利用 Matlab作回归分析

1、利用 Matlab作回归分析一元线性回归模型:2, (0, y x N =+求得经验回归方程:yx =+ 统计量: 总偏差平方和:21( n i i SST y =-,其自由度为 1T f n =-; 回归平方和:21( n i i SSR y =-,其自由度为 1R f =; 残差平方和:21( n i i i SSE y y =-,其自由度为 2E f n =-;它们之间有关系:SST=SSR+SSE。一元回归分析的相关数学理论可以参见概率论与数理统计教 程 ,下面仅以示例说明如何利用 Matlab 作回归分析。【例 1】 为了了解百货商店销售额 x 与流通费率 (反映商业活动 的一个质量

2、指标, 指每元商品流转额所分摊的流通费用 y 之间 的关系,收集了九个商店的有关数据,见下表 1. 试建立流通费 率 y 与销售额 x 的回归方程。表 1 销售额与流通费率数据 【分析】 :首先绘制散点图以直观地选择拟合曲线,这项工作可 结合相关专业领域的知识和经验进行, 有时可能需要多种尝试。 选定目标函数后进行线性化变换,针对变换后的线性目标函数 进行回归建模与评价,然后还原为非线性回归方程。【 Matlab 数据处理】 :【 Step1】 :绘制散点图以直观地选择拟合曲线x=1.5 4.5 7.5 10.5 13.5 16.5 19.5 22.5 25.5; y=7.0 4.8 3.6

3、3.1 2.7 2.5 2.4 2.3 2.2;plot(x,y,'-o' 输出图形见图 1。 510152025图 1 销售额与流通费率数据散点图根据图 1, 初步判断应以幂函数曲线为拟合目标, 即选择非 线性回归模型,目标函数为:(0 b y ax b =< 其线性化变换公式为:ln , ln v y u x = 线性函数为:ln v a bu =+【 Step2】 :线性化变换即线性回归建模(若选择为非线性模型 与模型评价% 线性化变换u=log(x'v=log(y'% 构造资本论观测值矩阵mu=ones(length(u,1 u;alpha=0.0

4、5;% 线性回归计算b,bint,r,rint,states=regress(v,mu,alpha输出结果:b = 2.1421; -0.4259表示线性回归模型 lnv a bu=+中:lna=2.1421, b=-0.4259; 即拟合的线性回归模型为y x=-;bint = 2.0614 2.2228; -0.4583 -0.3934表示拟合系数 lna 和 b 的 100(1-alpha%的置信区间分别为: 2.0614 2.2228和 -0.4583 -0.3934;r = -0.0235 0.0671 -0.0030 -0.0093 -0.0404 -0.0319 -0.0016

5、0.0168 0.0257表示模型拟合残差向量;rint = -0.0700 0.02300.0202 0.1140-0.0873 0.0813-0.0939 0.0754-0.1154 0.0347-0.1095 0.0457-0.0837 0.0805-0.0621 0.0958-0.0493 0.1007表示模型拟合残差的 100(1-alpha%的置信区间;states =0.9928 963.5572 0.0000 0.0012 表示包含 20.9928SSR R SST=、 方差分析的 F 统计量 /963.5572/(2R E SSR f SSR F SSE f SSE n =-

6、、 方差分析的显著性概率 (1,2 0p P F n F =-> 模型方差的估计值 20.00122SSE n =-。 【注】 :严格来讲,模型评价工作应在逆线性化变换后进行;但 是,若所建立的线性回归方程不理想,则相应的非线性回归方 程必定不理想。【 Step3】 :拟线性化变换求非线性回归方程(若选择为非线性 模型% 逆线性化变换A=exp(b(1B=b(2运行结果为:A = 8.5173; B = -0.4259。即非线性回归方程为:多元回归模型多元线性回归模型(p>1 :201122, (0, p p y x x x N =+求得经验回归方程:01122p py x x x

7、 =+ 统计量: 总偏差平方和:21( n i i SST y =-,其自由度为 1T f n =-; 回归平方和:21( n i i SSR y =-,其自由度为 R f p =; 残差平方和:21( n i i i SSE y y =-,其自由度为 1E f n p =-;它们之间有关系:SST=SSR+SSE。多元回归分析的相关数学理论可以参见多元数据分析 ,下面 仅以示例说明如何利用 Matlab 作多元回归分析。【例 2】参见教材 P294:10.1 牙膏的销售量。【下面只描述运行程序的过程,应该按照规定格式书写报告】 。 符号说明:1x :表示价格差;2x :广告费用;y :销售量

8、。【 Step1】 :绘制散点图以直观地选择拟合曲线clearclcx1=-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55;x2=5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.506.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6

9、.507.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80;y=7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26;h1=figure;plot(x1,y,'+'h2=figure;plot(x2,y,'o' ;88.599.5 10图 1 y对 x1的散点图 图 2 y 对 x2的散点图分析图 1,可

10、以发现,随着 x1的增加, y 的值有比较明显的线 性增长趋势;分析图 2,当 x 增大时, y 有向上弯曲的趋势,可用二次多项式 进行逼近;因此可以选择如下方程作为初步的回归模型:220112232, (, y x x x N u =+【 Step2】 :模型求解 (理论方法:最小二乘法 alpha=0.05;v=ones(length(x1,1 x1' x2' (x2.2'b,bint,r,rint,stats=regress(y',v,alpha计算结果:b = 17.3244 1.3070 -3.6956 0.3486bint = 5.7282 28.9

