说点P把线段黄金分割，点P叫做线段的黄金分割点，其中0.618例题 1已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则ACAB= .知识点7 相似三角形的概念如果一个三角形与另一个三角形对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符号“”表示，读作“相似于” 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)相

6、似三角形对应角相等，对应边成比例如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。注意：对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的两个三角形形状一样，但大小不一定一样全等三角形是相似比为1的相似三角形二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例知识点8 相似三角形的判定定理相似三角形预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的的三角形与原三角形相似相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：

7、两角对应相等，两三角形相似相似三角形判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似相似三角形判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似判定直角三角形相似的方法：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式 如图，RtABC中，BAC=

8、90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。例题1如图1，D、E是ABC 的边 AB、AC 上的点, DE 与 BC 不平行,请填上一个你认为合适的条件: 使得ADEACB.2.已知：ABC , P是边 AB 上的一点,连结 CP.(如图2) (1)当ACP 满足 条件时,ACPABC. (2)当 ACAP= 时, ACP ABC3在ABC和ABC中, A=A= 40°B = 80°B= 60°则ABC和ABC 。(填“相似”与

9、“不相似”) 知识点9 相似三角形性质相似三角形对应角相等，对应边成比例(1)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(2)相似三角形周长的比等于相似比(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点10 相似三角形中的几种常见图形 （1）“A”字形（平“A”形与斜“A”字形） （2）“X”形也有叫“8”字形例题1.在如图3的ABC中,DEBC, 且 AD= BD,DE = 4cm , 则BC = 。 2如图4在ABC中, DEBC, BC = 6cm， SADESABC =14 , 则DE的长为 。 3.两个相似三角形面积比是925，其中一个三角形的周长为 36cm，

10、则另一个三角形的周长是【考点梳理】考点1.相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关例1放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？例2下列各组图形：两个平行四边形；两个圆；两个矩形；有一个内角80°的两个等腰三角形；两个正五边形；有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_(填序号)考点2比例线段对于四条线

11、段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段例3已知线段a=2cm, b=6mm, 求例4已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=dm，求c的长度考点3相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性例5若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边

12、长是多少？考点4相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（4）相似用“”表示，读作“相似于”；（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比注意：相似比是有顺序的，比如ABCA1B1C1，相似比为k,若A1B1C1ABC，则相似比为。若两个三角形的相似比为1，则这两个三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等例6如图，已知ADEABC，DE=2，BC=4，则和

13、的相似比是多少？点D，E分别是AB，AC的中点吗？考点5相似三角的判定方法（1） 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；（2） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相似（3） 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（4） 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（5） 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（6） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型

14、： 平行线型常见的有如下两种，DEBC，则ADEABC 相交线型常见的有如下四种情形，如图，已知1=B，则由公共角A得，ADEABC 如下左图，已知1=B，则由公共角A得，ADCACB如下右图，已知B=D，则由对顶角1=2得，ADEABC 旋转型已知BAD=CAE，B=D，则ADEABC，下图为常见的基本图形 母子型已知ACB=90°，ABCD，则CBDABCACD 例7如图，点D在ABC的边AB上，满足怎样的条件时，ACD与ABC相似？试分别加以列举 考点6相似三角形的性质（1） 对应角相等，对应边的比相等；（2） 对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；（3） 相

15、似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方例8如图，已知ADEABC，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7（1） 求DE、AE的长；（2） 你还能发现哪些线段成比例 相似三角形巩固练习题（1）1、如图1,ADC=ACB=900,1=B,AC=5,AB=6,则AD=_.2.如图2,ADEFBC,则图的相似三角形共有_对.3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BMCE,AB=6,CE=3 ,则BM=_.4.ABC的三边长为,2,A'B'C'的两边为1和,若ABCA'B'C',则A'B'C'的笫三边长为_.

16、5.两个相似三角形的面积之比为15,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_.6.如图4,RtABC中,C=900,D为AB的中点,DEAB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为_.7.如图5,RtABC中,ACB=900,CDAB,AC=8,BC=6,则AD=_,CD=_.8.如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_.9.如图7,ABC中,A=DBC,BC=,SBCDSABC=23,则CD=_.10.如图8,梯形ABCD中,ADBC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PFBC,AD=3.6,BC=6,EF=3,则PF=_.11.如图9,ABC中,DEBC,ADDB=23,则SADESABE=_.12.如图10,正方形ABCD内接于等腰PQR,P=900,则PAAQ=_.13.如图11,ABC中,DEFGBC,ADDFFB=123,则S四边形DFGES四边形FBCG=_.14.如图12,ABC中,中线BD与CE相交于O点,SADE=1,则S四边形BCDE=_.15.已知:如图,ABC中,CEAB,BFAC.求证:AEFACB.16.已知:如图,ABC中,ABC=2C,BD平分ABC.求证:AB·BC=AC·CD. 17.已