11、2060.6829 1.9311-7.4989 0.10770.0379 0.6594r = -0.0988 -0.0795 -0.1195 -0.0441 0.4660 -0.0133 0.2912 0.2735-0.2351 0.1031 -0.4033 0.1747 0.0400 -0.1504 0.1284 0.1637-0.0527 -0.1907 -0.0870 -0.0165 -0.1292 -0.3002 -0.2933 -0.1679-0.2177 0.1116 0.3035 0.0693 0.2474 0.2270rint = -0.5270 0.3294; -0.5309

12、 0.3718; -0.5106 0.2716;-0.4731 0.3848; 0.0813 0.8507; -0.4609 0.4343;-0.1374 0.7197; -0.0870 0.6340; -0.59600.1258;-0.3280 0.5341; -0.8190 0.0125; -0.2618 0.6112;-0.4032 0.4832; -0.5933 0.2925; -0.3207 0.5775;-0.2841 0.6116; -0.4830 0.3776; -0.6248 0.2434;-0.5348 0.3609; -0.4423 0.4092; -0.5609 0.3

13、024;-0.7181 0.1177; -0.7243 0.1377; -0.5548 0.2190;-0.6449 0.2095; -0.2994 0.5226; -0.1037 0.7106;-0.3714 0.5099; -0.1807 0.6755; -0.1890 0.6430stats = 0.9054 82.9409 0.0000 0.0490【 Step3】结果分析回归模型为:x x x =+-+ 从结果数据来看,模型整体可用。但也有缺陷,可以改进。【 Step4】销售量的预测设需要预测的点为:001020(, , , ' p x x x x = ,则预测值为 0010

14、12020p py x x x =+记 *211, , , 1,2, , 1ni kik SSE xi p n p n=-1( ( T ij p p c X X -=,则在 0x 处的区间预测为:*00(1 (1 (1 , (1 yt n p y t n p -+- 【模型改进】 :当两个因素是不独立时,引入交叉项 12x x ,新的 回归模型为20112232412y x x x x x =+alpha=0.05;v=ones(length(x1,1 x1' x2' (x2.2' (x1.*x2' b,bint,r,rint,stats=regress(y&#

15、39;,v,alpha 输出结果:b = 29.1133 11.1342 -7.6080 0.6712 -1.4777 bint = 13.7013 44.5252; 1.9778 20.2906; -12.6932 -2.5228; 0.2538 1.0887; -2.8518 -0.1037r = -0.0441; -0.1229; 0.0299; -0.0745; 0.3841;-0.0472; 0.2331; 0.0287; -0.0661; 0.0297; -0.4372; 0.1763; 0.0356; -0.1382; 0.1027;0.1270; 0.0048; -0.1435

16、; -0.1016; 0.0050; -0.0389; -0.1334; -0.3272; -0.3274; -0.2102; 0.1412; 0.3250; 0.1096; 0.2342; 0.2455 rint = -0.4425 0.3542; -0.5408 0.2951;-0.3101 0.3698; -0.4736 0.3247;0.0245 0.7437; -0.4640 0.3695;-0.1674 0.6337; -0.2369 0.2943;-0.3751 0.2430; -0.3691 0.4284;-0.8118 -0.0627; -0.2306 0.5832;-0.3

17、788 0.4499; -0.5521 0.2757;-0.3172 0.5226; -0.2917 0.5456;-0.3944 0.4039; -0.5490 0.2621;-0.5193 0.3160; -0.3926 0.4026;-0.4360 0.3582; -0.5045 0.2378;-0.7212 0.0667; -0.6326 -0.0221;-0.6085 0.1881; -0.2398 0.5223;-0.0484 0.6984; -0.2988 0.5181;-0.1650 0.6335; -0.1391 0.6302stats = 0.9209 72.7771 0.

18、0000 0.0426结果分析:效果更好。逐步回归方法要点:【 Step1】 根据问题所属专业领域的理论和经验提出对因变量可 能有影响的所有自变量;【 Step2】计算每一个自变量对因变量的相关系数,按其绝对值 从大到小排序;【 Step3】取相关系数绝对值最大的那个自变量建立一元线性回 归模型, 检验所得回归方程的显著性, 若检验表明回归效果则转 入【 Step4】 , 若检验表明回归效果不显著则停止建模;【 Step4】进行变量的追加、剔除和回归方程的更新操作。 Matlab 命令:【命令 1】 :stepwisefit【调用格式】 :b,se,pval,inmodel,stats,nex

19、tstep,history=stepwisef it(x,y, param1 ,value1, param2 ,value2, 【参数说明】 :X :p 个自变量的 n 个观测值的 n p矩阵;Y :因变量的 n 个观测值的 1n 矩阵; penter :设置回归方程显著性检验的显著性概率上限,缺 省值为 0.05; premove :设置回归方程显著性检验的显著性概率下限, 缺省值为 0.10; display :用来指明是否强制显示建模过程信息,取值为 on (显示,缺省设置和 off (不显示 。例 4:某种水泥在凝固时放出的热量 (单位:卡 /克 Y 与水泥 中的四种化学成分所占的百分

20、比有关, 现测得 13组数据如下表: 作回归分析。【 Matlab 程序】 :clearclcload haldb,se,pval,inmodel,stats,nextstep,history=stepwisefit(ingredients,heat, 'penter' ,0.10, 'display' , 'off' ; % 自变量的筛选和模型参数估计信息 inmodel,b0=ercept,b % 回归方程显著性整体检验信息 Allp=stats.pval,rmse=stats.rmse % 回归方程显著性分别检验信息 P=stats.PVAL 输出结果:inmodel = 1 1 0 0; b0 = 52.5773;b = 1.4683 0.6623 0.2500 -0.2365; Allp = 4.4066e-009; rmse = 2.4063;P = 0.0000 0.0000 0.2089 0.2054。 结果分析:x x =+,回归方程显著性 整体检验和